河南省洛阳强基联盟2022-2023学年高一下学期5月联考数学试题（Word版附解析）

洛阳强基联盟5月联考高一数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教版必修第二册第六章~第十章10.1.3.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z满足z（1＋i）＝2（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的乘除法运算，求得，再求其对应点即可判断.【详解】∵，∴，∴在复平面内复数z对应的点位于第四象限．故选：D．2.在某中学高一年级的300名学生中，男生有120名，女生有180名.学校想了解学生对选修课程的看法，以便开设有关课程，现准备从高一学生中按性别用分层随机抽样的方法选取60人，则应抽取的女生人数为（）A.24B.36C.40D.48【答案】B【解析】【分析】根据分层抽样的定义，计算男女比例为，再计算出应抽取的女生人数即可.【详解】由题意得，男、女生的比例为,故用分层随机抽样的方法选取60人, 则应抽取的女生人数为.故选：B.3.（理科）在正方体中，E，F分别为棱BC和棱中点，则异面直线AC和EF所成的角为（）A.90°B.60°C.45°D.30°【答案】B【解析】【分析】E，F分别为棱BC和棱的中点，则，为异面直线AC和EF所成的角或其补角，在三角形中求解即可．【详解】如图，连接，因为E，F分别为棱BC和棱的中点，∴，又正方体中，∴，∴为异面直线AC和EF所成的角或其补角，而是正三角形，即，所以异面直线AC和EF所成的角是．故选：B.【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题关键是作出异面直线所成的角．4.“双减”政策实施后，学生的课外阅读增多，某班50名学生到图书馆借书数量统计如下表.借书数量（单位：本）5678910频数（单位：人）58131194则这50名学生的借书数量的第25百分位数是（） A.5B.5.5C.6D.6.5【答案】C【解析】【分析】根据百分位数的定义计算即可.【详解】由,故第25百分位数在借书数量从小到大排序后的第13人,又，故第25百分位数是6.故选：C.5.在中，，，若平面，，则点到的距离是（）A.B.5C.D.【答案】B【解析】【分析】取的中点，连接、，即可得到，再由线面垂直，得到，从而得到面，即可得到，再由勾股定理求出即可；【详解】解：如图，取的中点，连接、，因为，所以，又平面，平面，所以，，面，所以面，面，所以，在中，，，所以，在中，，，所以故选：B6.设l，m是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是（） A.若，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则【答案】B【解析】【分析】对于A，C与D，可通过举反例的方式说明其错误性，B选项可以直接证明其正确性.【详解】对于A，若，，，此时与可能相交，如下图所示：对于C与D，若，，，则与均可能发生，如下图所示：对于B，若，，则，又因为，故.故选：B.7.紫金山位于江苏省南京市玄武区境内，是江南四大名山之一，三峰相连形如巨龙，山、水、城浑然一体，古有“钟山龙蟠，石城虎踞”之称.建筑师在高度接近200米的峰顶测得一建筑物顶部的仰角为，底部的俯角为，那么该建筑的高度接近（）A.米B.米C.米D.米 【答案】A【解析】【分析】作出示意图,过点作，利用三角函数即可求出，则得到长.【详解】作出示意图,过点作,其中,可得，在直角中,因为,则,在直角中,因为,可得,则米,所以建筑的高度接近米.故选：A.8.已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】，结合题意得，结合即得解.【详解】，因为，所以，又，所以．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.在中，角，，所对的边分别为，，，且，.若有唯一解，则的值可以是（）A.1B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】根据正弦定理三角形有唯一解，得到或，即可求出参数的取值范围，从而得解；【详解】解：因为，，因为有唯一解，所以或，即，故选：BD10.某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：结伴步行，自行乘车，家人接送，其他方式.并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图.根据图中信息，下列说法正确的是（）A.扇形统计图中D的占比最小B.条形统计图中A和C一样高C.无法计算扇形统计图中A的占比D.估计该校一半的学生选择结伴步行或家人接送【答案】ABD【解析】【分析】根据方式上学的学生占比即可求出总人数，则得到方式出行的人数，选项一一分析即可.【详解】由条形统计图知，自行乘车上学的有42人,家人接送上学的有30人,其他方式上学的有18人,采用三种方式上学的共90人,由扇形统计图知,其他方式上学的学生占,所以人，则结伴步行上学的有人， 故条形图中一样高，故B正确，扇形图中类占比与一样都，和共占,故C错误，D正确.因为其他方式上学的人数最少，故扇形统计图中D的的占比最小，故A正确.故选：ABD11.从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是（）A.“至少有一个红球”和“至少有一个黑球”是互斥事件B.“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件C.“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件D.“至少一个黑球”和“都是红球”是对立事件【答案】BD【解析】【分析】利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．【详解】解：从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，可能结果有：二个红球，一个红球一个黑球，二个黑球；对于，“至少一个红球”和“至少有一个黑球”能同时发生，不是互斥事件，故错误；对于，“恰有一个黑球”和“都是黑球”不能同时发生，是互斥事件，故正确；对于，“恰有一个红球”和“都是红球”不能同时发生，但是可以同时都不发生，是互斥事件，但不是对立事件，故错误；对于，“至少一个黑球”和“都是红球”不能同时发生，但是一定有一个要发生，是对立事件，故正确．故选：．12.如图所示，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，，为线段上的点（不包括端点），则（）A.B.平面 C.二面角的大小为定值D.的最小值为【答案】CD【解析】【分析】对于A，利用线面垂直的判定定理和性质定理即可得出；对于B，利用线面平行的性质定理即可得出；对于C，由二面角的定义即可判断；对于D，将侧面和展开在一个平面内，结合余弦定理即可得出.【详解】对于A，平面，平面，，假设，又平面PAD，平面，又平面，，而四边形为正方形，与矛盾，所以假设错误，故不正确，故A不正确；对于B，设，连接，假设平面，又平面平面，则，在中，因为为的中点，则必为的中点，这与为线段上的动点矛盾，所以假设错误，故B不正确；对于C，为线段上的动点，二面角的大小即为二面角的大小，因为二面角的大小为定值，所以二面角的大小为定值，故C正确；对于D，平面，平面，，为等腰直角三角形，平面，平面，，即，又四边形为正方形，，平面PAD，平面，平面，，为直角三角形，如图，将侧面和展开在一个平面内，，连接，当处在与的交点处时，取得最小值， 此时，在中，由余弦定理，得，所以的最小值为，故D正确.故选：CD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在中，，若，则______.【答案】##1.5【解析】【分析】根据共线向量关系即可得到，则得到值.【详解】因为在中,，则，所以，即.故答案为：.14.某厂有A，B两条生产线制造同一型号可充电电池.现采用分层随机抽样，从某天两条生产线上的成品中随机抽取20件成品，测试产品可充电次数的均值及方差，结果如下表：项目抽取成品数样本均值样本方差A生产线产品82101B生产线产品122001则20个产品组成的总样本的方差为______.【答案】25【解析】【分析】首先计算出样本平均数，再利用方差公式即可.【详解】依题意得,总样本平均数， 故答案为：25.15.在某次国际围棋比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙分在不同小组的概率为______.【答案】##【解析】【分析】写出所有的样本空间以及满足题意得情况数，根据古典概型的概率计算公式即可得到答案.【详解】这5名棋手分别记为:甲,乙,,,,则样本空间(甲乙，)，(甲乙，)，(甲乙，)，(甲，乙),(甲，乙),(甲，乙),(乙，甲),(乙，甲),(乙，甲),(，甲乙)共含有10个样本点，设事件表示“甲和乙分在不同小组”,则,所以甲和乙分在不同小组的概率为.故答案为：.16.已知等腰直角三角形ABC的三个顶点都在球O的球面上，，若球O上的点到平面ABC的最大距离为4，则球O的体积为______.【答案】【解析】【分析】过的中点作平面的垂线，设，球的半径为，根据题意得，根据列出方程即可解出半径，再根据球的体积即可求出答案.【详解】因为是等腰直角三角形且,所以且.如图，过的中点作平面的垂线，则球心在直线上.设，球的半径为，不妨设点是球上的一点,则球上的点到平面的最大距离为.所以.由勾股定理得,即，得+8，解得.所以球的体积为. 故答案为：.【点睛】关键点睛：本题的关键作出球心位置，即：过的中点作平面的垂线，分析找到球心位于直线上，设，球的半径为，则球O上的点到平面ABC的最大距离为，再利用勾股定理得到方程即可解出.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量，．（1）求向量；（2）若向量与互相垂直，求k的值．【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示即可求解；（2）根据（1）的结论及向量的模的坐标表示，利用两向量垂直的条件及数量积的运算即可求解.【小问1详解】因为，，所以.【小问2详解】因，，所以，又因为向量与互相垂直，且，所以，解得，所以的值为． 18.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且．（1）求A；（2）若，且的面积为，求b，c．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）应用正弦定理结合两角和差公式计算求解即可；（2）应用余弦定理及三角形面积公式，列方程求边即得.【小问1详解】在中，由正弦定理及得，又，代入上式，得，∵，∴，∴，∵，∴．【小问2详解】由（1）知，又，∴由余弦定理得，即，①又∵面积为， ∴有，即，∴，②解由①②组成的方程组得，．19.学校对甲、乙两人的学习态度、考试成绩及活动参与三个方面做了一个初步的评估，成绩（单位：分）如下表所示.学习态度考试成绩活动参与甲989695乙909998（1）如果以学习态度、考试成绩及活动参与三个方面的平均分来计算他们的成绩，并以此作为评优的依据，你认为谁会被评为优秀？（2）如果以20%，60%，20%依次作为三项成绩的比例来计算他们的成绩，结果又会如何？【答案】（1）甲被评为优秀.（2）乙被评为优秀.【解析】【分析】（1）直接计算甲乙各自的平均分，再比较大小即可；（2）按比例计算成绩，再比较大小即可.【小问1详解】甲的平均分:(分).乙的平均分:(分).甲的平均分较高,甲被评为优秀.【小问2详解】甲的平均分:(分).乙的平均分:(分).乙的平均分较高,乙被评为优秀.20.如图，三角形PCD所在的平面与等腰梯形ABCD所在的平面垂直，AB＝AD＝CD，AB∥CD，CP⊥CD，M为PD的中点．（1）求证：AM∥平面PBC； （2）求证：BD⊥平面PBC．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）取的中点，连，，可证得四边形为平行四边形，于是，然后根据线面平行的判定定理可得结论成立．（2）在等腰中梯形中，取的中点，连，，证得四边形为菱形，进而得．同理四边形为菱形，可得．再由平面平面得到平面，于是得，最后根据线面垂直的判定可得平面．【详解】证明：（1）如图，取的中点，连，，∵为的中点，为的中点，∴，．又，，∴，，∴四边形为平行四边形，∴．又平面，平面，∴平面（2）如图，在等腰中梯形中，取的中点，连，．∵，，∴，， ∴四边形为平行四边形．又，∴四边形为菱形，∴．同理，四边形为菱形，∴．∵，∴．∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面，又平面，∴．∵，，∴平面．【点睛】本题考查线面关系的证明，解题的关键是根据所证的结论并结合三种平行（垂直）间的关系进行合理转化，以得到证题所需的条件，考查转化能力的运用和对基本判定方法、性质的掌握程度，属于基础题．21.《青年大学习》是共青团中央组织的，以“学习新思想，争做新青年”为主题的党史团课学习行动，2023年已开展到第7期.某市团市委为了解全市青年每周利用“青年大学习”了解国家动态的情况，从全市随机抽取1000名青年进行调查，统计他们每周利用“青年大学习”进行学习的时长（单位：分钟），根据调查结果绘制的频率分布直方图如图所示：（1）求被抽取的青年每周利用“青年大学习”进行学习的时长的中位数；（2）市宣传部门拟从被抽取青年中选出部分青年参加座谈会.办法是：采用分层抽样的方法从学习时长在和的青年中共抽取5人，且从参会的5人中又随机抽取2人发言，求学习时长在中至少有1人被抽中发言的概率. 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）频率直方图下的面积之和为1，解出m，知道中位数是处于最中间的数，中位数左边的频率为0.5.（2）分层抽样是按比例抽取的，在算概率时，可以从对立事件出发.【小问1详解】,解得.设中位数为,则,解得【小问2详解】学习时长在和的青年人数分别是200、300人.从中抽取5人，则学习时长在的抽取2人，学习时长在的抽取3人.学习时长在中至少有1人被抽中发言的概率可用1减去“发言的都是学习时长在的人的概率”，即.故学习时长在中至少有1人被抽中发言的概率为.22.如图，四棱锥中，底面ABCD，为等边三角形，，，M是PB上一点，且，N是PC的中点.（1）求证：；（2）若二面角的大小为，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）首先证明，再利用线面垂直的定义得，再利用线面垂直的判定定理证得面，则；（2）首先证明，再求出相关三角形面积和棱锥的高，最后利用等体积法和棱锥体积公式即可得到答案.【小问1详解】因为为正三角形,所以,又,所以.又底面，底面，所以，又，平面，所以平面，又因为平面，所以.【小问2详解】因为底面，底面，所以，由已知，又，且平面，所以平面，又平面，所以，又，所以就是二面角的平面角，所以因为，则,在中，因为是正三角形，则易知，所以在中，，因为底面,平面,所以.知,所以的面积.因为,所以,又因为为中点,所以. 设点到平面的距离为,由,得,解得,即点到平面的距离为,又,所以三棱锥的体积.