山东省新泰市第一中学东校2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题（Word版附解析）

新泰一中东校2022级高二上学期第二次质量检测数学试题时间：120分钟；满分150分一、单选题（每小题5分，共40分）1.抛物线的焦点到准线的距离为（）A.B.C.D.42.若直线与直线平行，则的值是（）A.1或B.C.D.或3.如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，点N为BC中点，则（）A.B.C.D.4.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C的左支交于A，B两点，且，，则C的渐近线为（）A.B.C.D.5.在数列中，，且，则数列前15项和为（）A.84B.102C.120D.1386.已知F是双曲线的下焦点，是双曲线外一点，P是双曲线上支上的动点，则 的最小值为（）A.9B.8C.7D.67.已知等差数列的前项和有最小值，且，则使成立的正整数的最小值为（）A.2022B.2023C.4043D.40448.已知圆，是圆上的一条动弦，且，为坐标原点，则的最小值为（）A.B.C.D.二、多选题（每小题5分，共20分）9.已知圆和圆，下列说法正确的是（）A.两圆的公共弦所在的直线方程为B.圆上有2个点到直线的距离为C.两圆有两条公切线D.点在圆上，点在圆上，的最大值为10.如图的形状出现在南宋数学家扬辉所著的《详解九章算法·商功》中后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（）A.B.C.D.不存在正整数，使得为质数11.如图，在棱长为正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（） A.，，，四点共面B.与所成角的大小为C.在线段上存在点，使得平面D.在线段上任取一点，三棱锥体积为定值12.法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.若矩形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（）A.椭圆蒙日圆方程为B.若为正方形，则的边长为C.若是直线：上的一点，过点作椭圆的两条切线与椭圆相切于，两点，是坐标原点，连接，当为直角时，或D.若是椭圆蒙日圆上一个动点，过作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于，两点，则面积的最大值为18三、填空题（每小题5分，共20分）13.已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，为坐标原点，若的面积为2，则到直线的距离为______. 14.已知数列满足，则__________．15.在以O为中心，、为焦点的椭圆上存在一点M，满足，则该椭圆的离心率为_____________.16.已知椭圆，经过仿射变换，则椭圆变为了圆，并且变换过程有如下对应关系：①点变为；②直线斜率k变为，对应直线的斜率比不变；③图形面积S变为，对应图形面积比不变；④点、线、面位置不变（平行直线还是平行直线，相交直线还是相交直线，中点依然是中点，相切依然是相切等）．过椭圆内一点作一直线与椭圆相交于C两点，则的面积的最大值为______．四、解答题（17题10分，18-22每小题12分，共70分）17.已知数列的前n项和公式为：（1）求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等差数列；（2）求的最小值，并求取得最小值时n的值.18.已知的三个顶点是．（1）求AB边的高所在直线的方程；（2）若直线l过点C，且点A，B到直线l的距离相等，求直线l的方程．19.已知圆O：及点，动点P在圆O上运动，线段MP的中点为Q．（1）求点Q的轨迹方程；（2）过点作直线l与Q的轨迹交于A，B两点，满足，求直线l的方程．20.已知平面内一动点到点的距离比到轴的距离大.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线与相交于，两点，在轴上是否存在点使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 21.如图，已知四棱锥底面是菱形，，为边的中点，，，.（1）证明：；（2）试判断线段上是否存在点使得二面角的余弦值为，若存在求出点的位置；若不存在，请说明理由.22.如图，已知圆，动圆P过点且与圆内切于点N，记动圆圆心P的轨迹为E．（1）求E的方程；（2）过点的直线l（不与x轴重合）与E交于A，B两点，点C与点B关于x轴对称，直线AC与x轴交于点Q，已知点，试问是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由． 新泰一中东校2022级高二上学期第二次质量检测数学试题时间：120分钟；满分150分一、单选题（每小题5分，共40分）1.抛物线的焦点到准线的距离为（）A.B.C.D.4【答案】C【解析】【分析】由可得抛物线标准方程为：，由焦点和准线方程即可得解.【详解】由可得抛物线标准方程为：，所以抛物线的焦点为，准线方程为，所以焦点到准线的距离为.故选：C.2.若直线与直线平行，则的值是（）A.1或B.C.D.或【答案】C【解析】【分析】根据两直线平行的条件，列出方程组，即可求解.【详解】由直线与直线平行，可得，解得，所以实数的值为.故选：C.3.如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，点N为BC中点，则（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据空间向量线性运算，结合图形分析可得．【详解】因为，点N为BC中点，所以，，故．故选：B．4.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C的左支交于A，B两点，且，，则C的渐近线为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意设，则，根据双曲线定义可得，，在，中分别利用勾股定理可求得答案.【详解】如图．设，，则，，在中由勾股定理：，解得：， 在中，由勾股定理：解得：，所以，所以渐近线方程为：.故选：A．5.在数列中，，且，则数列的前15项和为（）A.84B.102C.120D.138【答案】C【解析】【分析】先利用等差中项判断数列为等差数列，然后利用通项公式基本量的运算求出通项，利用求和公式求出和，然后分组求和即可求解.【详解】因为，所以是等差数列，又，所以等差数列的公差，所以，所以单调递减，且，所以的前项和，所以数列的前15项和为.故选：C 6.已知F是双曲线的下焦点，是双曲线外一点，P是双曲线上支上的动点，则的最小值为（）A.9B.8C.7D.6【答案】A【解析】【分析】求出上焦点F1的坐标，由双曲线的定义可得，从而求得的值，推出结果．【详解】解：∵F是双曲线的下焦点，∴，c＝4，F（0，−4），上焦点为（0，4），由双曲线的定义可得，当A，P，H三点共线时，取得最小值9．故选：A．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 7.已知等差数列的前项和有最小值，且，则使成立的正整数的最小值为（）A.2022B.2023C.4043D.4044【答案】D【解析】【分析】根据题意分析出、、等，利用等差数列前项和公式分析出结果.【详解】解：因为等差数列的前项和有最小值，所以等差数列的公差，因为，所以，，所以，又因为，所以，即，故，所以，，当时，；当时，；故使成立的正整数的最小值为.故选：D.8.已知圆，是圆上的一条动弦，且，为坐标原点，则的最小值为（）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标，设弦的中点为，则，由弦的值求出，即可得到点在以为圆心，1为半径的圆上，从而求出的最小值，即可得解.【详解】圆，即，圆心，半径,设弦的中点为，则,，且，所以，所以点在以为圆心，1为半径的圆上，所以，所以的最小值为.故选：A．二、多选题（每小题5分，共20分）9.已知圆和圆，下列说法正确的是（）A.两圆的公共弦所在的直线方程为B.圆上有2个点到直线的距离为C.两圆有两条公切线D.点在圆上，点在圆上，的最大值为【答案】BCD【解析】【分析】先判断两圆的位置关系，得出公切线条数，由此判断C；两圆作差得公共线直线方程，由此判断A；求出圆心到直线的距离，从而得到，进而判断B；的最大值为 加上两圆半径，由此判断D.【详解】对于C，因为圆，所以圆心，半径为，因为圆，可化为，所以圆心，半径为，则，所以两圆相交，则两圆有两条公切线，故C正确；对于A，两圆作差得，即，所以公共弦所在的直线方程为，故A错误；对于B，圆心到直线的距离为，则，所以圆上有2个点到直线的距离为，故B正确；对于D，，故D正确．故选：BCD．10.如图的形状出现在南宋数学家扬辉所著的《详解九章算法·商功》中后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（）A.B.C.D.不存在正整数，使得为质数【答案】BCD【解析】【分析】根据每层的球的个数可得，利用累加法求得，即可求得 的值，判断A，B；根据，可判断C；根据，结合数的奇偶性，可判断D.【详解】依题意因为，以上n个式子累加可得︰,又满足上式，所以,故，故A错误；因，所以，故B正确；因为，所以，故C正确；因为，故当且为整数时，，此时必为偶数，则为整数，且为合数，则不存在正整数，使得为质数，D正确，故选：BCD11.如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（）A.，，，四点共面B.与所成角的大小为C.在线段上存在点，使得平面D.在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值【答案】AD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的共面定理可判断A 选项，利用坐标法求异面直线夹角可直接判断B选项，假设在线段上存在点，设，，利用坐标法验证线面垂直，可判断C选项；分别证明与上的所有点到平面的距离为定值，即可判断D选项.【详解】以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，设，则，所以，解得，故，即，，，四点共面，故A正确；因为，，所以，所以与所成角的大小为，故B错误；假设在线段上存在点，符合题意，设（），则，若平面，则，, 因为，，所以，此方程组无解，所以在线段上不存在点，使得平面，故C错误；因为，所以，又平面，平面，所以平面，故上的所有点到平面的距离即为到平面的距离，是定值，又的面积是定值，所以在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值，故D正确；故选：AD.12.法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.若矩形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（）A.椭圆的蒙日圆方程为B.若为正方形，则的边长为C.若是直线：上的一点，过点作椭圆的两条切线与椭圆相切于，两点，是坐标原点，连接，当为直角时，或D.若是椭圆蒙日圆上一个动点，过作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于，两点，则面积的最大值为18【答案】ABC【解析】 【分析】A选项，求出，得到蒙日圆方程；B选项，设出边长，得到方程，求出答案；C选项，直线：与的交点即为所求点，联立后得到点坐标，得到斜率；D选项，，由基本不等式求出最值.【详解】A选项，，故椭圆的蒙日圆方程为，A正确；B选项，由题意，为圆的内接矩形，若为正方形，设的边长为，则，解得，故B正确；C选项，由题意得，直线：与的交点即为所求点，则，解得或，故或，故或，C正确.D选项，由对称性可知，四边形为矩形，其中为对角线，且，故，当且仅当时等号成立，故D错误.故选：ABC【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解蒙日圆的定义与性质，从而得解.三、填空题（每小题5分，共20分）13.已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，为坐标原点，若的面积为2，则到直线的距离为______. 【答案】##0.8【解析】【分析】根据三角形面积公式，即可求出点，然后抛物线定义，求出长度，根据等面积法即可求出.【详解】，设，因为，所以，不妨取，则,,则，故到距离为.故答案为：14.已知数列满足，则__________．【答案】【解析】【详解】分析：由题，则由此可求出，即可得到详解：由题，则则数列是以为首项，2为公差的等差数列，则即答案为.点睛：!本题考查数列通项公式的求法，属基础题.15.在以O为中心，、为焦点的椭圆上存在一点M，满足，则该椭圆的离心率为_____________.【答案】##【解析】【分析】根据题意结合椭圆定义可得，进而利用余弦定理列式求解.【详解】因为，所以，因为与互补，且， 由余弦定理可得，可得，所以.故选：C．16.已知椭圆，经过仿射变换，则椭圆变为了圆，并且变换过程有如下对应关系：①点变为；②直线斜率k变为，对应直线的斜率比不变；③图形面积S变为，对应图形面积比不变；④点、线、面位置不变（平行直线还是平行直线，相交直线还是相交直线，中点依然是中点，相切依然是相切等）．过椭圆内一点作一直线与椭圆相交于C两点，则的面积的最大值为______．【答案】1【解析】【分析】根据新定义求得仿射变换后圆的方程及点坐标，求得的面积最大值，结合定义即可求出的面积的最大值.【详解】，，，有仿射变换，椭圆方程变换为：，变换为，如图所示： 所以：而：，所以：，即的最大面积为1．故答案为：1.四、解答题（17题10分，18-22每小题12分，共70分）17.已知数列的前n项和公式为：（1）求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等差数列；（2）求的最小值，并求取得最小值时n的值.【答案】（1），是等差数列（2）最小值，【解析】【分析】（1）根据计算，然后验证即可；（2）结合二次函数性质求解取得最小值时n的值.【小问1详解】当时，有.当时，有.又因为，所以时也成立，因此数列的通项公式为：.因为， 所以是等差数列.【小问2详解】（方法一）因为，又因为n是正整数，所以当或8时，最小，最小值是.（方法二）由可知数列是递增的等差数列，而且首项.令，可得，解得，而且0.由此可知，或8时，最小，最小值是.18.已知的三个顶点是．（1）求AB边的高所在直线的方程；（2）若直线l过点C，且点A，B到直线l的距离相等，求直线l的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据点斜式求得边的高所在直线的方程.（2）对是否与直线平行进行分类讨论，由点斜式或斜截式求得直线的方程.【小问1详解】直线的斜率为，所以边的高所在直线的斜率为，所以边的高所在直线的方程为.【小问2详解】直线的斜率为，若直线与直线平行，则直线的方程为. 线段中点坐标为，若直线过，则直线的方程为.19.已知圆O：及点，动点P在圆O上运动，线段MP的中点为Q．（1）求点Q的轨迹方程；（2）过点作直线l与Q的轨迹交于A，B两点，满足，求直线l的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）解法1：设，，由中点坐标公式可得，再将点P代入圆O的方程即可得出答案；解法2：设线段OM的中点为N，连接NQ，由题意可得点Q的轨迹为以N为圆心，1为半径的圆，即可得出答案.（2）讨论直线斜率存在或不存在，设出直线方程，设圆心Q到直线l的距离为d，由代入求解即可得出答案.【小问1详解】解法1：设，，由中点坐标公式可得：解得：由于点P在圆O：上，所以：，代入可得：化简可得点Q的轨迹方程为：．解法2：设线段OM的中点为N，连接NQ，∵Q为的中点，∴，∴点Q的轨迹为以N为圆心，1为半径的圆，则点Q的轨迹方程为：． 【小问2详解】当k不存在时，直线l的方程为．此时圆心Q到直线l的距离为所以：满足条件．当k存在时，直线l的方程为，设圆心Q到直线l的距离为d，则，所以：而Q到直线l的距离为，解得：此时直线l方程为：．综上：满足条件的直线l的方程为：或，20.已知平面内一动点到点的距离比到轴的距离大.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线与相交于，两点，在轴上是否存在点使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存，【解析】 【分析】（1）由动点到点的距离比到轴的距离大，可得点到的距离等于到直线的距离，从而可得点的轨迹为以为焦点的抛物线，即可求得轨迹的方程；（2）设，，，直线，代入可得，由根与系数的关系可得，，由，可得，计算可求得的值，即可得结论．【小问1详解】动点到定点的距离比到轴的距离大，又，到的距离等于到直线的距离，动点的轨迹为以为焦点的抛物线，轨迹的方程；【小问2详解】设，，，直线过点，设直线方程：，代入， 可得，显然，则，，得又，得，即  故在轴上存在点使得21.如图，已知四棱锥的底面是菱形，，为边的中点，，，.（1）证明：；（2）试判断线段上是否存在点使得二面角的余弦值为，若存在求出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，点在的五等分点的二等分点处（靠近）【解析】【分析】（1）连接，通过证明平面来证得.（2）建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用二面角的余弦值求得点的位置.【小问1详解】连接，因为，所以，因为底面是菱形，，所以，因为为边的中点，所以，∴，因为，所以，因此，即，又因为，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，即. 小问2详解】由（1）知，，两两垂直，故以为坐标原点，，，为，，轴建立如图示空间直角坐标系，则，，，，，于是，，，令，则，取平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，因为，所以，又二面角锐二面角且设为，所以，即，（负值舍去），故存在点使得二面角的余弦值为，此时点满足.22.如图，已知圆，动圆P过点且与圆内切于点N，记动圆圆心P的轨迹为E． （1）求E的方程；（2）过点的直线l（不与x轴重合）与E交于A，B两点，点C与点B关于x轴对称，直线AC与x轴交于点Q，已知点，试问是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．【答案】（1）（2）是定值，为.【解析】【分析】（1）设动圆圆心的坐标为，动圆P的半径为，根据条件可得，故动圆圆心P的轨迹是以为焦点的椭圆，根据椭圆定义即可求出轨迹方程；（2）设直线l的方程为，，，，与椭圆方程联立，然后利用韦达定理求出直线AC与x轴交于点Q的坐标，，直接计算即可得答案.【小问1详解】设动圆圆心的坐标为，动圆P的半径为，则由已知，，消去得，故动圆圆心P的轨迹是以为焦点的椭圆，设为，则，， 则E的方程为；【小问2详解】设直线l的方程为，，，联立，消去得，，又直线AC的方程为令，得，即，是定值，且为.