黑龙江省实验中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

黑龙江省实验中学2023-2024学年度高二学年12月月考数学学科试题考试时间：120分钟总分：150分命题人：高二数学备课组一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．设，则是直线与直线平行的（    ）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为（    ）A．15B．30C．35D．423．居民的某疾病发病率为，现进行普查化验，医学研究表明，化验结果是可能存有误差的．已知患有该疾病的人其化验结果呈阳性，而没有患该疾病的人其化验结果呈阳性．现有某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是（    ）A．0.99B．0.9C．0.5D．0.14．过直线上一点作圆的两条切线，，切点分别为A，B，当直线，关于对称时，线段的长为（    ）A．4B．C．D．25．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着.那么没有相邻的两个人站起来的概率为（    ）A．B．C．D．6．已知椭圆：的左、右焦点分别是，，点是椭圆上位于第一象限的点，且与轴平行，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（    ）A．B．C．D．7．设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点，且与椭圆相交于，两点，为线段的中点.下列说法正确的个数（    ）①直线与垂直②若点的坐标为，则直线方程为③若直线方程为，则点的坐标为④若直线方程为，则A．4B．3C．2D．18．设椭圆（）的右焦点为F，椭圆C上的两点A、B关于原点对称，且满足，，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ）A．B．C．D． 二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有错选得0分）9．下列结论错误的是（    ）A.过点，的直线的倾斜角为30°B.若直线与直线垂直，则C.直线与直线之间的距离为D.已知，，点在轴上，的最小值是510．已知圆与圆，现给出如下结论，其中正确的是（    ）A.圆O与圆C有四条公切线B.过圆心C且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或C.过圆心C且与圆O相切的直线方程为D.P、Q分别为圆C上的动点，则的最大值为，最小值为11．2020年东京奥运会于北京时间2021年7月23日到8月8日在东京奥林匹克体育场举行．某公司为推销某种运动饮料，拟在奥运会期间进行广告宣传，经市场调查，广告支出费用x（单位：万元）与销售量y（单位：万件）的数据如下表所示：广告支出费用x23456销售量y45710.613.4根据表中的数据可得y关于x的回归直线方程为，则下列说法正确的是（）A．B．相应于点的残差为0.16C．当广告支出费用为7万元时，销售量约为15.32万件D.回归直线经过点（6,13.4）12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与椭圆交于，两点，点，则（    ）A．的最小值为9B．四边形的周长为8C．直线，的斜率之积为D．若点为椭圆上的一个动点，则的最小值为三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．若的展开式中的系数为9，则a的值为________.14．不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其m，n是正实数，则的最小值是.15．已知椭圆的两个焦点分别为，椭圆上一点满足，且，则椭圆的离心率为.16．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于A,B两点，、分别交轴于P,Q两点，的周长为4.过作外角平分线的垂线与直线交于点，则.四、解答题（共6小题，第17题10分，其余小题每题12分，共70分） 17．已知坐标平面上点与两个定点，的距离之比等于2.(1)求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记（1）中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为，求直线的方程.18．抽屉中装有5双规格相同的筷子，其中3双是一次性筷子，2双是非一次性筷子，每次使用筷子时，从抽屉中随机取出1双（2只都为一次性筷子或都为非一次性筷子），若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再次放入抽屉中，求：(1)在第2次取出的是非一次性筷子的条件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；(2)取了3次后，取出的一次性筷子的双数的分布列及数学期望.19．在高三一轮复习中，大单元复习教学法日渐受到老师们的喜爱，为了检验这种复习方法的效果，在A，B两所学校的高三年级用数学科目进行了对比测试．已知A校采用大单元复习教学法，B校采用传统的复习教学法．在经历两个月的实践后举行了考试，现从A，B两校高三年级的学生中各随机抽取100名学生，统计他们的数学成绩（满分150分）在各个分数段对应的人数如下表所示：A校6145030B校14263822(1)若把数学成绩不低于110分的评定为数学成绩优秀，低于110分的评定为数学成绩不优秀，完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否推断复习教学法与评定结果有关；数学成绩不优秀数学成绩优秀总计A校B校总计0.100.010.0012.7066.63510.828(2)在A校抽取的100名学生中按分层抽样的方法从成绩在和内的学生中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行访谈，记抽取的3人中成绩在内的人数为X，求X的分布列与数学期望．附：，其中． 20．某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：），经统计得到下面的频率分布直方图：(1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数和方差．（用每组的中点代表该组的均值）(2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布，用直方图的平均数估计值作为的估计值，用直方图的标准差估计值作为估计值．（i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标：0.81.20.951.011.231.121.330.971.210.83利用和判断该生产周期是否需停止生产并检查设备．（ⅱ）若设备状态正常，记表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在之外的零件个数，求及的数学期望．参考数据：若随机变量服从正态分布，则，21．已知椭圆的长轴长为6，离心率．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与椭圆相交于，两点，且，求实数的值．22．已知椭圆的一个顶点为分别是椭圆的左、右焦点，且离心率，过椭圆右焦点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点.(1)求椭圆C的方程；(2)若（为原点），求直线的方程；(3)过原点作直线的垂线，垂足为P，若，求的值. 高二上学期12月月考数学答案一、单选题12345678BBCCCDCB二、多选题9101112ABCADABCBCD三、填空题13．114．15．16．三、解答题17．(1)点点轨迹方程为，其轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆(2)或【分析】（1）根据题意直接列方程化简求解即可，（2）分直线斜率不存在和直线的斜率存在两种情况，结弦长，圆心距和半径的关系可求得结果．【详解】（1）由题意可知，，整理，得，故点点轨迹方程为，其轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆．（2）由题意可知①当直线斜率不存在时，此时直线的方程为，满足弦长为．②当直线的斜率存在时，不妨设为，则直线方程为，即，则圆心到直线的距离为，因为直线被所截得的线段的长为，所以，所以，解得，所以直线方程为．综上，满足条件的直线的方程为或．18．(1)(2)分布列见解析，期望为1.606 【分析】（1）根据全概率公式、条件概率公式求得正确答案.（2）通过求概率求得分布列，并求得数学期望.【详解】（1）设第1次取出的是一次性筷子为事件A，第2次取出的是非一次性筷子为事件B，则，，所以在第2次取出的是非一次性筷子的前提下，第1次取出的是一次性筷子的概率；（2）记取出的一次性筷子的双数为X，则，则，，，则，则X的分布列为X0123P0.0640.3660.470.1数学期望.19．(1)列联表见解析，有关(2)分布列见解析，期望为【分析】（1）由题意可得列联表，计算的值，与临界值表比较，即得结论；（2）根据分层抽样确定和内抽取人数，确定X的取值，结合超几何分布的概率计算求得每个值相应的概率，即可得分布列，根据期望公式求得数学期望.【详解】（1）由题意完成列联表如下：数学成绩不优秀数学成绩优秀总计 A校2080100B校4060100总计60140200零假设为：复习教学法与评定结果无关．则，∴根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为复习教学法与评定结果有关，此推断犯错误的概率不大于0.01．（2）按分层抽样的方法从成绩在和内的学生中随机抽取10人，则成绩在内的人数为3，成绩在内的人数为7，故X的所有可能取值为0，1，2，3，，故X的分布列为X0123P则．20．(1)(2)（i）需停止生产并检查设备；（ii），【分析】（1）根据频率分布直方图结合平均数的计算公式，即可求得，继而结合方差的计算公式求得；（2）（i）根据，，确定，，判断抽查的零件关键指标有无在之外的情况，即可得结论；（ii）求出抽测一个零件关键指标在之外的概率，确定，根据二项分布的概率公式以及期望公式，即可求得答案. 【详解】（1）由频率分布直方图，得．．（2）（i）由（1）可知，，所以，，显然抽查中的零件指标，故需停止生产并检查设备．（ii）抽测一个零件关键指标在之内的概率为，所以抽测一个零件关键指标在之外的概率为，故，所以，X的数学期望．21．(1)(2)【分析】（1）根据椭圆离心率公式进行求解即可；（2）根据椭圆弦长公式进行求解即可.【详解】（1）因为椭圆的长轴长为6，所以有，又因为椭圆的离心率，所以有，所以该椭圆的标准方程为；（2）将直线方程与椭圆方程联立，得，因为直线与椭圆相交于，两点，所以有，设，则有，， 即，所以实数的值为22．(1)；(2)或者；(3)【分析】（1）先直接求出，再根据离心率求出即可；（2）先设出过右焦点的直线，然后联立得到韦达定理，再把转化为进而代入韦达定理即可；（3）先求出，再由韦达定理求出弦长，最后代入求解即可.【详解】（1）因为椭圆焦点在轴上且经过点，所以，又因为，所以，又，解得，所以椭圆方程为；（2）如图所示，  由（1）知，所以直线，设，联立，可得，易得，所以，所以， 而，解得，所以直线方程为或者；（3）如图所示，  过作交于点，所以为点到直线的距离，即，所以，又，所以，所以.【点睛】关键点睛：熟练应用韦达定理和弦长公式是解析几何的基本功，需要多加训练和熟悉.