浙江省宁波市鄞州中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试卷（Word版附解析）

鄞州中学2023学年第一学期12月月考高一年级数学学科试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域完成相应内容的填写和填涂考试号、贴好条形码，所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；3．本次考试期间不得使用计算器；4．考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】计算分式不等式解出集合后，结合交集运算即可得.【详解】由，即，解得，故，又，故.故选：B.2.若，则角是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】D【解析】【分析】根据已知直接判断即可.【详解】由可得是第三象限或第四象限角，由可得是第二象限或第四象限角， 故角是第四象限角.故选：D.3.函数的单调递减区间是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求出函数的定义域，再确定在上单调递增，结合复合函数单调性，即可求得答案.【详解】由可得，解得或，由图象的对称轴为，则在上单调递增，故的单调递减区间为，故选：C4.若且，则下列不等式中一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】A选项，根据函数单调性得到A正确；BCD选项，举出反例.【详解】A选项，因为在R上单调递增，，所以，A正确；B选项，若，满足，但此时，B错误；C选项，若，此时，故C错误；D选项，若，此时，D错误. 故选：A5.已知函数的定义域是，则函数的定义域是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据抽象函数定义域及对数函数定义域列出不等式组，解三角不等式可得解.【详解】因为函数的定义域是，所以函数有意义需满足，解得，故函数的定义域为，故选：B6.已知扇形的周长为18cm，面积为14，则该扇形的圆心角的弧度数为（）A.7或B.C.7D.【答案】D【解析】【分析】设扇形的半径为，圆心角的弧度数为，从而根据周长和面积得到方程组，检验后求出答案.【详解】设扇形的半径为，圆心角的弧度数为，则扇形的弧长为，故，又，解得（舍去）或，故选：D 7若，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由于和都大于小于，比较它们大小时要引入中间值即可；结合指数函数的性质可得，即可选出答案.【详解】由于，得，因为函数在定义域上单调递增，，所以，由于，得，因为函数在定义域上单调递增，，所以，且，得，由于，函数在定义域上单调递减，所以，总之，，即成立.故选：C.8.已知函数，若关于x的方程有4个实数解，且，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】方程解，即函数的图象与直线交点的横坐标，可画出函数图象，结合二次函数的对称性和对数函数的性质求解.【详解】如图所示： 因为关于方程有四个实数解，所以函数的图象与直线有四个交点，交点的横坐标分别为，且，结合图象，左侧的二次函数部分中，最大值为，可得当时时，是方程的两个不等实根，所以；同时时，得出，结合图象可得，即，所以，，即，可得，所以，由于，所以，故选：A.【点睛】关键点睛：本题的关键是作出函数图象，函数方程根的问题转化为函数交点的横坐标问题，同时要通过分段函数得特点，得到根与跟之间的等式关系，从而进行整体代换，减少变量，最后求出范围.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.某同学利用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： 则函数零点的近似值（精确度0.1）可取为（）A.2.49B.2.52C.2.55D.2.58【答案】BC【解析】【分析】利用函数的性质及零点存在性定理即得答案.【详解】因为函数在其定义域上单调递增，结合表格可知，方程的近似解在，，，内，又精确度0.1，所以方程的近似解（精确度0.1）可取为2.52，2.55.故选：BC10.下列选项正确的是（）A.函数是增函数B.函数与函数是同一函数C.若，则函数的解析式为D.已知函数（且），则函数的反函数的图象恒过定点【答案】CD【解析】【分析】根据单调性定义判断A，根据函数的定义判断B，利用凑配法求出函数解析式判断C，根据反函数的性质判断D．【详解】在和上都是增函数，但在整个定义域上不是增函数，如，A错；的定义域是，的定义域是，不是同一函数，B错；，且的取值范围是R， 所以，C正确；函数（且）的图象过定点，反函数图象与原函数图象关于直线对称，因此其反函数图象过点，D正确．故选：CD．11.下列选项正确是（）A.若锐角的终边经过点，则B.△ABC中，“”是“△ABC是钝角三角形”的充要条件C.函数的对称中心是（）D.若，则【答案】ACD【解析】【分析】根据三角函数定义及诱导公式判断A，根据充分条件、必要条件判断B，根据正切函数的对称中心判断C，根据整体代换及诱导公式判断D.【详解】由三角函数定义知，，又都为锐角，所以，故A正确；在中，为钝角，所以三角形为钝角三角形，反之是钝角三角形，推不出为钝角，所以“”是“是钝角三角形”的充分不必要条件，故B错误；令或，，解得或，即，所以函数的对称中心是，故C正确；因为，所以，故D正确.故选：ACD12.已知，且，则（） A.的最小值为B.的最大值为C.的最小值为D.的最小值为8【答案】ABD【解析】【分析】利用二次函数性质判断A，利用基本不等式求最值判断BCD．【详解】因为，，所以，即，又，，所以时，取得最小值，A正确；，又，当且仅当，即时等号成立，即的最小值是，所以的最大值是，B正确；，令，则，，，当且仅当时取等号，所以取得最小值为，所以取得最小值为，C错；，，所以，当且仅当时等号成立，所以，D正确，故选：ABD．非选择题部分 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.计算：_________．【答案】【解析】【分析】利用对数的换底公式计算即可得解.【详解】.故答案为：.14.已知幂函数的图象不经过第二象限，则_____________．【答案】【解析】【分析】根据幂函数的定义求得的可能取值，根据幂函数的图像即可得解.【详解】因为是幂函数，所以，解得或，当时，，显然其图象不经过第二象限，满足题意；当时，，显然其图象经过第二象限，不满足题意；综上，.故答案为：.15.已知定义在上的函数满足，且当时，，则_____________．【答案】【解析】【分析】先由条件推得，再依次转化得到，从而得解.【详解】因，所以，又当时，， 所以.故答案为：.16.已知函数，若对任意的，都有恒成立，则实数t的最大值为_____________．【答案】【解析】【分析】先根据函数解析式求出函数在不同区间上解析式；再根据解析式画出相应图象；最后结合图像列出方程即可求解【详解】因为所以当时，有，此时；当时，有，此时；当时，有，此时；作出函数的部分图象，如图所示：令，，解得：或.结合图像可得.故答案为： 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知p：关于x的方程（）无实数根．（1）若p是假命题，求实数m的取值范围；（2）已知条件q：，，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据命题为假命题，结合一元二次方程的判别式，解不等式，即得答案；（2）求出命题p相应的m的范围，由题意可得，分类讨论是否为空集，解不等式，即得答案.【小问1详解】由题意知p是假命题，则可得关于x的方程（）有实数根，即，即，解得或；则实数m的取值范围为.【小问2详解】p：关于x的方程（）无实数根，则，即，解得，设命题p相应的集合为，命题q相应的集合为，若p是q的必要不充分条件，则有，当为空集时，，符合题意；当不为空集时，需满足，等号不能同时成立， 解得，验证时符合题意，综上可得实数a的取值范围为.18.已知，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用同角公式结合齐次式法求出.（2）由（1）的结论，结合诱导公式及齐次式法计算即得.【小问1详解】由，两边平方得，解得，由，得，则，且，从而于是，即，解得，所以.【小问2详解】由（1）知，，所以.19.杭州亚运会田径比赛10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段.现一60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力（表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为的减速运动（ 表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力已知该运动员初始体力为不考虑其他因素，所用时间为（单位：h），请回答下列问题：（1）请写出该运动员剩余体力关于时间的函数；（2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少?【答案】（1）（2）时有最小值，最小值为.【解析】【分析】（1）先写出速度关于时间的函数，进而求出剩余体力关于时间的函数；（2）分和两种情况，结合函数单调性，结合基本不等式，求出最值.【小问1详解】由题可先写出速度关于时间的函数，代入与公式可得解得；【小问2详解】①稳定阶段中单调递减，此过程中最小值；②疲劳阶段，则有，当且仅当，即时，“”成立，所以疲劳阶段中体力最低值为，由于，因此，在时，运动员体力有最小值. 20.已知函数．（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；（2）设，若对任意的，存在，使得，求实数b的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接由周期公式计算周期即可，整体代入法解表达式即可求得单调递减区间.（2）先求复合函数的值域，然后将问题转化为存在性问题即可，结合余弦函数单调性即可得解.【小问1详解】函数的最小正周期为，令，解得，所以函数的单调递减区间为.【小问2详解】，由于，所以，故原题等价于对任意的，存在，使得，由题意首先，当时，，而，在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得，综上所述，实数b的取值范围为.21.已知函数对任意的x，，都有，且当时，，．（1）判断函数的奇偶性，并证明当时，；（2）判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明；（3）设实数，求关于x的不等式的解集．【答案】（1）为奇函数，证明见解析；（2）函数在区间上为单调递增函数，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）利用赋值法，即可求得所求的函数值，得到答案；（2）首先判定函数为增函数，然后利用函数的单调性的定义和所给条件进行证明即可；（3）利用函数的单调性和所得函数值对应的自变量得到函数不等式，得出不等式，即可求解.【小问1详解】为奇函数.证明如下：因为函数对任意的x，，都有，所以令，可得，代入，可得，所以为奇函数；所以，由奇函数的性质可知奇函数在定义域内是单调的，且当时，，所以当时， 【小问2详解】函数在区间上为单调递增函数.证明如下：设，则，因为，且当时，，所以，所以当时，，所以函数在区间上为单调递增函数.【小问3详解】因为，设，所以因为，且函数在区间上为单调递增函数，所以不等式等价于，等价于，方程的根为，即，所以不等式的解集为.22.设，函数．（1）若函数为奇函数，求a的值； （2）若，函数在区间上的值域是（），求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据函数为奇函数利用求解即可；（2）分讨论，分别求出函数的定义域，单调性，时利用单调递增建立方程，根据方程根的分布列出不等式即可求出的范围，当时，可分析所在区间，据此得出关于的等式，化简可得解.【小问1详解】由函数，且函数为奇函数所以，即，化简可得，解得，当时，，定义域为，关于原点对称，满足题意；当时，，定义域为，关于原点对称，满足题意.所以函数为奇函数时，或.【小问2详解】，，，故，而，，当时，在上为增函数， 当时，，即是方程的两个不同的实根，令，则在上有两个不等的实根，故，即，解得；当时，，函数定义域为，时，，若，则，而，所以，矛盾，故，因为在上单调递减，故，即，两式相减可得，因为，所以，即，所以，即.综上，当时，，当时，，即的取值范围为.【点睛】关键点点睛：本题的关键点之一在于对分类讨论，确定函数的定义域及单调性；关键点之二在于当函数为单调递增函数时，建立最大值与最小值的表达式，据此抽象出为方程的两不等实根，从而换元后根据根为正数，列出不等式组.