云南师范大学附属中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

2023级高一年级教学测评月考卷（四）数学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第II卷第3页至第4页，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.第I卷（选择题，共60分）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.命题“，”的否定为（）A.“，”B.“，”C.“，”D.“，”3.已知扇形的圆心角是，半径为3，则扇形的面积为（）A.60B.120C.D.4.在平面直角坐标系中，角终边经过点，则（）A.B.C.D.5.已知，，则（）A.B. C.D.6.已知函数为奇函数，函数为偶函数，，则（）A.B.C.1D.27.已知函数，且，则（）A.B.C.D.8.已知偶函数的定义域为，若在上单调递减且，则满足的的取值范围是（）A.B.C.D.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知命题，那么命题成立一个充分不必要条件是（）A.B.C.D.10.已知，且，则（）AB.C.D.为第四象限角11.已知函数，下列结论正确的是（）A.的最小正周期是B.的单调递增区间为C.的图象关于点对称 D.要得到的图象，只需把的图象向左平移个单位12.对任意两个实数，定义,若，，下列关于函数的说法正确的是（）A.函数是奇函数B.方程有三个解C.函数在区间上单调递减D.函数有4个单调区间第II卷（非选择题，共90分）注意事项：第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知，且，则的最小值为__________.14.已知命题若为第二象限角，且，则.能说明命题为假命题的一组的值可以是______，______.15.设是正实数，已知函数在区间上恰有两个零点，则的最大值是______.16.已知函数在上的最大值为，则实数k的值为______.四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知.（1）求的值；（2）求的值.18.已知集合，.（1）若集合，求实数的值；（2）若，“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 19.已知为锐角，，.（1）求的值；（2）求的值.20.已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中的图象与轴的一个交点的横坐标为.（1）求这个函数的解析式，并写出它的单调区间；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.21.已知函数.（1）判断奇偶性，并说明理由；（2）判断在上的单调性，并用定义证明；（3）求在上的值域.22已知函数.（1）当时，求在上的最值；（2）设函数，若存在最小值，求实数的值. 2023级高一年级教学测评月考卷（四）数学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第II卷第3页至第4页，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.第I卷（选择题，共60分）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】用集合的交集运算求出即可.【详解】集合，，则，故选：B.2.命题“，”的否定为（）A.“，”B.“，”C.“，”D.“，”【答案】D【解析】 【分析】利用全称命题的否定形式判定即可.【详解】命题“，”的否定为:“，”.故选:D.3.已知扇形的圆心角是，半径为3，则扇形的面积为（）A.60B.120C.D.【答案】D【解析】【分析】利用扇形的面积公式计算即可.【详解】因为扇形的圆心角是，半径为3，所以扇形的面积，故选:D.4.在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的定义及诱导公式计算即可.【详解】因为角的终边经过点，则，故.故选:A.5.已知，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用不等式的性质结合特殊值法一一判定即可. 【详解】取，，满足，，故A，B，D错误，因为，，则，故.故选：C.6.已知函数为奇函数，函数为偶函数，，则（）A.B.C.1D.2【答案】A【解析】【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得，然后代入计算，即可得到结果.【详解】根据题意，由①得，因为为奇函数，为偶函数，所以，，所以②，由①②得，所以，则.故选：A.7.已知函数，且，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，由条件代入计算可得，，再由，代入计算，即可得到结果.【详解】，且，则，即，同理可得，， 又，，则，，，，解得.故选：B.8.已知偶函数定义域为，若在上单调递减且，则满足的的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性及单调性计算即可.【详解】因为偶函数的定义域为，且在上单调递减，所以在上单调递增，因为，所以，所以，所以或，解得或，所以的取值范围是.故选:D.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知命题，那么命题成立的一个充分不必要条件是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】由命题的充分不必要条件结合不等式解得. 【详解】由，解得，则和都是的充分不必要条件，故选：BC.10.已知，且，则（）A.B.C.D.为第四象限角【答案】ACD【解析】【分析】利用同角三角函数关系及三角函数的符号一一判定选项即可.【详解】，，，，故A正确；，故C正确；，故B错误；因为，且，所以为第四象限角，故D正确.故选:ACD.11.已知函数，下列结论正确的是（）A.的最小正周期是B.的单调递增区间为C.的图象关于点对称D.要得到的图象，只需把的图象向左平移个单位【答案】AB【解析】 【分析】根据两角差的余弦公式及辅助角公式，进而结合正弦函数的性质及平移变换判断各选项即可.【详解】，对于A，的最小正周期为，故A正确；对于B，令，解得，的单调递增区间为，故B正确；对于C，当时，，的图象不关于点对称，故C错误；对于D，的图象向左平移个单位后，解析式为，故D错误.故选:AB.12.对任意两个实数，定义,若，，下列关于函数的说法正确的是（）A.函数是奇函数B.方程有三个解C.函数在区间上单调递减D.函数有4个单调区间【答案】BD【解析】【分析】根据新定义函数及函数的单调性与奇偶性结合函数的图象一一分析选项即可.【详解】令，解得，所以当时，；当或时，； 所以,作出函数图象，如图所示，对于A，由图象可得关于轴对称，所以为偶函数，故A错误；对于B，因为的图象与轴有3个交点，所以方程有三个解，故B正确；对于C，由图象可知函数在上不单调递减，故C错误；对于D，由图象可知函数在和上单调递增，在和上单调递减，所以函数有4个单调区间，故D正确，故选:BD.第II卷（非选择题，共90分）注意事项：第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知，且，则的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】根据题意，将原式化为，再由基本不等式，即可得到结果. 【详解】因为，且，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：14.已知命题若为第二象限角，且，则.能说明命题为假命题的一组的值可以是______，______.【答案】①.②.【解析】【分析】只要找到一组满足题意的角即可.【详解】取，，则，但，不满足，命题为假命题，能说明命题为假命题的一组的值可以是，.答案为：；15.设是正实数，已知函数在区间上恰有两个零点，则的最大值是______.【答案】【解析】【分析】先用辅助角公式化简函数式，再根据三角函数的性质计算即可.【详解】由，由，，所以，因函数在区间上恰有两个零点， 则，解得.故答案为：16.已知函数在上的最大值为，则实数k的值为______.【答案】##【解析】【分析】根据二次函数的对称性讨论最值取值情况即可得实数的值.【详解】函数开口向上，对称轴，区间的中点，当时，，所以离对称轴较远，所以，解得，不符合；当时，，所以离对称轴较远，所以，解得，符合条件.所以的值为.故答案为：四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）2.【解析】【分析】（1）（2）利用诱导公式及同角三角函数的商数关系计算即可.【小问1详解】因为，所以. ；【小问2详解】.18.已知集合，.（1）若集合，求实数的值；（2）若，“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围.【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）根据题意，由一元二次不等式的解集，结合韦达定理代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由条件可得，然后分与讨论，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】因为，所以方程的两根分别为和3，由韦达定理得解得.所以实数的值为3.【小问2详解】由，得，，由于“”是“”的充分不必要条件，则，当时，，此时不成立；当时，，因为，则有且等号不同时成立，解得，综上所述，实数的取值范围是. 19.已知为锐角，，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的关系及二倍角的正弦余弦公式即可求解；（2）根据二倍角正切公式及同角三角函数的关系，利用凑配法及两角差的正切公式即可求解.【小问1详解】为锐角，，，，，，【小问2详解】，，为锐角，，，，.20.已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中 的图象与轴的一个交点的横坐标为.（1）求这个函数的解析式，并写出它的单调区间；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】（1），递增区间是；递减区间是（2）最大值是，最小值是.【解析】【分析】（1）根据函数图象可得及周期，即可求出，再利用待定系数法求出,利用正弦函数的单调性即可求解；（2）根据正弦函数的性质由整体代换法求解.【小问1详解】由图，知，，，，，则，，由，可得， 故的递增区间是；由，可得，故的递减区间是【小问2详解】当时，，当，即时，取得最大值为；当，即时，取得最大值为；在区间上的最大值是，最小值是.21.已知函数.（1）判断的奇偶性，并说明理由；（2）判断在上的单调性，并用定义证明；（3）求在上的值域.【答案】（1）奇函数，理由见解析（2）在上为单调递增，证明见解析（3）.【解析】【详解】解:（1）函数是奇函数，的定义域为，关于原点对称，因为，所以在上是奇函数. （2）在上为增函数.证明:任取，则，因为，所以，，，则，即，故在上为增函数.（III）结合（1）（2）知在上为增函数，即在上单调递增，当时，取得最小值，且最小值为；当时，取得最大值，且最大值为，故在上的值域为.22.已知函数.（1）当时，求在上的最值；（2）设函数，若存在最小值，求实数的值.【答案】（1）最小值为，最大值为8（2）6【解析】【分析】（1）根据题意，设，由换元法，结合二次函数的值域，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，令，结合二次函数的最值，分类讨论，即可得到结果.【小问1详解】当时，， 设，则，开口向上，对称轴，所以函数在上单调递减，上单调递增，所以，，所以在上的最小值为，最大值为8.【小问2详解】，设，当且仅当，即时取得等号，所以，，对称轴.当，即时，，在上单调递增，则当时，，解得，不满足题意；当，即时，在上单调递减，上单调递增，所以时，，解得或（舍去），综上，实数的值为6.