河南省高中名校联考2022-2023学年高一下学期3月调研考试数学试题（Word版附解析）

河南省高中名校联考2022-2023学年高一下期3月调研考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算求出，据此可得解.【详解】由，可得，故复数对应的点位于第四象限，故选：D2.已知向量，，且，那么等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由向量平行的坐标表示求参数，再应用向量线性运算的坐标表示求的坐标.【详解】由题设，故，则.故选：C3.已知集合，，若，则实数a取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合，根据得出为的子集，结合集合间的关系可得答案. 【详解】，，因为，所以为的子集，所以.故选：A.4.若，，则的值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据角的范围，结合同角的三角函数关系式，利用两角和的余弦公式进行求解即可.【详解】因为，所以，所以，所以.故选：D.5.已知，且，关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据二次不等式的解集与二次方程的根的关系，利用韦达定理可得 关系，代入所求不等式解不等式即可．【详解】因为不等式，的解集为，所以且即，不等式等价于，即，，解得或，所以不等式的解集为：，故选：C．6.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，2小时后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（）A.海里B.海里C.海里D.海里【答案】A【解析】【分析】由题设作示意图，应用正弦定理求B，C两点间的距离即可.【详解】由题设可得如下示意图，且，即，由图知：，则，又，所以，则海里.故选：A 7.在中，，点D为边BC上靠近B的三等分点，则的值为（）A.B.C.D.4【答案】B【解析】【分析】利用、表示向量、，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.【详解】如下图所示：，由平面向量数量积的定义可得，因此，.故选：B.8.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】中，由正弦定理可得，利用余弦定理可得：．再利用余弦定理及其基本不等式的性质可得的最小值，可得的最大值，即可得出三角形面积的最大值．【详解】由正弦定理得：由余弦定理得：，即 当且仅当时，即，，时取等号，,则，所以面积的最大值.故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若，且，则B.若，为复数，则C.设，是非零向量，若，则D.设，为复数，若，则【答案】BC【解析】【分析】A利用向量数量积定义，结合相关公式的几何意义判断；B设，，，分别求即可判断；C：应用向量数量积的运算律化简判断；D特殊值，即可判断.【详解】A：且，只能说明，但不一定相等，错误；B：令，，，，则，，则，所以，正确； C：由，则，即，正确；D：复数，，满足，但，错误；故选：BC10.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（）A.若a>b，则B.若，则A>BC.若，则是等腰三角形D.若为锐角三角形，则【答案】ABD【解析】【分析】根据三角形的基本性质及正弦定理，正弦函数的单调性，逐项分析得出结果即可．【详解】对于选项A，在中，大边对大角，若，则，根据正弦定理可得，选项A正确；同理，选项B正确；对于选项C，若，由正弦定理可得，即，所以即或即，所以为等腰角三角形或直角三角形，选项C错误；对于选项D，若为锐角三角形，则，又正弦函数在上为单调增函数，，即，选项D正确．故选：ABD．11.在平行四边形ABCD中，E是BC上的点，BE=2EC，F是CD的中点，且AE=2，AF=3，∠EAF=60°，则下列说法正确的是（）AB. C.D.【答案】AC【解析】【分析】利用向量对应线段的位置关系及加减数乘的几何意义得、，，即可得，再应用向量数量积的运算律求.【详解】由题设，①，②，所以①2②得即，②①得，故，A正确、B错误；所以，故，故C正确、D错误.故选：AC12.在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，则下列结论正确的是（）A.B.a>cC.c>aD.【答案】ACD【解析】【分析】利用正弦边角关系可得，结合余弦定理及锐角三角形知、判断A、B、C正误；再由正弦边角关系得，应用倍角公式得，注意，即可得范围判断D正误.【详解】由正弦边角关系知：，则， 所以，而，则，A正确；由上知：，即，B错误，C正确；由知：，则，又，故，则，即，D正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数，则的单调增区间为_______.【答案】【解析】【分析】根据对数复合函数的单调性，注意函数的定义域，进而确定单调增区间即可.【详解】令，即，由，则在上递增，在上递减，综上，上递增，在上递减，而在定义域上递增，所以的单调增区间为.故答案为：14.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的值为_______.【答案】【解析】【分析】根据正弦定理边角互化，计算求值.【详解】根据正弦定理可知，，所以， 而，所以.故答案为：15.已知函数，若，则实数a的取值范围是_______.【答案】【解析】【分析】判断的奇偶性、单调性，结合已知不等关系得，即可求范围.【详解】由，且定义域为R，所以为奇函数，则，根据在R上均为减函数，故也为减函数，所以，则故答案为：16.在中，G满足，过G的直线与AB，AC分别交于M，N两点.若，，则3m+n的最小值为_______.【答案】【解析】【分析】根据题意可知为三角形的重心，利用三点共线可得，再由均值不等式即可求最值.【详解】取中点，连接，如图，由可得，即，所以三点共线且，即为的重心， 所以，因为三点共线，所以，又，，所以，当且仅当，即时，等号成立，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数，其中i为虚数单位.（1）若复数z为纯虚数，求m的值；（2）若，求m的值.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根据纯复数的定义:实部为0，虚部不等于0，列出方程即可求解.（2）设，代入式子化简，根据两个复数相等的充要条件即可列出式子进行求解.【小问1详解】因为复数为纯虚数，所以满足，解得:或.【小问2详解】设，则，将其代入，则，整理得:，且，解得:，或， 或，解得:18.已知向量，满足，，且.（1）若，求实数的值；（2）求与的夹角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知，根据向量的数量积运算可求，再由向量垂直的运算列出关于的方程求解即可；（2）先求和的值，再利用向量的夹角公式进行求解．【小问1详解】因为，，且，所以，所以，因为，所以，解得；【小问2详解】因为，，由（1）得，所以，，设与的夹角为，则．19.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角A的大小； （2）若，D是线段AC上的一点，，，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理统一为边，再由余弦定理化简即可得解；（2）由二倍角公式求出的正余弦，再由两角和的正弦求出，由正弦定理即可得解.【小问1详解】因为，所以由正弦定理可得，，即，所以，因为，所以.【小问2详解】设，则，所以，解得，，所以，由正弦定理，，所以.20.已知向量，，设函数.（1）求的单调递减区间；（2）若函数在区间上的最大值为6，求实数a的值. 【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据向量的数量积运算及恒等变换可求的表达式，再由正弦函数的单调性求解即可；（2）由已知可求，利用换元，把问题转化为二次函数在给定区间的最值问题，通过对称轴与区间的关系分类讨论求解即可．【小问1详解】因为，，所以由得，所以的单调递减区间为【小问2详解】，令，因为，所以，且，所以，当即时，当时有最大值，此时，解得不合题意；当即，当时有最大值，此时，解得符合题意；当即，当时有最大值，此时，解得符合题意；综上，的值为或．21.对于定义在D上函数，如果存在实数，使得，那么称是函数 的一个不动点.已知函数.（1）若，求的不动点；（2）若函数恰有两个不动点，，且，求正数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题设，令结合对数的性质求解即可.（2）由题设可得，令问题化为，即方程在上有两个根，根据对应二次函数性质列不等式组求参数范围.【小问1详解】由题设，定义域为R，若，即，所以，可得，故是的不动点.【小问2详解】令，且，所以，整理得，令，则，即方程在上有两个不相等的根，且，若开口向上且对称轴，，则，故.22.如图，某小区有一块空地，其中AB=50，AC=50，∠BAC=90°，小区物业拟在中间挖一个小池塘，E，F在边BC上（E，F不与B，C重合，且E在B，F之间），且. （1）若，求EF的值；（2）为节省投入资金，小池塘的面积需要尽可能的小.设，试确定的值，使得的面积取得最小值，并求出面积的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中，利用余弦定理、正弦定理求得，在中，利用正弦定理结合三角恒等变换可求，即可得结果；（2）利用正弦定理用表示，再结合条件得到，最后根据三角函数的性质求最值即可.【小问1详解】由题意可得，设，则，在中，由余弦定理，则，即，由正弦定理，可得，即，可得， 在中，，，由正弦定理，可得，故.故EF的值.【小问2详解】设，则，由正弦定理，可得，在中，由正弦定理，可得，故的面积，∵，∴，∴，∴，当且仅当，即时，等号成立， 故面积的最小值.