浙江省宁波市鄞州中学2022-2023学年高一数学上学期期中试卷（Word版附解析）

鄞州中学2022学年第一学期期中考试高一年级数学试题一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选､多选､错选均不得分）1.已知全集，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据补集的定义可得结果.【详解】因为全集，，所以根据补集的定义得，故选C.【点睛】若集合元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解．2.命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】改变量词，否定结论即可.【详解】命题“，”的否定是“，”.故选：B.3.设，，，则，，的大小关系为（）AB.C.D. 【答案】D【解析】【分析】将化为，利用指数函数单调性得，，即可得.【详解】由指数函数的单调性可得，，，所以.故选：D4.下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若则【答案】B【解析】【分析】举特值分析可知ACD不正确，根据不等式的性质可知B正确.【详解】对于A，当，时，满足，但不满足，故A不正确；对于B，由可得，故B正确；对于C，若，若，则，故C不正确；对于D，当，时，满足，但是，故D不正确.故选：B5.已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（）A.B.不等式的解集为C.D.不等式的解集为 【答案】B【解析】【分析】根据解集形式确定选项A错误；化不等式为即可判断选项B正确；设，则，判断选项C错误；解不等式可判断选项D错误.【详解】解：因为关于的不等式的解集为或，所以，所以选项A错误；由题得，所以为.所以选项B正确；设，则，所以选项C错误；不等式为，所以选项D错误.故选：B6.已知，若，则（）A.5B.C.2D.2或【答案】B【解析】【分析】根据题意将两部分范围确定，分别代入函数，即可解出的值，再代入求解即可.【详解】解：根据题意，当时函数在上单调递增，当时函数在上单调递增，若，， 则必有，即，则，即，则，解得或（舍去），，故选：B.7.已知函数，则的图象大致是（）A.B. C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数奇偶性排除A，再由时，时排除BC即可.【详解】∵，定义域为，关于原点对称，∴，故是偶函数，排除A；当时，，即，，所以，当时，又有，因此，排除B，C.故选：D.8.函数定义域为，若为偶函数，且当时，，则（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据为偶函数，则，得到函数的图象关于直线对称．再根据为偶函数，的定义域关于对称解得，然后利用指数函数的单调性求解.【详解】因为为偶函数，则，故函数的图象关于直线对称．又函数的定义域为，则，解得，故当时，单调递减，又，，，所以，即，故选：A．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，对称性的应用以及指数函数单调性的应用，还考查了转化化归的思想和理解辨析的能力，属于中档题.二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求的，全部选对得5分，选对但不全对得2分，有选错的得0分）9.已知幂函数的图象经过点，则（）A.函数为增函数B.函数为偶函数C.当时，D.当时，【答案】ACD【解析】【分析】设幂函数的解析式，代入点，求得函数的解析式，根据幂函数的单调性可判断A、C项，根据函数的定义域可判断B项，结合函数的解析式，利用平方差证明不等式可判断D项.【详解】解：设幂函数，则，解得，所以，所以的定义域为，在上单调递增，故A正确，因为的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误，当时，，故C正确，当时，，又，所以，D正确．故选：ACD.10.已知，且，则下列说法正确的是（） A.B.C.的最小值为D.【答案】ABCD【解析】【分析】利用基本不等式逐一计算判断即可.【详解】对于A：，，即，则，当且仅当时，等号成立，A正确；对于B：，当且仅当，即时等号成立，又，即，成立，B正确；对于C：，当且仅当，即时等号成立，C正确；对于D：，当且仅当时，等号成立，D正确；故选：ABCD．11.已知函数的定义域是，且，当时，，，则下列说法正确的是（）A. B.函数在上是减函数C.D.不等式的解集为【答案】ABD【解析】【分析】利用赋值法求得，判断A；根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，可判断函数的单调性，判断B;利用，可求得C中式子的值，判断C；求出，将转化为，即可解不等式组求出其解集，判断D.【详解】对于A，令，得，所以，故A正确；对于B，令，得，所以，任取，且，则，因为，所以，所以，所以在上是减函数，故B正确；对于C， ，故C错误；对于D，因为，且，所以，所以，所以等价于，又在上是减函数，且，所以，解得，故D正确,故选:ABD．12.给出定义：若，则称为离实数最近的整数，记作．在此基础上给出下列关于函数的四个结论，其中正确的是（）A.函数的定义域为R，值域为B.函数的图象关于直线对称C.函数是偶函数D.函数在上单调递增【答案】ABC【解析】【分析】根据函数的定义，画出函数的图象，根据图象判断即可.【详解】根据的定义知函数的定义域为，，即，所以，函数的值域为，A正确；函数的图象如图所示，由图可知的图象关于直线对称，B 正确；由图象知函数是偶函数，C正确；由图象知D不正确．故选：ABC．【点睛】本题的关键在于理解的含义，然后写出函数的解析式，根据解析式作出函数的图象，进而通过图象判断函数的性质.三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若函数的定义域为，则函数的定义域为__________．【答案】【解析】【分析】利用复合函数求函数的定义域的原则及分式有意义即可求解【详解】因为函数的定义域是，所以，所以所以函数的定义域为，要使有意义，则需要，解得，所以的定义域是.故答案为：14.已知函数定义域为，对任意的，都有，，则的解集为___________. 【答案】【解析】【分析】依题意可得，令，即可得到在上单调递减，则问题转化为即，根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】解：因为函数定义域为，对任意的，都有，即，令，即，又因为，所以函数在上单调递减，不等式可变为，又因为，所以，所以，即，又因为函数在上单调递减，所以，解得，即不等式的解集为.故答案为：.15.已知实数满足，则的最大值为___________.【答案】【解析】【分析】变形，令，则，消去中的，然后利用方程有解来求解即可.【详解】∵，则，令，则，， ，即，的值使方程有解，，解得故的最大值为故答案为：16.设函数，若存在最小值，则的最大值为_____.【答案】【解析】【分析】当时，由一次函数单调性可知无最小值，不合题意；当时，结合二次函数性质可知，满足题意；当和时，根据函数存在最小值可确定分段处的函数值的大小关系，由此解得的范围；综合所有情况即可得到的最大值.【详解】当时，在上单调递增，此时无最小值，不合题意；当时，，当时，，又时，，存在最小值，满足题意；当时，在，上单调递减，在上单调递增，若存在最小值，则，解得：，；当时，在上单调递减，在上单调递增，若存在最小值，则，不等式无解；综上所述：实数的取值范围为，则的最大值为.故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数的存在最值求解参数范围的问题，解题关键是能够通过对参数的范围的讨论，确定分段函数的单调性，进而根据分段处函数值的大小关系确定不等式组求得结果.四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）17.（1）求值：（2）已知非零实数a满足，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用指数和指数幂的运算性质直接化简即可；（2）根据化得，对式子进行等价变形为，然后代入求值即可.【详解】（1）解:原式.（2），，，即.原式.18.已知命题：“，都有不等式成立”是真命题.（1）求实数的取值集合；（2）设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）参变分离后转化为最值问题求解，（2）分类讨论解不等式得，由集合间关系列不等式求解，【小问1详解】由题意得在时恒成立，∴，得，即.【小问2详解】不等式，①当，即时，解集，若是的充分不必要条件，则是的真子集，∴，此时；②当，即时，解集，满足题设条件.③当，即时，解集，若是的充分不必要条件，则是的真子集，∴，此时，综上①②③可得.19.两县城和相距km，现计划在县城外以为直径的半圆弧(不含两点)上选择一点建造垃圾处理站，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，垃圾处理厂对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为；对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为，对城市和城市的总影响度为城市和城市的影响度之和，记点到城市的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为，统计调查表明：当垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为. （1）将表示成的函数；（2）判断弧上是否存在一点，使得建在此处的垃圾处理厂对城市和城的总信影响度最小？若存在，求出该点到城的距离；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）存在，该点到城的距离为.【解析】【分析】（1）由，得，由题意得，再录垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为，求出，即可得解；（2）由（1）知，令，换元得，利用基本不等式求最值即可.【详解】（1）由为直径，得，由已知得又当垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为，即，，代入上式得，解得所以表示成的函数为：（2）令则又，当且仅当，即，等号成立，所以，当时，等号成立. 所以弧上存在一点，该点到城的距离为时，建在此处的垃圾处理厂对城市和城的总信影响度最小为.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.20.对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”.（1）已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”，并说明理由：（2）若为定义在上的“局部奇函数”，求实数的取值范围.【答案】（1）是“局部奇函数”.（2）.【解析】【分析】（1）利用已知，根据“局部奇函数”定义求解即可.（2）根据已知、“局部奇函数”定义，利用换元法、借助一元二次函数图象与性质进行求解.【小问1详解】因为，对于方程，即，即，化简得：，解得，所以方程有解，所以是“局部奇函数”.【小问2详解】因为是定义在上的“局部奇函数”， 所以有解，即，即，令，则，所以关于的方程在上有解，即在上有解，令，，①当时，即，即时，方程在上有解；②当时，即时，要使方程在上有解，则，解得，又，所以无解；综上，实数的取值范围为.21.已知.（1）用定义证明的单调性，并求在区间上的最大值和最小值；（2）己知集合，其中且，且对任意，都有，求的值.【答案】（1）证明见解析，最大值3，最小值（2）【解析】【分析】（1）依题意可利用定义法证明单调性或利用导数证明单调性，再根据函数的单调性求出函数在[2，4]上的最值即可；（2）结合单调性可得的值域，再结合题意根据集合间的包含关系列不等式求解即可． 【小问1详解】，，且，则，∵，且，∴，∴，∴函数在上单调递减，同理可得函数在上单调递减．∵函数在上单调递减，．【小问2详解】当时，在区间上单调递减，对任意，都有 且且，22.已知函数,.（1）若，求的单调区间；（2）求函数在上的最值；（3）当时，若函数恰有两个不同的零点，求的取值范围.【答案】（1）在上单调递减,在上单调递增；（2）见解析；（3）.【解析】【分析】（1）分段结合二次函数图形讨论函数的单调性即可；（2）分，， ，四段讨论函数的单调性，求出最值；（4）令，分别解出，，（舍），得，然后化简求出取值范围即可.【详解】（1）当时，函数的对称轴是，开口向上，故在上单调递减,在上单调递增.当时，函数在上单调递增.综上：在上单调递减,在上单调递增.（2）①当时，的对称轴是，在上递减，在上递增而最小值，最大值；②当时的对称轴是，，的最小值为，最大值，③当时，的最小值为，最大值， ④当时，的对称轴是的最小值，最大值，综上：①当时，的最小值，最大值；②当时，的最小值为，最大值；③当时，的最小值为，最大值④当时，的最小值，最大值（3）当时,令,可得，，因为，所以，（舍去）所以,在上是减函数,所以.【点睛】本题考查了绝对值函数的单调性，值域与零点问题，绝对值函数常转化为分段函数分类讨论求解.