云南省昆明市云南师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题（Word版附解析）

2025届高二年级上学期第二次月考数学本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.第I卷（选择题，共60分）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合A，再利用交集的定义求解即得.【详解】由不等式，得，解得，因此，而，所以.故选：C2.复数的虚部是实部的2倍，则实数（）A.1B.3C.5D.7【答案】D【解析】【分析】根据复数代数形式的乘法化简复数，再根据虚部与实部的关系得到方程，解得即可.【详解】因为，又的虚部是实部的倍，，解得.故选：D. 3.已知椭圆的焦点在轴上，若焦距为4，则该椭圆的离心率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的焦点在轴上，焦距为4，结合a,b,c之间的关系以及离心率公式可得答案.【详解】由题得，即，由焦距为4得，解得，可得椭圆方程为，所以，，所以离心率为.故选：B.4.经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有（）条.A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】讨论直线在两坐标轴上的截距是否为0，结合直线的截距式方程求解，即可得答案.【详解】若直线经过原点，则，在坐标轴上的截距均为0，符合题意，若截距均不为0，则设直线方程为，将代入得，此时直线方程为，符合题意；即经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有2条故选：C.:5.“”是“直线与圆相交”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先求出直线与圆相交的充要条件，结合四种条件的定义可得答案. 【详解】直线与圆相交，显然，推不出，而可推出，故是必要不充分条件.故选：B.6.已知空间三点，，，若，且，则点的坐标为（）A.B.C.或D.或【答案】C【解析】【分析】设点坐标，由可解出坐标，再用空间向量模长公式即可.【详解】设，则，，因为，所以，，，所以，又，解得或，所以或，故选:C7.已知函数在时有最大值，且在区间上单调递增，则的最大值是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先根据最值可得，结合单调性可得答案.【详解】在时取得最大值，即，可得，所以，因为要求的最大值，所以这里可只考虑的情况， 又因为在上单调递增，所以，解得，当时，，所以的最大值为，故选：C.8.如图，某同学用两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪.木条中间挖一道槽，在另一活动木条的P处钻一个小孔，可以容纳笔尖，A，B各在一条槽内移动，可以放松移动以保证与的长度不变，当A，B各在一条槽内移动时，P处笔尖就画出一个椭圆E.已知，且P在右顶点时，B恰好在点，则E的离心率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设，，根据已知结合图形，得出，然后求出，即可得出答案.【详解】由题意知与的长度不变，已知，设，，则，当A滑动到O位置处时，P点在上顶点或下顶点，则短半轴长；又由已知可得，当P在右顶点时，B恰好在O点，则长半轴长.所以，故离心率为.故选：D.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.某机床生产一种零件，在8天中每天生产的次品数分别为，关于该组数据，下列说法正确的是（）A.中位数为3B.极差为6C.第40百分位数为4D.方差为4.75 【答案】BCD【解析】【分析】根据中位数、极差、百分位数、方差的概念及求解方法可得答案.【详解】将这组数据从小到大排列为，所以中位数为，故A错误；极差为，故B正确；因为数据共有8个，所以，所以第40百分位数是4，故C正确；设平均数为，方差为，则，，故D正确，故选：BCD.10.下列说法正确的是（）A.直线的倾斜角的取值范围是B.点关于直线的对称点为C.过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为D.直线的方向向量为，则该直线的倾斜角为【答案】ABD【解析】【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系、关于直线对称的性质、方向向量的定义逐一判断即可.【详解】对A：直线的倾斜角为，则，因为，所以，故A正确；对B：点和的中点在直线上，且连线的斜率为，可得与直线垂直，所以点关于直线的对称点为，故B正确；对C：设直线与轴交点为，则与轴交点为，当时，直线过原点，斜率为，故方程为；当时，直线的斜率，故直线方程为， 即，故C错误；对D：设直线的倾斜角为，则，又因，故，故D正确，故选：ABD.11.已知，两直线且，则下列说法正确的是（）A.B.C.的最小值为D.的最小值为9【答案】AC【解析】【分析】由题意利用两条直线垂直的性质，求得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得．【详解】解：，，两直线，，且，，即，所以，当且仅当即时取等号，故选：AC．12.已知为坐标原点，椭圆：的左、右焦点分别为、，椭圆的上顶点和右顶点分别为A、B，点P、Q都在上，且，则下列说法正确的是（）A.周长的最小值为14B.四边形可能是矩形C.直线，的斜率之积为定值D.的面积最大值为【答案】ACD【解析】【分析】对四个选项一一判断：对于A：利用椭圆的对称性，判断出PQ为椭圆的短轴时，周长最小.即可判断；对于B：判断出，从而四边形不可能是矩形.即可判断；对于C：设，直接计算出.即可判断；对于D.由的面积为.即 可判断.【详解】由，可知P，Q关于原点对称.对于A.根据椭圆的对称性，，当PQ为椭圆的短轴时，有最小值6，所以周长的最小值为14.故A正确；对于B.因为，所以，则，故椭圆上不存在点，使得，又四边形是平行四边形，所以四边形不可能是矩形.故B不正确.对于C.由题意得，设，则，所以.故C正确；对于D.设的面积为，所以当PQ为椭圆的短轴时，最大，所以.故D正确.故选：ACD.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数是奇函数，则__________.【答案】1【解析】【分析】利用奇函数的定义可求答案.【详解】因为，故，因为为奇函数，故，，整理得到，解得.故答案为：114.若直线过点且与平行，则直线的一般方程为__________.【答案】 【解析】【分析】依题知斜率和点，写出点斜式方程，最后化为一般方程.【详解】因为直线的斜率是：，且直线与平行，直线的斜率也为，故直线的方程是：，整理得.故答案为：15.已知椭圆：，过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为______．【答案】【解析】【分析】已知相交弦的中点，用点差法求出斜率，即可求解.【详解】在椭圆内，过点的直线与椭圆必相交于A，B两点，设，且弦AB被点P平分，故直线AB的斜率存在，两式相减得，，直线AB的方程为.故答案为:【点睛】本题考查相交弦的中点问题，利用点差法得到中点坐标与相交弦的斜率关系，属于基础题.16.点在曲线上，则取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】由题意，问题转化为半圆上的点到定直线的距离的5倍，进而求出结果.【详解】如图，曲线为圆的上半圆，圆心，半径为2，,表示点到直线距离的5倍．由点到直线的距离公式得，，所以直线与圆相离， 最大值为最小值为则的取值范围为．故答案为：.四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在中，设所对的边分别为，且满足.（1）求角；（2）若，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理化简已知式即可得出答案；（2）由余弦定理求出的值，再由三角形的面积公式即可得出答案.【小问1详解】因为，由余弦定理得，即所以.又，所以.【小问2详解】由余弦定理得：，则， ，解得，所以18.某市在创建国家级卫生城（简称“创卫”）的过程中，相关部门需了解市民对“创卫”工作的满意程度，若市民满意指数（满意指数）不低于0.8，“创卫”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改.为此该部门随机调查了100名市民，根据这100名市民对“创卫”工作满意程度给出的评分，分成六组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中的值；（2）为了解部分市民给“创卫”工作评分较低的原因，该部门从评分低于70分的市民中用分层抽样的方法随机选取8人进行座谈，求应选取评分在的市民人数；（3）假设同组中的每个数据用该组的中点值代替，根据你所学的统计知识，判断该市“创卫”工作是否需要进一步整改，并说明理由.【答案】（1）（2）3人（3）需要进一步整改，理由见解析【解析】【分析】（1）由频率分布直方图中所有小长方形的面积和为1可求得答案；（2）由频率分布直方图求出评分在、、的市民人数可得答案；（3）由频率分布直方图求出平均分后比较可得答案．【小问1详解】依题意得：，得；【小问2详解】由频率分布直方图知，评分在的市民人数为；评分在的市民人数为；评分在的市民人数，故应选取评分在的市民人数为； 小问3详解】由频率分布直方图可得满意程度平均分为，则满意指数，故该市“创卫”工作需要进一步整改.19.已知圆C过点，圆心C在直线上，且圆C与x轴相切．（1）求圆C的标准方程；（2）过点的直线l与圆C相交于A、B两点，若为直角三角形，求直线l的方程．【答案】（1）（2）或．【解析】【分析】(1)待定系数法求圆的方程即可；(2)设，根据题意得到弦长，再结合垂径定理和点线距离公式可求的值，从而得到直线l的方程．【小问1详解】由题意，设圆心，由于圆C与x轴相切．半径，所以设圆C方程为又圆C过点，解得圆C方程为．【小问2详解】由圆C方程易知直线l的斜率存在，故设，即，设C到l的距离为d，则，为直角三角形，，，或，故直线l得方程为或．20.与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及学生安全教育，某社区举办学生安全知识竞赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是．乙、丙两个家庭都回答正确的概率 是，各家庭是否回答正确互不影响，（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率：（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据独立事件的乘法公式即可得到方程，解出即可；（2）利用独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式即可得到答案.【小问1详解】记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C，则，，，即，，所以，，所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为，．【小问2详解】有3个家庭回答正确的概率为，有2个家庭回答正确的概率为，所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率．21.如图甲，在直角梯形中，是的中点，是与的交点.将沿折起到.的位置，如图乙. （1）证明：平面.；（2）若二面角为直二面角，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）.【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明即可；（2）以为原点，分别以所在直线为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，分别求出平面的法向量和直线的方向向量，由线面角的向量公式求解即可得出答案.【小问1详解】证明：在图甲中，因为是的中点，，故四边形为正方形，所以，即在图乙中，，又平面，所以平面.又，所以四边形是平行四边形，所以，所以平面【小问2详解】解：由已知，平面平面，又由（1）知，，所以为二面角的平面角，所以， 如图所示，以为原点，分别以所在直线为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，，设平面的一个法向量为，因为，令，故平面的一个法向量为，又，设直线与平面所成角的平面角为，从而，故直线与平面所成角的正弦值为.22.已知椭圆：（）上任意一点到两个焦点的距离之和为，且离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作直线交椭圆于，两点，点为线段的中点，求直线的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知条件和椭圆定义求出，再由离心率求出，根据求出，即可求得椭圆的标准方程； （2）使用点差法进行求解即可.【小问1详解】由椭圆的定义知，，∴，又∵椭圆的离心率，∴，∴，∴椭圆的标准方程为.【小问2详解】∵为椭圆内一点，∴直线与椭圆必交于，两点，设，，当时，不合题意，故，∵为线段的中点，∴，∴，又∵，均在椭圆上，∴，两式相减，得，即，∴，∴，即，∴直线的方程为，即．