四川省遂宁市蓬溪县蓬溪中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析）

2023—2024学年高二上期半期考试数学本试卷共22个题目，满分150分，考试用时120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字述笔或签字笔将自己的姓名、班级和准考证号填写在答卡上.2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案涂黑；如需改动，用橡皮擦于净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列四个事件：①明天上海的天气有时有雨；②东边日出西边日落；③鸡蛋里挑骨头；④守株待兔．其中必然事件有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B【解析】【分析】判断选项中每个事件为随机事件还是必然事件还是不可能事件，可得答案.【详解】由题意可知，①明天上海的天气有时有雨为随机事件；②东边日出西边日落为必然事件；③鸡蛋里挑骨头为不可能事件；④守株待兔为随机事件，故必然事件有1个，故选：B2.倾斜角为135°的直线经过坐标原点O和点，则y等于（）A.4B.5C.D.【答案】C【解析】 【分析】根据直线经过的点以及斜率写出直线方程，即可代入求解.【详解】由题意可知：直线的方程为，将点代入直线方程中得，故选：C3.已知向量，，且，则（）A.B.1C.D.2【答案】C【解析】【分析】根据数量积的坐标表示计算可得.【详解】因，，所以，解得.故选：C4.已知直线：，则点关于对称的点的坐标为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据垂直斜率关系，以及中点在直线上即可列方程求解.【详解】设点关于对称的点为，则，解得，故选：B5.圆C：上一点P到直线：的距离的最小值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据圆的方程，求出圆心和半径，由圆心到直线的距离大于半径，所以圆C上一点P到直线的距离的最小值，求解即可. 【详解】圆C：的圆心为，半径为，直线：可化为，圆心到直线的距离为，所以圆C上一点P到直线的距离的最小值为.故选：A6.某次乒乓球单打比赛在甲、乙两人之间进行.比赛采取三局两胜制，即先胜两局的一方获得比赛的胜利，比赛结束.根据以往的数据分析，每局比赛甲胜出的概率都为，比赛不设平局，各局比赛的胜负互不影响.这次比赛甲获胜的概率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】甲战胜乙包含两种情况：①甲连胜2局，②前两局甲一胜一负，第三局甲胜，由此利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出甲战胜乙的概率．【详解】结合题意：甲队战胜乙队包含两种情况：甲连胜2局，概率为，前两局甲一胜一负，第三局甲胜，概率为，则甲战胜乙的概率为．故选：D．7.已知圆M：，下列结论中，正确的有（）A.过点作圆M的切线，则切线方程为B.圆M与圆N：外切C.圆M被直线：截得的弦长为D.圆M上恰有三个点到直线的距离为1【答案】C 【解析】【分析】根据圆的特征以及切线的定义即可求解A,根据两圆位置关系的判定即可求解B，根据弦长公式即可求解C，根据点到直线的距离公式，结合圆的半径即可求解D.【详解】圆M：的圆心和半径分别为，对于A，过点可以作出圆的两条切线，分别为和，故A错误，对于B，由于圆N：的圆心和半径为,所以，故两圆相交，B错误，对于C，到直线：的距离为，所以弦长为，C正确，对于D，到直线的距离为由于，所以圆上可以找到四个点到到直线的距离为1，故D错误，故选：C8.《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面，底面是正方形，，E，F分别为，的中点，，，若平面，则（） A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据法向量的求法可求得平面的法向量，由可求得结果．【详解】以为坐标原点，正方向为，，轴，可建立如图所示空间直角坐标系，设，则,0,,0,,,,,,，所以，，，，设平面的法向量，则，令，得，，所以；由可得是的中点，，由可得， 所以，因为平面，所以，解得．故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上的点数，设事件“记下的点数为3”，事件“记下的点数为偶数”，事件“记下的点数小于3”，事件“记下的点数大于2”，则（）A.事件与互斥B.事件与互斥C.事件与对立D.事件与对立【答案】ABD【解析】【分析】根据互斥事件、对立事件的定义判断即可.【详解】依题意骰子面朝上的点数可能为、、、、、共个基本事件，则事件“记下的点数为偶数”包含、、共个基本事件，事件“记下的点数小于3”包含、共个基本事件，事件“记下的点数大于2”包含、、、共个基本事件，所以事件与互斥，故A正确；事件与互斥，故B正确；事件与不互斥也不对立，故C错误；事件与互斥且对立，故D正确；故选：ABD10.已知向量，，，则下列命题中，真命题的有（）A.，可能为共线向量，，不可能为共线向量B.，，可能构成空间的一组基底C.平移这三个向量至起点相同，以它们为邻边构造一个平行六面体，则该六面体可能是一个直棱柱D.若，则，之间的夹角为钝角【答案】AB【解析】 【分析】根据空间向量共线的坐标表示即可判断A；根据，，是否共面结合基底的定义即可判断B；根据，，三个向量种是否有一个向量垂直于另两个向量即可判断C；由，之间的夹角为钝角，可得且不共线，即可判断D.【详解】对于A，若，为共线向量，则，解得，若，为共线向量，则，无解，所以，可能为共线向量，，不可能为共线向量，故A正确；对于B，若，，共面，则存在唯一实数对，使得，即，所以，解得，所以当时，，，共面，当时，，，不共面，则当时，，，可以构成空间的一组基底，故B正确；对于C，因为，所以不垂直，则要使六面体是一个直棱柱，则，故，无解，所以该六面体不可能是一个直棱柱，故C错误；对于D，若，之间的夹角为钝角，则且不共线， 由，得，解得，由不共线，结合A选项可得，所以当且时，，之间的夹角为钝角，故D错误.故选：AB.11.下列说法中，不正确的有（）A.若，则两条平行直线：和：之间的距离小于1B.若直线与连接，的线段没有公共点，则实数的取值范围为C.已知点，，若直线的倾斜角为锐角，则实数的取值范围为D.若集合，满足，则【答案】ABD【解析】【分析】利用特殊值判断A，求出直线过定点，再求出，，即可求出的范围，从而判断B，利用斜率公式判断C，首先求出集合、的表示的几何意义，再分两直线平行和直线过点两种情况讨论，即可判断D.【详解】对于A：直线：，即，因为，所以，即，则与距离，因为，所以当时，故A错误；对于B：直线，即，所以直线恒过点，又，，因为直线与连接，的线段没有公共点，所以，解得，故B错误； 对于C：因为点，，且直线的倾斜角为锐角，所以，解得，故C正确；对于D：由，得，所以集合表示斜率为的直线上的点（除去点），由，得，令，解得，所以集合表示过点且斜率为的直线，若，即，此时两直线平行，满足；若直线过点，则，解得，此时，且，符合题意；所以或，故D错误.故选：ABD12.如图，在棱长为的正方体中，，，分别为，，的中点，则下列结论正确的是（） A.点到直线的距离为B.直线到平面的距离为C.直线与平面所成角的余弦值为D.直线与直线所成角的余弦值为【答案】ABD【解析】【分析】由正方体可知为正三角形，进而判断A选项，利用坐标法分别求直线到平面的距离、线面夹角及异面直线夹角，即可判断BCD选项.【详解】A选项，如图所示，由正方体可知，即为正三角形，所以点到直线的距离，A选项正确；B选项：由，分别为，的中点，得且，所以四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面， 则直线到平面的距离即为点到平面的距离，如图所示建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的一个法向量为，则，令，，所以，B选项正确；C选项：，，则，所以直线与平面所成角的正弦值为，余弦值为，C选项错误；D选项：，，则， 所以异面直线与所成角的余弦值为，D选项正确；故选：ABD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.甲、乙两人独立破译一份机密文件，已知他们破译失败的概率分别为，，则两人都能成功破译这份机密文件的概率是____________.【答案】##【解析】【分析】根据相互独立事件的概率公式计算可得.【详解】因为他们破译失败的概率分别为，，所以他们破译成功的概率分别为，，则两人都能成功破译这份机密文件的概率.故答案为：14.在长方体中，和相交于O，，，，则____________.（用向量，，表示）【答案】【解析】【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.【详解】由于,所以四边形是平行四边形，故O是的中点，，故答案为： 15.已知直线：，：，：，若直线，，不能围成三角形，则_________________.【答案】或或，【解析】【分析】由题意，可得其中有2条直线平行（或重合），或者三线经过同一个点．再根据两条直线平行（或重合）的性质，三直线共点问题，求出的值即可．【详解】直线：，：，：，不能围成三角形，则其中有2条直线平行（或重合），或者三线经过同一个点，若（或重合）或者（或重合）时，则或，解得或．若三线经过同一个点，则直线：，：，的交点在上，所以，解得．故或或，故答案为：或或，16.已知圆的圆心在直线上，且与直线和轴都相切，则圆的方程为___________.【答案】或【解析】【分析】由已知可设圆心为，半径，再根据直线与圆相切，可得解.【详解】由已知圆的圆心在直线上，则设，又圆与轴相切， 所以半径，圆的方程为因为圆与直线相切，所以，化简得，解得或，所以圆的方程为或，故答案为：或.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.袋子中有5个大小相同的小球，其中3个白球，2个黑球.有放回摸球两次，每次从袋子中随机摸出1个球（1）第一次摸到白球的概率；（2）两次都摸到白球的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）（2）根据分步乘法计数原理求解所有取法，然后求解所求事件的个数，即可由古典概型概率公式求解.【小问1详解】由于是有放回摸球两次的摸球，所以每次摸球都有5种选择，故摸球两次，所有可能的取法有种，第一次摸到白球的取法有种，所以第一次摸到白球的概率为【小问2详解】两次都摸到白球的所有可能取法有，所以两次都摸到白球的概率为18.的三个顶点分别是，，.边上的高所在直线记为，过且与 平行的直线记为，直线与的交点为.（1）求和的方程；（2）求到直线的距离.【答案】（1）的方程为，的方程为（2）【解析】【分析】（1）首先求出，即可求出，再由点斜式求出的方程，再求出，即可求出直线的方程；（2）联立两直线方程求出交点坐标，再利用点到直线的距离公式计算可得.【小问1详解】因为，，，所以，所以，则直线的方程为，即，又，所以，则直线的方程为，即.即的方程为，的方程为.【小问2详解】由，所以直线方程为，即，由，解得，所以， 所以点到直线的距离.19.如图，四面体的每条棱长都相等，M，N，P分别是，，的中点（1）求证：，，为共面向量；（2）求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明过程见解析（2）【解析】【分析】（1）利用空间向量基本定理表达出，得到，，为共面向量；（2）证明出线面垂直，得到平面的法向量为，求出，并求出，，利用线面角的正弦求解公式求出答案.【小问1详解】因为M，N，P分别是，，的中点，故，所以，，为共面向量；【小问2详解】四面体的每条棱长都相等，设为2，连接，因为均为等边三角形，又N是的中点，所以⊥，⊥，因为，平面， 故⊥平面，所以平面的法向量为，其中，，故，又，故，，故，设与平面所成角的大小为，则20.甲、乙两台机床同时生产一种螺钉，现随机抽取这两台机床生产的螺钉各100颗进行重量检测（单位：克），检测结果统计如下：重量区间甲机床71245324乙机床31845286等次四等品三等品一等品二等品四等品品质不合格合格不合格（1）试分别估计甲机床、乙机床生产的螺钉为不合格的概率； （2）从两台机床生产的品质为合格的螺钉中，按等次采用分层抽样的方法抽取6个螺钉，从这6个中任意抽取3颗，求这3颗中至少有两颗是一等品的概率.【答案】（1）甲的概率为，乙的概率为，（2）【解析】【分析】（1）直接根据表格计算即可；（2）先根据分层抽样求出抽出一等品和非一等品的个数，再根据古典概型计算即可.【小问1详解】由表可知，甲机床生产的螺钉为不合格的概率，乙机床生产的螺钉为不合格的概率；【小问2详解】由题意，抽取的一等品有颗，设为，则非一等品有颗，设为，从这6个中任意抽取3颗，有，，，共种，其中至少有两颗是一等品有种，所以3颗中至少有两颗是一等品的概率为.21.在正四棱柱中，，，在线段上，且，在线段上. （1）求证：平面.（2）若平面和平面的夹角为，求的长.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证明平面；（2）由（1）中的空间直角坐标系，利用空间向量法先求出平面和平面的夹角为时的位置，从而求解.【小问1详解】证明：由题知，可以点为原定，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则：，，，，，，得：，，， 因为：，所以：，即：，因为：，所以：，即：，又因为：，平面，所以：平面.【小问2详解】设，，连接，，如（1）图所示，由（1）可得：，，，设平面的一个法向量为，则：，令：，得：，由（1）知是平面的一个法向量，因为平面和平面夹角为，所以：，整理得：，又因为：，得：，所以：.22.已知点，圆Q：（Q为圆心）.经过点P，Q的圆的圆心为M，且圆M与圆Q相交于A，B两点.（1）当点M在y轴上时，求圆M的标准方程；并说明此时直线PA，PB都不是圆Q的切线；（2）求线段AB长度的取值范围.【答案】（1）①，②证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）设出圆心M的坐标，根据点P,Q在圆M上，建立方程求出圆心M的坐标，从而求出圆的方程； 若圆M是以线段PQ为直径的圆，根据直径所对的圆周角为直角，可以得出PA,PB为圆Q的切线，但此时可以验证圆心M不在PQ上，从而得证；（2）因圆M过点P,Q，所以圆心在线段PQ的垂直平分线上，设出圆心M的坐标，写出圆M的方程，联立圆Q的方程求出直线AB的方程，求出点Q到直线AB的距离，从而求出弦长的表达式，运用二次函数图像及不等式性质求出弦长的范围.【小问1详解】因点M在y轴上，设，又P,Q在圆M上,所以，即，解得，即，半径,所以圆M的标准方程为；又圆M与圆Q相交于A,B,若圆M是以PQ为直径，根据直径所对的圆周角为直角有,但此时可以验证圆心M不在PQ上，所以直线PA,PB都不是圆Q的切线.【小问2详解】因圆M过点P,Q，所以圆心在PQ的垂直平分线上，设，半径，圆M的标准方程为，又圆M与圆Q相交于A,B,联立，得直线AB的方程为，所以点Q到直线AB的距离为，所以，设，由不等式性质可得， 所以线段AB的取值范围为.