江苏省百校大联考2023-2024学年高一上学期12月阶段检测数学试题（Word版附解析）

江苏省百校大联考高一年级12月份阶段检测数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：苏教版必修第一册第一章至第七章第1节.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.若扇形的弧长为，圆心角为2弧度，则扇形的面积为（）A.B.C.D.3.已知，则“”是“”（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件4.已知,,,则（）A.B.C.D.5.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（）A.B.C.D.6.已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（） A.B.C.D.7.已知在R上是减函数，那么a的取值范围是（）A.B.C.D.8.流行病学基本参数：基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔T指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可用模型：（其中是开始确诊病例数）描述累计感染病例随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与，T满足，有学者估计出．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，当时，t的值为（）（）A.1.2B.1.7C.2.0D.2.5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的是2分，有选错的得0分.9.已知角与角的终边相同，则角可以是（）A.B.C.D.10.若a>b>0，则下列几个不等式中正确的是（）AB.C.a5>b5D.11已知函数，，对于任意，，，且当时，均有 ，则（）A.B.C.D.若，则12.通过等式我们可以得到很多函数模型，例如将a视为常数，b视为自变量x，那么c就是b（即x）的函数，记为y，则，也就是我们熟悉的指数函数.若令是自然对数的底数），将a视为自变量，则b为x的函数，记为，下列关于函数的叙述中正确的有（）A.B，C.在上单调递减D.若对任意，不等式恒成立，则实数m的值为0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.计算：______.14.已知正数x，y满足，则的最小值为______.15.设幂函数同时具有以下两个性质：①函数在第二象限内有图象；②对于任意两个不同的正数，，都有恒成立.请写出符合上述条件的一个幂函数___________.16.设，则__________；不等式的解的范围为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.17.设函数的定义域为集合的定义域为集合．（1）当时，求； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．18已知函数，且，．（1）求函数的解析式；（2）设，判断函数g(x)的单调性并用定义证明．19.已知函数是偶函数（1）求实数的值；（2）设，若函数与的图象有公共点，求实数的取值范围.20.为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由子此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元，设屋子的左右两面墙的长度均为米.（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价.（2）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，苦无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围.21.已知函数.（1）解关于x的不等式（2）若在区间(-∞,1]上恒成立，求实数a的取值范围.22.已知函数的定义域为D，若恰好存在n个不同的实数，，…，，使得（其中，2，…，n，），则称函数为级J函数”.（1）若函数，试判断函数是否为“n级J函数”.如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由.（2）函数是定义在R上的“4级J函数”，求实数m的取值范围. 江苏省百校大联考高一年级12月份阶段检测数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：苏教版必修第一册第一章至第七章第1节.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据集合的运算法则计算．【详解】由题意，所以．故选：A．2.若扇形的弧长为，圆心角为2弧度，则扇形的面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用扇形的面积计算公式即可得出答案.【详解】设扇形的弧长为，圆心角为，扇形的弧长为，圆心角为2弧度，即，，可得, 该扇形的面积,故选：.3.已知，则“”是“”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】B【解析】【分析】解出不等式，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】解不等式，得，显然真包含于，所以“”是“”的必要非充分条件.故选：B4.已知,,,则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数的单调性可大致判断和1的大小,将用换底公式化为以2为底的对数形式,再根据对数函数的单调性即可判断的大小,进而选出结果.【详解】解:由题知单调递增,,,,,即,综上:.故选:A5.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用偶函数定义及判断函数在上的单调性，逐项判断即得.【详解】对于A，函数是R上的奇函数，A不是；对于B，函数是R上的偶函数，在上单调递增，B是；对于C，函数是R上的偶函数，在上单调递减，C不是；对于D，函数是R上的偶函数，在上单调递减，D不是.故选：B6.已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据二次函数图象上特殊点的正负性，结合指数型函数的性质进行判断即可.【详解】由图象可知，所以，因为，所以由(1)可得：，由(3)可得：，所以， 由(2)可得：，所以，因此有，所以函数是减函数，，所以选项A符合.故选：A.7.已知在R上是减函数，那么a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据各段上的单调性和分段处的高低可得关于的不等式组，求出其解后可得正确的选项.【详解】因为为上的减函数，所以，解得，故选：A.8.流行病学基本参数：基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔T指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可用模型：（其中是开始确诊病例数）描述累计感染病例随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与，T满足，有学者估计出．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，当时，t的值为（）（）A.1.2B.1.7C.2.0D.2.5【答案】B【解析】【分析】根据所给模型求得，代入已知模型，再由，得，求解值得答案【详解】解：把代入，得，解得，所以，由，得，则， 两边取对数得，，得，故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查函数模型的实际应用，考查计算能力，解题的关键是准确理解题意，弄清函数模型中各个量的关系，属于中档题二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的是2分，有选错的得0分.9.已知角与角的终边相同，则角可以是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】根据终边相同的角的知识确定正确选项.【详解】依题意，当时，，当时，，所以BD选项符合，AC选项不符合.故选：BD10.若a>b>0，则下列几个不等式中正确的是（）A.B.C.a5>b5D.【答案】BCD【解析】【分析】举例说明即可判断选项A；根据不等式的基本性质即可判断选项B、C；根据基本不等式的应用和对数的运算性质即可判断选项D.【详解】对于A：当a=2，b=1时，，故A错误；对于B：a>b>0，则，故B正确；对于C：a>b>0，则a5>b5，故C正确； 对于D：a>b>0，则，则，故D正确．故选：BCD．11.已知函数，，对于任意，，，且当时，均有，则（）A.B.C.D.若，则【答案】BCD【解析】【分析】根据抽象函数的性质，利用赋值法可判断A，根据性质可判断B，由赋值法及性质可判断C，根据抽象函数的性质判断函数的单调性可判断D.【详解】令，则，解得，故A错；因为，故B正确；因为，所以，故C正确；设任意的，且，则，所以，即，所以函数为上的增函数，因为，所以，解得，故D正确.故选：BCD12.通过等式我们可以得到很多函数模型，例如将a视为常数，b视为自变量x，那么c就是b（即x）的函数，记为y，则，也就是我们熟悉的指数函数.若令是自然对数的底数），将a视为自变量，则b为x的函数，记为，下列关于函数的叙述中正确的有（） A.B.，C.在上单调递减D.若对任意，不等式恒成立，则实数m的值为0【答案】ACD【解析】【分析】先根据题意得出的解析式，根据计算易于判断A,B两项，对于B项，可根据在上的单调性和值的正负可推得的单调性，对于D项，则需要等价转化，运用参变分离法分区间讨论得出的范围进行判断.【详解】由题意可得，，两边取自然对数得，，即.对于A选项，,故A项正确；对于B选项，，，因，但是（否则，值不存在），则，故B项错误；对于C选项，当时，且为增函数，则恒为负且为减函数，故C项正确；对于D选项，①当时，，则由可推得在上恒成立，即在上恒成立，不妨设则，，记，因在上单调递减，故，从而，即，故，②当时，，则由可推得在上恒成立， 即上恒成立，不妨设则,同法得，因在在上单调递增，上单调递减，故，从而，即，故.综上分析知，实数m的值为0,故D项正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：此题关键即在于选项D判断，紧紧围绕给定区间，对等价转化后的不等式恒成立问题进行处理，一般考虑运用参变分离法，其中，对于分离后另一侧函数的值域界定需要换元，并借助于对勾函数在不同区间上的值域进行判断才能得出结果.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.计算：______.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用指数运算、对数运算计算即得.【详解】.故答案为：14.已知正数x，y满足，则的最小值为______.【答案】12【解析】【分析】根据指数方程，得出的关系式，运用消元法将所求式化成关于的关系式，再利用基本不等式求解.【详解】由，可得，即，代入中，可得当且仅当时，取等号， 所以的最小值为12.故答案为：12.15.设幂函数同时具有以下两个性质：①函数在第二象限内有图象；②对于任意两个不同的正数，，都有恒成立.请写出符合上述条件的一个幂函数___________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】利用幂函数的图像、单调性得到指数满足的条件，写出一个满足题意的幂函数即可.【详解】由题意可得，幂函数需满足在第二象限内有图象且在上是单调递减即可，所以，故满足上述条件的可以为.故答案为：（答案不唯一）.16.设，则__________；不等式的解的范围为__________.【答案】①.；②..【解析】【分析】根据题意，化简函数的解析式再代入计算即得解；设，分析的奇偶性和单调性，将原不等式等价变形为，解可得答案.【详解】解：根据题意，，则；设，其定义域为，易得为减函数（减函数+减函数=减函数），又由，则函数为奇函数， 不等式，即，则有，解可得，即不等式的解集为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.17.设函数的定义域为集合的定义域为集合．（1）当时，求；（2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出集合A，B，根据集合的补集、交集运算求解即可；（2）由必要条件转化为集合间的包含关系，建立不等式求解即可.【小问1详解】由，解得或，所以．．当时，由，即，解得，所以．所以．【小问2详解】由（1）知，．由，即，解得， 所以．因为“”是“”的必要条件，所以．所以，解得．所以实数的取值范围是．18.已知函数，且，．（1）求函数的解析式；（2）设，判断函数g(x)的单调性并用定义证明．【答案】（1）（2）函数在定义域上是增函数；证明见解析【解析】【分析】（1）利用待定系数法，即可求出函数解析式；（2）先求出函数在定义域，再根据定义法证明函数单调递增即可.【小问1详解】解：由得，，解得，所以【小问2详解】解：，在定义域上为增函数，证明如下：设任意，且，，因为，且， 所以由知，即，所以，因此，所以函数在定义域上是增函数．19.已知函数是偶函数（1）求实数的值；（2）设，若函数与的图象有公共点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据函数解析式以及偶函数的定义可求得实数的值；（2）利用函数与方程的思想，把函数与的图象有公共点的问题转化成方程有解的问题，进而求得参数的取值范围.【小问1详解】由函数，得，又因为是偶函数，所以满足，即，所以，即对于一切恒成立，所以，故；【小问2详解】由得若函数与的图象有公共点，等价于方程有解，即，所以，即方程在上有解， 由指数函数值域可知，，所以，所以实数的取值范围是.20.为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由子此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元，设屋子的左右两面墙的长度均为米.（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价.（2）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，苦无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围.【答案】（1）当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元；（2）.【解析】【分析】（1）甲工程队的总造价为元，求出，再利用基本不等式求解；（2）由题意可得对任意的恒成立，化简得恒成立，利用基本不等式求函数的最小值得解.【详解】（1）甲工程队的总造价为元，则，.当且仅当，即时等号成立.即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元.（2）由题意可得，对任意的恒成立. 即，从而恒成立，令，，故.所以.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，考查不等式的恒成立问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21.已知函数.（1）解关于x的不等式（2）若在区间(-∞,1]上恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】【分析】（1）分，，，，讨论即得；（2）由题可得对于任意的，有恒成立，然后分类讨论求函数最值即得.【小问1详解】当时，，不等式的解集为；当时，由可得；方程的根为，2，当时，，不等式的解集为}；当时当时，即，不等式的解集为；当时，即，不等式的解集为或}；当时，即，不等式的解集为或. 【小问2详解】由，得，所以对于任意的，有恒成立设函数，对称轴为，①当，即，时取得最小值，，解得，所以.②当，即，函数g(x)在单调递减，所以时取得最小值，，解得，所以.综上有①，②得.22.已知函数的定义域为D，若恰好存在n个不同的实数，，…，，使得（其中，2，…，n，），则称函数为级J函数”.（1）若函数，试判断函数是否为“n级J函数”.如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由.（2）函数是定义在R上的“4级J函数”，求实数m的取值范围.【答案】22.是；23.【解析】【分析】（1）利用“级函数”的定义可求解；（2）将问题转化为恰有4个解，令，，进而转化为方程在上有两个不等实根，利用二次函数的性质即可求解.【小问1详解】 令，则，解得         所以函数是“2级函数”，即；【小问2详解】由，得，即，因为函数为R上的“级函数”，所以该方程恰有4个解，令，，则，但当时，；所以方程在上有两个不等实根，令，则，解得．∴实数的取值范围为．【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解