2023-2024年浙江新高考高一（上）数学期末模拟卷（解析版）

2023-2024年浙江新高考高一（上）数学期末模拟卷一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）已知集合Mxx={|2−3}，N={|xlnx1}，则MN=()A．[2−，0]B．[2−，e)C．[2−，e]D．[e，3]【答案】D【详解】因为N={|xlnx1}{|=xxe}，Mxx={|2−3}，所以MNe=[，3]，故选：D．22．（5分）“ab>”是“ab>”的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A2【详解】由ab>不能得：ab>，22而由ab>可得abb>||，所以ab>，2所以“ab>”是“ab>”的充分条件，故选：A．π3．（5分）下列选项中满足最小正周期为π，且在(0,)上单调递增的函数为()4111cos2x1sin2xA．yx=cosB．yx=sinC．y=()D．y=()2222【答案】C12π【详解】对于A：函数yx=cos的最小正周期为=4π，故A错误；21212π对于B：函数yx=sin的最小正周期为=4π，故B错误；2121cos2xπ对于C：函数y=()的最小正周期为π，且函数fx()=cos2x在(0,)上单调递减，241cos2xπ根据复合函数的单调性，可知函数y=()在(0,)上单调递增，故C正确；241sin2xπ对于D：函数y=()的最小正周期为π，且函数fx()=sin2x在(0,)上单调递增，24学科网（北京）股份有限公司 1sin2xπ根据复合函数的单调性，可知函数y=()在(0,)上单调递减，故D错误．24故选：C．2−xx,04．（5分）若函数fx()=，则函数fx()的值域为()x2,x<0A．[0，1)B．(−∞，0]C．(−∞，0)∪(0，1)D．(−∞,1)【答案】D2x【详解】x0时，−x0；x<0时，021<<，∴fx()的值域为：(−∞,1)．故选：D．5．（5分）双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展机遇Peukert于1898年提出蓄电池的容量nC（单位：Ah⋅)，放电时间t（单位：h)与放电电流I（单位：A)之间关系的经验公式CIt=⋅，其中n=log232为Peukert常数在电池容量不变的条件下，当放电电流IA=10时，放电时间th=56，则当放电电流IA=15时，放电时间为()A．28hB．28.5hC．29hD．29.5h【答案】Annn【详解】根据题意可得C=5710⋅，则当IA=15时，5610⋅=⋅15t，1log32log222n22所以，th=⋅=⋅56()56()2=⋅56()3=28，333即当放电电流IA=15，放电时间为28h．故选：A．226．（5分）已知x，yR∈，x++=yxy1，则()22223A．xy+的最大值为且xy+的最大值为33222B．xy+的最大值为且xy+的最小值为0322223C．xy+的最小值为且xy+的最大值为33学科网（北京）股份有限公司 222D．xy+的最小值为且xy+的最小值为03【答案】C22222222xy+222【详解】利用x+y2xy，则xyx++=++yxy1，整理得xy+，23221222当且仅当xy=，即xy==时取得等号，即xy+的最小值为；33222222()xy+24利用()4x+yxy，x++==+−yxy1(xy)xy，即xy=+−()1xy，整理得()xy+，即432323−+xy，33323当且仅当xy==时取得等号，故xy+的最大值为．33故选：C．21aab,7．（5分）已知函数fx()=maxx,，其中maxab{,}=，若∃∈x[2，4]，使得关于x的不等式fxf()xbab,<（a）成立，则正实数a的取值范围为()1111A．a2或0<aB．a2或0<aC．a4或0<aD．a4或0<a2424【答案】B2xx,11【详解】由题意可知fx()=,0<<x1，x2xx,0<若∃∈x[2，4]，使得关于x的不等式fxf()（a）成立，则f（a）fx()在x∈[2，4]上的最小值，∴f（a）f（2）=4，a为正实数，11则当01<<a时，f（a）=4，解得0<a；a42当a1时，f（a）=a>4，解得a2，1综上，正实数a的取值范围为a2或0<a．4故选：B．π8．（5分）如图所示，点M，N是函数fx()=2sin(ωϕωx+><)(0,|ϕ|)的图象与x轴的交点，点P在M，2学科网（北京）股份有限公司 N之间的图象上运动，若M(1,0)−，且当∆MPN的面积最大时，PM⊥PN，则下列说法不正确的是()A．f(0)=2B．fx()的图象关于直线x=5对称C．fx()的单调增区间为[18−+k，18](+∈kkZ)xx++fx()()fx1212D．∀x，xk∈−+[18，18](+∈kkZ)，均有f()1222【答案】C【详解】因为当∆MPN的面积最大时，P在最高点，所以y=2，P又PM⊥PN，由函数fx()=2sin(ωϕx+)的对称性质知，∆PMN为等腰直角三角形，所以在RtPMN∆中，|MN|2=y=×=224，PT2ππ所以=|MN|4=，T==8，又ω>0，所以ω=，2||ω4ππ所以fx()=2sin(x+ϕ)，又f(1)−=2sin(−+=ϕ)0，44ππππ所以−+=ϕπkkZ()∈，即ϕπ=+∈k()kZ，又因为||ϕ<，所以ϕ=．4424ππ所以fx()=2sin(x+)．44π2所以f(0)=2sin()=×=22，故A正确；4253πππf(5)=2sin(+=)2sin()=−2，取得函数最小值，所以fx()的图象关于直线x=5对称，故B正确；442ππππ令2kππ−x+2()k+∈kZ，解得8k−3xkkZ8+∈1()，2442所以fx()的单调增区间为[38−+k，18](+∈kkZ)，故C错误；由题意可知函数图象在[18−+k，18](+∈kkZ)区间上为x轴上方单调递增部分，xx++fx()()fx1212结合图象可知，此部分图象上凸，满足∀x，xk∈−+[18，18](+∈kkZ)，均有f()，1222故D正确．故选：C．二．多选题（共4小题，每小题5分，满分20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）学科网（北京）股份有限公司 π9．（5分）将函数fx()=3sin(2x−)图象向右平移ϕ个单位长度后得到函数gx()的图象，若函数gx()为6奇函数，则ϕ的可能值为()ππ5π2πA．−B．C．D．126123【答案】ACπ【详解】函数fx()=3sin(2x−)图象向右平移ϕ个单位长度后得到函数6ππgx()=3sin(2(x−−=ϕϕ))3sin(2x−−2)的图象，66因为函数gx()为奇函数，πkππ所以−−=2,ϕπkkZ∈，解得ϕ=−−∈,kZ，6212π5π所以ϕ的可能值为−或．1212故选：AC．10．（5分）已知正实数x，y满足2x+=yxy，则()1822A．xy8B．xy+6C．+4D．2xyy+48xy−1【答案】AD【详解】因为正实数x，y满足xy=2x+y22xy，当且仅当2xy=时取等号，解得xy8，A错误；21由题意得+=1，yx12yx2所以xyxy+=+()(+=++)3322+，当且仅当yx=2时取等号，B错误；xyxyy因为2x+=yxy，所以x=，y−21112yy−所以====−1，x−1y222−1yy−−2218yy88y8y所以+=+−12×−=13，当且仅当=，且x=，即x=2，y=4时取等号，故Cxyy−122y2yy−2错误；由选项Axy:8，22222222又2xyy+=⋅+=2xxyy2xxyy(2)++=++=++42xxyy442xx++yy22=+++−(2x1)(y1)22(2x++−=++=1)(y1)24xy4x2y6xy48，学科网（北京）股份有限公司 当且仅当21xy+=+1，且2x+=yxy，即x=2，y=4时取等号，故D正确．故选：AD．11．（5分）已知定义在R上的非常数函数fx()满足fxyfxfy(+=)()+()1−，则()A．f(0)1=B．fx()1−为奇函数C．fx()是增函数D．fx()是周期函数【答案】AB【详解】对于A项，令xy==0得：ff(0)=2(0)1−，解得：f(0)1=，故A项正确；对于B项，令yx=−得：f(0)=fxfx()+−−()1，由A项知，f(0)1=，所以(()1)fx−+−−=((fx)1)0，所以fx()1−为奇函数，故B项正确；对于C项，当fx()=−+x1时，fxy()+=−−+xy1，fxfy()+()1−=−++−+−=−−+x1()11yxy1，满足fxyfxfy(+=)()+()1−，但fx()=−+x1是减函数．故C项错误；对于D项，当fxx()=+1时，fxyxy()+=++1，fxfy()+()1−=+++−=++x1y11xy1，满足fxyfxfy(+=)()+()1−，但fxx()=+1不是周期函数．故D项错误．故选：AB．xx,∈[0,1)12．（5分）已知函数fx()=1，则以下结论正确的是()fx(−1),x∈[1,+∞)2A．函数fx()为增函数B．∀x，x∈[0，+∞)，|()fx−<fx()|112123C．若fx()<在xn∈[，+∞)上恒成立，则n的最小值为282D．若关于x的方程2[()]mfx++(m2)()10(fx+=mR∈)有三个不同的实根，则−84m<−【答案】BCDxx,∈[0,1)【详解】作出函数fx()=1的图象如图，fx(−1),x∈[1,+∞)2学科网（北京）股份有限公司 由图可知，fx()在定义域内不是单调函数，故A错误；∀x，x∈[0，+∞)，|()fx−<fx()|1，故B正确；I2123413<=，∴由图可知，当x∈[2，+∞)时，fx()<恒成立，n的最小值为2，故C正确；882822[()](mfx++m2)()10fx+=，即(mfx()1)(2()1)+fx+=0，11得fx()=−或fx()=−（舍去）．m21111由图可知，若fx()=−有三个不同实数根，则−∈[，)，得m∈−[8，−4)，故D正确．mm84故选：BCD．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知一个扇形的面积为10，半径为5，则它的圆心角为弧度．4【答案】5122S204【详解】设半径为r，圆心角为α，面积Sr=||α，则α===．22r2554故答案为：．5x714．（5分）已知函数fxx()=α−2的图象经过点(2,−)，则α=．21【答案】4x7【详解】函数fxx()=α−2的图象经过点(2,−)，2271∴−=22α−，∴=α，241故答案为：．4学科网（北京）股份有限公司 logxx,0<2a15．（5分）已知函数fx()=1．若函数fx()存在最大值，则实数a的取值范围是．,2x>x【答案】(1，4]11【详解】因为当x>2时，fx()=<，x2又因为函数fx()存在最大值，所以当02<x时，函数fx()存在最大值，当01<<a时，函数yx=log在(0，2]上单调递减，log2<0，所以不存在最大值，不符题意；aa当a>1时，函数yx=log在(0，2]上单调递增，要使函数存在最大值，aa>1则有：1，解得14<a，log2a2综上所述，a的取值范围为：(1，4]．故答案为：(1，4]．πππ16．（5分）已知函数fx()=+>sin(ωϕωx)(0，0)<<ϕπ，fx()满足fx()()+=−fx，f()0−=，且333ππ在区间(,)上有且仅有一个x使fx()1=，则ω的最大值为．00186129【答案】4ππππ【详解】因为fx()满足fx()()+=−fx，所以fx()关于x=对称，又f()0−=，3333π−+=ωϕπk13所以，k1，kZ2∈，ππ+=+ωϕπk2323(2k+1)ω=4则，k，kZ′∈，其中kkk=21−，kkkkk′=21+=+21，ϕ=k′ππ+24故k与k′同为奇数或同为偶数．ππfx()在区间(,)上有且仅有一个x使fx()1=，且要求ω最大，00186ππ则(,)包含的周期应该最多，186πππ3(2k+1)∴−=2T，得0<ω36，即36，∴k23.5．618941413π1413π6553当k=23时，ω=，k′为奇数，ϕ=，此时x+∈(π，π)，4444248学科网（北京）股份有限公司 1173π当x+=4.5π或6.5π时，fx()1=都成立，舍去；0044135π135π1747当k=22时，ω=，k′为偶数，ϕ=，此时x+∈(π，π)，444488111π当x+=2.5π或4.5π时，fx()1=都成立，舍去；00441293π1293π6149当k=21时，ω=，k′为奇数，ϕ=，此时x+∈(π，π)，44442481293π当且仅当x+=4.5π时，fx()1=成立．0044129综上所述，ω的最大值为．4129故答案为：．4四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）化简求值：232（1）27−−+(3)log362log2−；33π13cos(−−αα)2cos(−)12（2）已知tanα=，求的值．2πsin(++α)3sin(πα+)2【答案】（1）8；（2）−24233【详解】（1）原式=[(3)]−+3log36log4−33=−+93log9=+=628；3π13cos(−−αα)2cos(−)213cosαα−2sin（2）=πcosαα−3sinsin(++α)3sin(πα+)2132tan−α=，13tan−α1132−×12因为tanα=，所以原式==−24．2113−×2118．（12分）已知集合AxRxax=∈{|(+−<)(3)0}，集合BxR={∈>|1}．x−1学科网（北京）股份有限公司 （1）若a=1，求AB；（2）若AB=∅，求a的取值范围．【答案】（1）AB=(1,2)；（2）a−21【详解】根据题意，集合BxR=∈{|>=1}(1,2)，x−1（1）若a=1，集合AxRx=∈{|(+−<=−1)(x3)0}(1，3)，则AB=(1,2)；（2）集合AxRxax=∈{|(+−<)(3)0}，若a=−3，则A=∅，满足题意；若a<−3，则Aa=(3,−)，显然AB=∅；若a>−3，则Aa=−(,3)，所以−a2，所以−<−32a；综上所述：a−2．1119．（12分）已知函数fx()=+>(a0，且a≠1)．xa−12（1）讨论函数fx()的奇偶性；（2）当01<<a时，判断fx()在(0,+∞)的单调性并加以证明；（3）解关于x的不等式fxfx()>(2)．【答案】见解析【详解】（1）由题意得x≠0，故fx()的定义域为(−∞，0)∪(0，+∞)，xx11aa++111又因为fx()=+==⋅，xxxaaa−−−122(1)21−xxx1a++111aa1+1所以fx()−=⋅=⋅=−⋅=−fx()，−xxx2a−−121aa2−1所以函数fx()为奇函数；（2）判断：fx()在(0,+∞)的单调递增，证明如下，设0<<xx，1211aaxx21−则fx()−==−=fx()fx()，12aaaaxx1−−−−121(xx121)(1)因为01<<a，aaxx21<，xx<，所以12学科网（北京）股份有限公司 且aaaxxx121<1,<1,−<10,ax2−<10，aaxx21−所以<0，所以fx()()<fx，xx12(aa12−−1)(1)所以fx()在(0,+∞)的单调递增．（3）由（2）可知，当01<<a时，fx()在(0,+∞)的单调递增，且函数fx()为奇函数，所以fx()在(−∞,0)的单调递增，又因为x，2x同号，所以由fxfx()>(2)可得xx>2解得x<0，当a>1时，以下先证明fx()在(0,+∞)的单调递减，11aaxx21−∀x，x∈(0,+∞)，xx<，fx()−==−=fx()fx()，121212aaaaxx1−−−−121(xx121)(1)因为a>1，aaxx21>，xx<，所以12且aaaxxx121>1,>1,−>10,ax2−>10，aaxx21−所以>0，所以fx()()>fx，xx12(aa12−−1)(1)所以fx()在(0,+∞)的单调递减，且函数fx()为奇函数，所以fx()在(−∞,0)的单调递减，又因为x，2x同号，所以由fxfx()>(2)可得xx<2解得x>0，综上，当01<<a时，解集为(−∞,0)，当a>1时，解集为(0,+∞)．20．（12分）2022年8月9日，美国总统拜登签署《2022年芯片与科学法案》．对中国的半导体产业来说，短期内可能会受到“芯片法案”负面影响，但它不是决定性的，因为它将激发中国自主创新的更强爆发力和持久动力．某企业原有500名技术人员，年人均投入a万元(a>0)，现为加大对研发工作的投入，该企业做出适当调整，把原有技术人员分成维护人员和研发人员，其中维护人员x名(xN∈*)，调整后研发人员的7x年人均投入增加(2)%x，维护人员的年人均投入调整为am()−万元．100（1）若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前500名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少人？（2）若对任意100x200(xN∈*)，均有以下两条成立：①调整后研发人员的年总投入不低于维护人员的年总投入；②调整后维护人员的年人均投入不少于调整前500名技术人员年人均投入．求实数m的取值范围．学科网（北京）股份有限公司 【答案】（1）50人；（2）[15，19]【详解】（1）调整后研发人员的年人均投入为[1(2)%]+xa万元，2则(500−+x)[1(2)%]xa500(aa>0)，整理得0.02xx−90，解得0x450，又因为xN∈，所以要使这(500−x)名技术研发人员的年总投入不低于调整前500名技术人员的年总投入，调整后的研发人员的人数最少为50人．7x5002xx7（2）(500−+x)[1(2)%]xaxm(−)a，两边同除以ax得(−+1)(1)m−，100x100100500x7x7x整理得m++9；am()−a，解得m+1；x201001007xx500故+1mx++9(100200)恒成立，100x20500xx500500x++92⋅+=919，当且仅当=，即x=100时等号成立，所以m19，xx2020x207x100x200，当x=200时，+1取得最大值15，所以m15，100所以15m19，即实数m的取值范围是[15，19]．121．（12分）已知函数fx()=sin(ωϕωx+>)(0)的图象如图所示．3（1）求函数fx()的对称中心；（2）先将函数yfx=()图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上π所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向左平移个单位后得到函数ygx=()的35π图象．若|()|1gxt−对任意的x∈−[,0]恒成立，求实数t的取值范围．12kππ【答案】（1）(−,0)，kZ∈；（2）t∈[0，1]424Tπππ【详解】（1）由图可知=−=，23124ππ2∴T==，∴=ω4，2ω1∴fx()=sin(4x+ϕ)，3学科网（北京）股份有限公司 ππ11πππ又fk()=sin(+=ϕ),sin(+=+=+ϕ)1,ϕπ2，12333332π∴ϕπ=2k+，kZ∈．611ππ∴fx()=sin(4xk++=2π)sin(4x+)，3636π令4xk+=π，kZ∈，6kππ则x=−，kZ∈，424kππ∴fx()的对称中心为(−,0)，kZ∈；424ππ5（2）根据题意易得gx()=sin(2(x++=))sin(2x+π)，3665π55ππ当xx∈−[,0],2+∈[0,]时，gx()[0∈，1]．12665π|()|1gxt−对任意的x∈−[,0]恒成立，12gx()1+tmax∴，gx()−+1tmin∴可得t∈[0，1]．2222．（12分）已知函数fx()|=−++axb|axbxa(>0)．（1）若ab==1，求函数fx()的最小值；xx21（2）若函数fx()存在两个不同的零点x与x，求+的取值范围．12xx12【答案】（1）0；（2）(2,+∞)2222xxx+−−1,1或x1【详解】（1）若ab==1时，函数fxx()=−++=1xx，xx+−1,11作出yfx=()的图像，如图所示：易得fx()=−=f(1)0；min2（2）若b0，fx()2=ax+−bxb，因为fx()存在两个不同的零点x与x，122b所以△=+>b80ab，得<−8，a学科网（北京）股份有限公司 b此时x+==xxx−，12122a222xxx+x(x+−x)2xxb21211212所以+===−−2，xxxxxx2a121212b因为<−8，ab所以−>4，2ab所以−−>−=2422，2axx21所以+的取值范围为(2,+∞)；xx12b22ax+−bxbx,||a若b>0，fx()=，bbxbx+<,||a2bb−−bb+8ab当−>−1时，即>1时，得x=，x=−1，12aa4a2xx48ab++bab21有+=+，xxb++b28ab4a12b令t=>1，a2b++b81abbb22b1则=+(()8())+=++(ttt8)，44aaaa412令gt()=++(tt8)t，4则gt()在(1,+∞)上单调递增，gt()1>，xx121则+=+>gt()2；xxgt()12bbbb当−<−1，即01<<时，有−>−，aa4aabbfx()在(,)−∞−上单调递减，(−，+∞)上单调递增，aab所以fx()=−>f()0，fx()无零点；minab当=1时，fx()只有一个零点x=1；a学科网（北京）股份有限公司 xx21故+>2．xx12xx21综上所述：+的取值范围为(2,+∞)．xx12学科网（北京）股份有限公司