重庆市永川中学2023-2024学年高一上学期期中数学复习题（一）（Word版附解析）

永川中学校高2023级半期复习卷（一）一、单选题1.设集合，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据集合的运算法则计算．【详解】由已知，，．故选：C．2.已知a，b，，则下列语句能成为“a，b，c都不小于1”的否定形式的是（）A.a，b，c中至少有1个大于1B.a，b，c都小于1C.a，b，c不大于1D.或或【答案】D【解析】【分析】命题的否定形式.【详解】“a，b，c都不小于1”的否定形式为至少有一个小于1，即“或或”，故选：D.3.若，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式结合充分条件和必要条件的定义即可得解.【详解】因，，，所以， 则，当且仅当，即时取等号，若，当，此时，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.4.已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，从而得到，解得即可.【详解】因为，，且，所以，当且仅当，即，时取等号，所以，因为恒成立，所以，即，解得，所以实数的取值范围是.故选：C5.已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（）AB.2C.1D.【答案】A【解析】 【分析】根据不等式的解集结合一元二次不等式与一元二次方程的关系可得根与系数的关系式，求得以及的范围，利用基本不等式即可求得答案.【详解】∵的解集为，∴，且方程的两根为，，∴，，∴，∵，∴，即，当且仅当时取“=”．而，由对勾函数的单调性，在上单调递增，∴，当且仅当时取“=”，∴的最小值为．故选：A.6.函数的图像大致是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，得到函数为奇函数，且时，，结合选项，即可求解.【详解】由函数，可得， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，又由时，，所以函数图象为B选项.故选：B.7.以下函数中，在上单调递减且是奇函数的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】A选项，根据解析式直接得到函数在上单调递减，且为奇函数；BC选项，判断出函数为偶函数，D选项，函数不满足在单调递减.【详解】A选项，在R上单调递减，且，故奇函数，满足要求，A正确；B选项，定义域为R，且，故为偶函数，B错误；C选项，定义域为R，且，故为偶函数，C错误；D选项，在上单调递增，D错误.故选：A8.若函数在上是单调函数，则的取值可以是（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】根据已知条件及分段函数分段处理的原则，结合一次函数与二次函数的单调性即可求解.【详解】因为当时，函数为单调递增函数，又函数在上是单调函数，则需满足，解得， 所以实数的范围为，所以满足范围的选项是选项B.故选：B．二、多选题9.成人心率的正常范围为60~100次/分钟，超过100次/分钟为心率过速.观测并记录一名心率过速成人患者服用某种药物后心率，其随时间的变化如图所示，则该患者（）A.服了药物后心率会马上恢复正常B.服药后初期药物起效速度会加快C.所服药物约15个小时后失效（服药后心率下降期间为有效期）D.一天需服用该药1至2次【答案】BCD【解析】【分析】由函数图象对选项逐一判断．【详解】对于A，服药后2小时心率恢复正常，故A错误，对于B，服药后初期心率下降速率增大，故B正确，对于C，服药15小时后心率开始回升，故C正确，对于D，服药22小时后心率过速，需再次服药，故D正确，故选：BCD10.若函数为上的偶函数，在上单调，且满足对任意，都有，则的值可能为（）A.4B.6C.7D.10【答案】CD【解析】 【分析】由的性质，结合必定有，其中k是常数，据此求出k即可.【详解】因为为上的偶函数，在上单调，，且满足对任意，都有，所以，则，且，故，解得或，当时，，则；当时，，则；综上:，的值可能为7或10；故选:：CD.11.下列说法正确的是（）A.若幂函数的图象经过点，则解析式为B.若函数，则在区间上单调递减C.幂函数始终经过点和D.若幂函数图像关于轴对称，则【答案】CD【解析】【分析】A选项，代入点的坐标，得到；B选项，判断出为偶函数，且在上单调递减，故在上单调递增；C选项，因为，所以，，故C正确；D选项，先根据函数为幂函数和图像关于轴对称，得到，再判断出，结合函数单调性比较出大小.【详解】A选项，设，将代入，，即，解得，故解析式为，A错误； B选项，因为，所以在上单调递减，又定义域为，，故为偶函数，故在上单调递增，B错误；C选项，因为，所以，，故幂函数始终经过点和，C正确；D选项，由题意得，解得或，当时，为偶函数，满足图像关于轴对称，当时，为奇函数，不满足图像关于轴对称，舍去，其中恒成立，故，又在上单调递增，故，D正确.故选：CD12.已知是定义域为R的函数，为奇函数，为偶函数，则下列说法一定正确的是（）A.为奇函数B.为关于对称C.关于点对称D.【答案】ABD【解析】【分析】根据奇偶性与对称性的定义判断.【详解】是奇函数，即的图象向右平移2个单位后关于原点对称，则的图象关于点对称，，故D正确；是偶函数，设，由得，所以的图象关于直线对称，即，故C错误；所以，所以是奇函数，故A正确； 由及是奇函数得，即，因此的图象关于直线对称，故B正确.故选：ABD．三、填空题13.设集合，若是的子集，我们把中所有元素的和称为的容量（规定空集的容量为0），若的容量为奇（偶）数，则称为的奇（偶）子集.则的所有奇子集有个______.【答案】8【解析】【分析】依题意将的所有奇子集一一列举出来即可；【详解】解：因为，所以的所有奇子集为，，，，，，，，共有8个.故答案为：814.对任意，给定，，记函数，则的最小值是__________.【答案】4【解析】【分析】根据定义及一次函数、二次函数的单调性计算最小值即可.【详解】由定义可知当时，解之得，此时，当时，则，解之得或，此时，综上，易知在上单调递减，最小值为4，在取得；在上单调递增，在上单调递减，所以， 综上的最小值是4.故答案为：4.15.若定义在上的偶函数满足：对任意的，，有，且，则满足的x的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】运用奇偶性与单调性的性质可得的草图，看图解不等式与，再解或即可.【详解】因为对任意的，，有，所以在上单调递减，又因为在R上为偶函数，所以在上单调递增，又因为，所以，则的草图如图所示，所以或或，，又因为，所以或，即或，解得或，所以x的取值范围为.故答案为：. 16.已知函数，若是幂函数，且是奇函数，试写出一个符合条件的函数______________.【答案】（答案不唯一）.【解析】【分析】易知函数为偶函数，再根据奇函数的性质和幂函数的定义即可求出.【详解】∵，∴为偶函数，∵是幂函数，且是奇函数，可设，即（答案不唯一）.故答案为：（答案不唯一）.四、解答题17.已知集合或，．（1）若，求实数m的取值范围；（2）若，且，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据并集结果可得，分别讨论和情况即可求得结果；（2）由交集结果可知，分别讨论、和，根据可构造不等式求得结果.【小问1详解】由题意知：；因为，故；①当，即时，满足，此时； ②当，若，则，解得；综上所述：m的取值范围为【小问2详解】因为，且，故，即，解得，则，；①当，即时，；故，解得；②当，即时，；故，解得；③当，即时，，不合题意；综上所述，m的取值范围为.18.已知命题：“，使得”为真命题．（1）求实数m的取值的集合A；（2）设不等式的解集为B，若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）或；（2）．【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的判别式进行求解即可；（2）根据必要不充分条件的性质进行求解即可.【小问1详解】命题“，使得”为真命题，所以， 即，解之得或，所以实数m的取值的集合或；；【小问2详解】不等式的解集为，因为是的必要不充分条件，所以Ü，则或，所以或，故实数a的取值范围为．19.已知二次函数满足，且.（1）求的解析式；（2）解关于的不等式.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】(1)设二次函数的解析式为()，根据题意利用待定系数法求出a、b、c即可；(2)将原不等式化为，分类讨论，结合一元二次不等式的解法求出不等式当、、时的解集即可.【小问1详解】设，由，得又，则，解得， 所以.【小问2详解】由已知，即，即，①当时，原不等式即为：，解得；②当时，解得；③当时，解得综上，当时，不等式的解集为：，当时，不等式的解集为：，当时，不等式的解集为：.20.函数是定义在上的奇函数，且．（1）求的解析式；（2）证明在上为增函数；（3）解不等式．【答案】（1），（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据得到方程，求出，再根据求出，得到解析式；（2）利用定义法证明出单调性；（3）根据奇偶性和单调性，结合函数定义域，得到不等式，求出解集.【小问1详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得， 此时，又，所以，解得，所以，【小问2详解】任取，且，则，因为，所以，因为，所以，所以，故，所以在上为增函数．【小问3详解】函数是定义在上的奇函数，由，得，又在上为增函数，所以，解得，故不等式的解集为21.党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）. （1）分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？【答案】（1），（2）A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元【解析】【分析】（1）由题设，，根据图象上数据得解；（2）列出企业利润的函数解析式换元法求得函数最值得解.【小问1详解】设投资为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元由题设，，由图知，故，又，所以．从而，．【小问2详解】设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元则，令，则，当时，，此时.故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元.22.已知函数对任意实数m、n都满足等式，当时，，且． （1）判断的奇偶性；（2）判断的单调性，求在区间上的最大值；（3）是否存在实数a，对于任意的，，使得不等式恒成立．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）奇函数；（2）为上的减函数；在上的最大值为6；（3）存在，实数a的取值范围为．【解析】【分析】（1）赋值法得到，，得到函数的奇偶性；（2）先由时，利用赋值法得到函数单调递减，再用赋值法和奇偶性得到，从而得到在区间上的最大值；（3）先根据单调性得到，问题转化为，恒成立，令，为一次函数，得到不等式组，求出实数a的取值范围.【小问1详解】取，则，∴，取，，则，∴对任意恒成立，∴为奇函数；【小问2详解】任取且，则，因为，故，令，则有，即， ∵时，，故时，，∴，∴．故为上的减函数．∴，，∵，，令，则，故，因为令，则，即，由（1）知：为奇函数，故，故，解得：，故，故在上的最大值为6；【小问3详解】∵在上减函数，∴，∵，对所有，恒成立．∴，恒成立；即，恒成立，令，则，即，解得：或．∴实数a的取值范围为．