四川师范大学附属中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

四川师大附中2023-2024学年度（上期）期末调考模拟考试高2023级数学注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置.2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4、考试结束后，请将答题卡上交，试卷由本人保存.第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先由自然数集的概念化简集合，再利用集合的交集运算即可得解.【详解】因为，，所以.故选：C．2.命题的否定为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得答案. 【详解】命题的否定为.故选：B3.函数的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分析函数的奇偶性排除两个选项，再利用时，值为正即可判断作答.【详解】函数定义域为R，，即是奇函数，A，B不满足；当时，即，则，而，因此，D不满足，C满足.故选：C4.若m是方程的根，则下列选项正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】将m是方程根转化为m为函数的零点，得到函数单调递增，且，，再根据零点存在性定理即可求解．【详解】设，∵m是方程的根，∴m为函数的零点，∵函数，在上都为单调递增函数， ∴在上连续且单调递增，又∵，，∴函数的零点一定在区间内，∴．故选：B．5.设，，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用对数函数，指数函数的单调性和三角函数的符号进行判断.【详解】考查对数函数在上为减函数，所以：；考查指数函数在上为减函数，所以；因为是第四象限角，所以;综上：.故选：A6.定义在上的偶函数满足，且时，，则（）A.2B.1C.0D.【答案】D【解析】【分析】根据条件求得函数的周期，再利用题中条件转化一下，即可求值.【详解】因为定义在上的偶函数满足，则，，，所以函数的周期为，则， 又，故选：D.7.已知函数值域为，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】判断当时，的取值范围，从而判断时，的取值范围应包含，由此列出不等式，求得答案.【详解】由题意知当时，，由于函数的值域为，故时，的取值范围应包含，故此时，且，故，即实数a的取值范围是，故选：D8.通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y（单位：升/小时）与液体所处环境的温度x（单位：）近似地满足函数关系（为自然对数的底数，a，b为常数）.若该液体在的蒸发速度是0.2升/小时，在的蒸发速度是0.4升/小时，则该液体在的蒸发速度为（）A.0.5升/小时B.0.6升/小时C.0.7升/小时D.0.8升/小时【答案】D【解析】【分析】由题意可得，求出，再将代入即可得解.【详解】由题意得，两式相除得，所以， 当时，，所以该液体在的蒸发速度为0.8升/小时.故选：D.二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求；全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）9.若，，则下列不等关系一定正确的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】取可判断A；作差法可判断B，D；取特值可判断C.【详解】对于A，若，，则，故A错误；对于B，因为，所以，所以，故B正确；对于C，取，，满足，但，故C错误；对于D，因为，所以，所以，故D正确;故选：BD.10.若角的终边落在第二象限，则下列结论正确的是（）A.点在第三象限B.角的终边经过点，则实数的取值范围是C.为其终边上的一点，且，则等于D.的值为【答案】AC【解析】【分析】根据条件，利用三角函数的定义及三角函数在各个象限的符号，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于选项A，因为角的终边落在第二象限，所以，所以选项A正确；对于选项B，由题知，，得到，所以选项B错误；对于选项C，因为为其终边上的一点，且，所以，得到或（舍去），所以，故选项C正确，对于选项D，，所以选项D错误，故选：AC.11.对于函数和，设，，若存在，使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值可以是（）A.2B.C.3D.4【答案】ABC【解析】【分析】首先确定函数的零点，然后结合新定义的知识得到关于a的等式，分离参数，结合函数的单调性确定实数的取值范围即可.【详解】很明显函数是R上的单调递增函数，且，据此可知，结合“零点相邻函数”的定义可得，则，据此可知函数在区间上存在零点，即方程在区间上存在实数根，整理可得：，根据对勾函数的性质，很明显函数在区间上单调递减，在 上单调递增，所以，，则函数的值域为，据此可知实数的取值范围是.故选：ABC【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.12.定义在上的奇函数，满足，则下列说法正确的是（）A.函数的单调增区间为和B.方程的所有实数根之和为C.方程有两个不相等的实数根D.当时，的最小值为2，则【答案】AD【解析】【分析】由已知函数的奇偶性及函数解析式作出函数图象，逐一分析四个选项得答案.【详解】是定义在上奇函数，且，作出函数的图象如图由图可知，函数的单调增区间为和，故A正确；由解得.关于的方程的所有实数根之和为故B错误；关于的方程有3个不相等的实数根，故C错误，由解得：，若当时，的最小值为2，则，故D正确；故选：AD. 第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.一个扇形的面积和弧长的数值都是2，则这个扇形圆心角的弧度数为______.【答案】1【解析】【分析】运用扇形的弧长、面积公式计算即可.【详解】设扇形的圆心角为，半径为，所以，解得，即这个扇形圆心角弧度数为.故答案为：1.14.已知，则______.【答案】【解析】【分析】根据诱导公式求得正确答案.【详解】.故答案为： 15.设，，若，且不等式恒成立，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】首先根据已知条件得到，然后结合基本不等式即可求得最小值，再解关于的一元二次不等式即可求得的取值范围.【详解】因为，，，所以，则，当且仅当时，即时取等号，所以，解得.故答案为：16.函数，若对于任意，，当时，都有，则实数a的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】首先将不等式变形，并构造函数，讨论的正负，结合函数在区间的单调性，求实数的取值范围.【详解】∵对于任意，当时，都有，∴，令，则在上单调递增， 又∵，当时，满足题目条件，此时；当时，，时，，当时，等号成立，根据对勾函数单调性可知，有，∴，综上可知，.故答案为：．四、解答题（本题共6小题，共70分.第17题10分其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.求值：（1）；（2）已知钝角满足，求的值.【答案】（1）124（2）2【解析】【分析】（1）利用对数运算性质及指数幂运算法则进行计算即可;（2）根据条件求得的值后，所求分子分母同时除以即可求解.【小问1详解】.【小问2详解】因为，解得或，又为钝角，所以，则. 18.已知集合，.（1）求集合；（2）命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解分式不等式即可.（2）将问题转化为集合的包含关系求解即可.【小问1详解】因为，所以，解得.故.【小问2详解】由题意知，，，所以是的真子集，所以，解得.故a的取值范围为.19.2022年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，目前的新冠病毒是奥密克戎变异株，其特点是：毒力显著减弱，但传染性很强，绝大多数人感染后表现为无症状或轻症，重症病例很少，长期一段时间以来全国没有一例死亡病例．某科研机构对奥密克戎变异株在特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过的单位时间数，用y表示奥密克戎变异株感染人数，得到如下观测数据：123456…(人数)…6…36…216…若奥密克戎变异株的感染人数y与经过个单位时间T的关系有两个函数模型与 可供选择．（参考数据：，，，）（1）判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；（2）求至少经过多少个单位时间该病毒的感染人数不少于1万人．【答案】（1），（2）11个【解析】【分析】（1）利用已知的三对数据代入函数模型进行验证得出结果；（2）根据指对互化以及对数运算求得结果.【小问1详解】若选，将，和，代入得，解得得，代入有，不合题意．若选，将，和，代入得，解得，得．代入有，符合题意．【小问2详解】设至少需要x个单位时间，则，即，则，又，，，∵，∴x的最小值为11，即至少经过11个单位时间不少于1万人．20.已知函数的最小正周期为,且.（1）求函数的解析式并分别写出取最大值与最小值时相应的取值集合；（2）求函数,的单调递减区间. 【答案】20.当取得最小值时,的取值集合为当取得最大值时,的取值集合为21.和【解析】【分析】(1)根据正弦型函数的最小正周期公式，代入运算得结合,求得从而可得再根据正弦型函数的最值性质即可求解.(2)由(1)得根据正弦型函数的单调性性质即可求解.【小问1详解】的最小正周期为,又当即时,取得最小值此时的取值集合为当即时,取得最大值此时的取值集合为【小问2详解】依题意 若单调递减,则即令得其单调递减区间为和21.已知二次函数只能同时满足下列三个条件中的两个：①的解集为；②的最小值为；③在区间上是增函数．（1）请写出满足题意的两个条件的序号，并求出，，的值；（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）求关于的不等式的解集．【答案】（1）（2）（3）答案见详解【解析】【分析】（1）对①根据三个二次之间的关系分析运算；对②：根据二次函数的最值分析列式；对③：根据二次函数的对称性分析列式；结合题意可得应满足①②，运算求解；（2）根据题意参变分离可得当时恒成立，结合基本不等式运算求解；（3）根据一元二次不等式的解法分类讨论两根大小，运算求解.【小问1详解】对①：若的解集为，即的解集为，则，可得； 对②：若的最小值为，则；对③：在区间上是增函数，且的对称轴为，则；故应满足①②：则，且，解得，故.小问2详解】由（1）可得，∵当时，不等式恒成立，即，∴当时恒成立，又∵，当且仅当，即时等号成立，∴，即，故实数的取值范围为.【小问3详解】∵，即，则，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为R；当时，不等式的解集为.22.设函数.（1）证明函数在上是增函数；（2）若，是否存在常数，，，使函数在上的值域为，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）详见解析；（2）不存在，理由详见解析.【解析】【分析】（1）利用函数单调性定义证明；（2）由（1）结合复合函数的单调性得到在上是增函数，从而有，转化为m，n是方程的两个不同的正根求解.小问1详解】证明：任取，且，则，因为，则，因为，则，所以，即，所以函数在上是增函数；【小问2详解】由（1）知：在上是增函数，又，由复合函数的单调性知在上是增函数，假设存在常数，，，使函数在上的值域为，所以，即，则m，n是方程的两个不同的正根，则m，n是方程的两个不同的正根，设，则有两个大于1的不等根， 设，因为，，所以方程有一个大于0，一个小于0的根，所以不存在两个大于1的不等根，则不存在常数，，满足条件.