吉林省部分学校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

高二数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.2.圆：与圆：的位置关系为（）A.外离B.相切C.相交D.内含3.鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹.如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一部分，其宽为，高为，根据图中的坐标系，则该抛物线的焦点坐标为（）A.B.C.D.4.在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（）A.B.C.D.5.已知直线与圆：交于，两点，则（）A.2B.C.D.46.如图，此耳杯为新疆和田白玉雕琢而成，玉质莹润，工艺精巧，是汉代玉制品的精美之作，现藏于吉林博物院.此耳杯杯口的形状是一个椭圆，已知该椭圆的长轴长为13厘米，短轴长为9.5厘米，则该椭圆的离心率为（） A.B.C.D.7.已知双曲线：的虚轴长与实轴长的差为2，点，，坐标原点到直线的距离为，则的焦距为（）A.B.C.D.8.在三棱台中，，，的重心为，的中点为，与相交于点，则的长为（）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若直线：，：，：，且，，则（）A.B.C.，之间的距离为D.，的交点坐标为10.已知，分别是椭圆：的左、右焦点，点在上，且，，则的值可能为（）A.B.2C.D.11.已知为抛物线：的焦点，过的直线与交于，两点，，的准线与轴的交点为，点在准线上的投影为点，且四边形的面积为，则（）A.B. C.直线的斜率为D.点的横坐标为12.已知第一象限内的点在双曲线：上，，分别为的左、右焦点，的内切圆是半径为的圆，若直线的斜率小于，则的离心率可能为（）A.B.C.D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线的倾斜角比直线：的倾斜角小，则直线的倾斜角为______.14.在空间直角坐标系中，向量满足，且与向量的夹角的余弦值为，请写出一个向量的坐标：______.15.如图，已知点，，从点同时出发的两个质点，均以每秒2个单位长度的速度做匀速直线运动，从运动到，从运动到，且到达的时间比到达的时间晚3秒，则的轨迹方程为______.16.已知圆：，过点的直线与圆交于，两点，则的最小值为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）一条经过点且沿直线传播的光线被轴反射后经过点，求反射光线所在直线的一般式方程及入射点的坐标.18.（12分）已知点到的距离与它到轴的距离的差为4，的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）若直线与交于，两点，且弦中点的横坐标为，求的斜率. 19.（12分）已知经过点的圆的圆心在轴上，且与轴相切.（1）求圆的方程；（2）若，，点在圆上，求的取值范围.20.（12分）如图，在棱长为4的正方体中，是的中点，点在棱上，且.（1）求平面与平面夹角的余弦值；（2）若为平面内的一点，且平面，求点到平面的距离.21.（12分）已知双曲线：，，是上关于坐标原点对称的两点.（1）若直线的斜率为，求.（2）试问在直线上是否存在点，使得直线与直线的斜率之积为定值？若存在，求出该定值及的坐标；若不存在，请说明理由.22.（12分）圆称为椭圆的蒙日圆.已知椭圆：的离心率为，的蒙日圆方程为.（1）求的方程；（2）若为的左焦点，过上的一点作的切线，与的蒙日圆交于，两点，过作直线与交于，两点，且，证明：是定值. 高二数学试卷参考答案1.A双曲线的渐近线方程为.2.D由题意得，圆与圆的半径之差为，所以圆与圆的位置关系为内含.3.C由题意得，设该抛物线的方程为，则，得，所以该抛物线的焦点为.4.A设直线与平面所成的角为，则，所以.5.B由题意得圆：，则圆心到直线的距离为，所以.6.B由题意得该椭圆的半长轴长为厘米，半短轴长为厘米，所以该椭圆的离心率.7.C由题意得，则，得所以的焦距为.8.D如图，延长交于点，则为的中点，.易得，则，得，所以. 9.BCD由题意得得，则，之间的距离为.由得所以，的交点坐标为.10.AC由，，得.由，得.在中，由余弦定理得，得或24，即或6，所以或.11.ABD如图.设点在的准线上的投影为点，取，的中点分别为，，过作，垂足为点.设，则，，，，所以四边形的面积为，解得，，A，B正确.由，得，当在第一象限，在第四象限时，直线的斜率为，当 在第四象限，在第一象限时，直线的斜率为，C错误.点的横坐标为，D正确.12.ABC如图，设圆与轴相切于点，与和分别相切于，两点.由内切圆的性质得，，.则.因为，所以，则为的右顶点.因为直线的斜率小于，所以.又平分，所以.易得，则，，所以，解得.在中，，则，解得.13.由题意得直线的倾斜角为.所以直线的倾斜角为.14.（答案不唯一，例如：，，坐标满足即可） 设，由，得15.（备注：也可写成）由题意得，所以的轨迹是以，为焦点，且实轴长为6的双曲线的下支.由，，得，所以的轨迹方程为.16.8如图，设的中点为，，，在直线：上的投影分别为，，.圆心到直线：的距离，所以直线与圆相离.易得，即（当，重合时，，当，重合时，），所以点在以为直径的圆上，其圆心为，半径为.由题意得.因为，所以，所以.17.解：设关于轴对称的点为，则，所以直线的斜率为，直线的斜截式方程为，即反射光线所在直线的一般式方程为. 令，得，所以入射点的坐标为，18.解：（1）由题意可知点到的距离等于它到直线的距离，则的轨迹是以为焦点的抛物线，所以的方程为.（2）设，，则由得，所以的斜率为19.解：（1）设圆：，由题意得解得所以圆的方程为（2）设，，由，得则.当时，取得最小值，最小值为10；当时，取得最大值，最大值为34；故的取值范围为20.解：（1）以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，.设平面的法向量为，则取，则，，得.因为平面，所以平面的一个法向量为，则平面与平面夹角的余弦值为（2）设，则因为平面，所以，则，得，，即因为，所以点到平面的距离为21.解：（1）设直线的方程为，由得或所以（2）因为，是上关于坐标原点对称的两点，且直线与直线的斜率存在.所以直线与直线的斜率均不为0.设，，则， 所以由，得，则若直线与直线的斜率之积为定值，则化简得，得或此时.故在直线上存在点或，使得直线与直线的斜率之积为定值.22.（1）解：由题意得得所以的方程为.（2）证明：当，的斜率等于0时，，，所以.当，的斜率不等于0时，设：，则：.由得，令，得.设到的距离为，则， 得.设，，由得，则则.故.综上，是定值.