2023-2024年浙江新高考高二（上）数学期末模拟卷（解析板）

2023-2024年浙江新高考高二（上）数学期末模拟卷一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）21．（5分）抛物线xy=2的准线方程为()11A．x=−1B．y=−1C．x=−D．y=−22【答案】D21【详解】抛物线xy=2，可得p=，21所以抛物线的准线方程为：y=−．2故选：D．22x2．（5分）双曲线y−=1的一个焦点的坐标为()3A．(0,2)B．(2,0)C．(0,2)D．(2,0)【答案】A22x【详解】双曲线y−=1的焦点在y轴上，32222且a=1，b=3，则cab=+=2，22x∴双曲线y−=1的一个焦点的坐标为(0,2)．3故选：A．3．（5分）已知空间的三个不共面的单位向量a，b，c，对于空间的任意一个向量p，()A．将向量a，b，c平移到同一起点，则它们的终点在同一个单位圆上B．总存在实数x，y，使得p=xa+ybC．总存在实数x，y，z，使得p=+++−xaya()()bzabD．总存在实数x，y，z，使得pxayabzac=+++−()()【答案】D【详解】对于A，当空间的三个不共面的单位向量a，b，c作为空间直角坐标系的标准正交基底时，向量a，b，c平移到同一起点即坐标原点，此时它们的终点形成边长为2的正三角形，其外接圆半径r满26足2r=，即r=，不是单位圆，故A不正确；sin60°3学科网（北京）股份有限公司 对于C，由于向量(abab++−=)()2a，则向量ababa+−,,是空间中的一组共面向量，不能作为空间的基底向量，对于B，由三个向量共面的充要条件可知，当向量a，b，p共面时，总存在实数x，y，使得p=xa+yb，但向量p是空间的任意一个向量，即a，b，p可以不共面，故B错误；所以当p不与a，b共面时，则找不到实数x，y，z，使得p=+++−xaya()()bzab成立，故C不正确；对于D，已知空间的三个不共面的单位向量a，b，c，则向量aabac,,+−不共面，所以可以作为空间向量的一组基底，则总存在实数x，y，z，使得pxayabzac=+++−()()，故D正确．故选：D．4．（5分）已知数列{}a是递增的等比数列，aaa++=14，aaa=64，则公比q=()n1231231A．B．1C．2D．42【答案】C【详解】数列{}a是递增的等比数列，aaa=64，n1233则a=64，解得a=4，22aaa++=14，123∴+=aa10，13aq1=41∴2，解得q=或q=2，a+=aq10211数列{}a是递增的等比数列，n∴>q1，∴=q2．故选：C．5．（5分）已知点A(1,1)和B(2,4)，点P在y轴上，且∠APB为直角，则点P坐标为()A．(0,2)B．(0,2)或(0,3)C．(0,2)或(0,4)D．(0,3)【答案】B【详解】点P在y轴上，则可设Py(0,)，学科网（北京）股份有限公司 ∠APB为直角，∴⊥APBP，A(1,1)，B(2,4)，14−−yy∴⋅=⋅kk=−1，解得y=2或3，APBP120−故点P的坐标为(0,2)或(0,3)．故选：B．226．（5分）若直线yxb=+与圆xy+=1有公共点，则实数b的取值范围是()A．[1−，1]B．[0，1]C．[0，2]D．[2−，2]【答案】D【详解】由题意可知圆的圆心坐标为(0,0)，半径为1，22||b因为直线yxb=+与圆xy+=1有公共点，所以1，2解得−22b．故选：D．7．（5分）已知椭圆C和双曲线E具有相同的焦点，离心率分别为e，e，椭圆的长轴恰好被双曲线的焦点、12顶点、中心平分为若干条等长线段，则()45A．ee=1B．ee=C．ee=3D．ee+=1212121232【答案】B【详解】不妨设椭圆C和双曲线E的焦点在x轴上，由于椭圆的长轴恰好被双曲线的焦点、顶点、中心平分为若干条等长线段，设双曲线的实轴长为2a，则椭圆的实轴长为6a，则有椭圆的左右顶点为(3,0)−a，(3,0)a，双曲线左右顶点为(,0)a，(,0)a，焦点为(2,0)−a，(2,0)a，222aa4所以ee==,2==，所以ee=，故A错误，B正确；121233aa38ee=3，故C错误；ee+=，故D错误，21123故选：B．8．（5分）在三棱锥S−ABC中，SA=SB=2，AB=2，BC=1，AB⊥BC，若SC与面SAB所成角的最学科网（北京）股份有限公司 2大值为θ，则tanθ的值为()1251−51+A．B．C．D．2222【答案】C【详解】如图，取AB的中点E，AC的中点F，则EF//BC，又AB⊥BC，∴⊥ABEF，又SA=SB，E为AB的中点，∴⊥ABSE，又AB⊥EF，EFSE=E，∴⊥AB平面SEF，设∠=SEFα，则απ∈(0,)，如图，分别以BC，BA所在直线为x轴，y轴，以过B且垂直平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，1根据题意易知AE=AB=1，又AB=2，BC=1，2∴B(0，0，0)，A(0，2，0)，C(1，0，0)，S(cosα，1，sin)α，∴SC=−(1cos,1,sin)αα−−，BA=(0,2,0)，BS=(cos,1,sin)αα，设平面SAB的法向量为n=(,,)xyz，nBA⋅==20y则，取n=(sin,0,cos)αα−，nBS⋅=xcosαα++yzsin=0∴SC与平面SAB所成角的正弦值为：|SCn⋅−|sinαα1cos2|cos<SC，n>=|==，απ∈(0,)，|SCn|||(1cos)−αα22++1sin32cos−α3−t令t=−32cosα，则cosα=，2απ∈(0,)，∴cosα∈−(1,1)，∴∈t(1,5)，设SC与平面SAB所成角的正弦值为ft()，3−t21(−)21531335−则ft()==−(++t)−×25+=，tt424225当且仅当=t，即t=5时，等号成立，t学科网（北京）股份有限公司 35−又SC与平面SAB所成角的最大值为θ，∴=sinθ，235−222sinθθsin251−∴==tanθ==，22cosθθ12−sin35−1−2故选：C．二．多选题（共4小题，每小题5分，满分20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）2222xyxy9．（5分）已知椭圆C:1+=与双曲线Ck:+=<<1(916)，下列关于两曲线的说法正确的1216916−−kk9是()A．C的长轴长与C的实轴长相等12B．C的短轴长与C的虚轴长相等12C．焦距相等D．离心率不相等【答案】CD22xy22【详解】椭圆C:1+=的焦点在x轴上，a=16，b=9，11116922则cab=−=7；1112222xyxy双曲线Ck:+=<<1(916)为−=1，216−−kk916−−kk922焦点在x轴上，ak=16−，bk=−9，2222则cab=+=7．222∴C与C的焦距相等，而C的长轴长与C的实轴长不相等，则离心率不相等，1212C的短轴长与C的虚轴长不相等．12故选：CD．学科网（北京）股份有限公司 22xy10．（5分）设F，F为椭圆+=1的左，右焦点，直线l过F交椭圆于A，B两点，则以下说法正确12143的是()A．∆ABF的周长为定值82B．∆ABF的面积最大值为23222C．||||AF+AF的最小值为81211D．存在直线l使得∆ABF的重心为(,)264【答案】ACD22xy【详解】对于A：因为椭圆的方程+=1，432所以a=4，即a=2，由椭圆的定义可得|AF||+=AF|24a=，|BF||+=BF|24a=，1212两式相加得|||AF+++=AF||||BFBF|8，1212所以得|AF||++=BF|||8AB，22所以∆ABF的周长为8，故A正确；222xy对于B：因为椭圆的方程+=1，43222所以cab=−=1，所以F(1,0)−，F(1,0)12设直线l的方程为x−−=(1)my(−0)，即x=my−1，|11|+2所以点F到直线l的距离d==，2222mm+−(1)+1x=my−122联立xy22，得(3m+4)y−6my−=90，+=143222△=−(6)mm−4(3+×−>4)(9)0，即m>−1，(*)设Ax(，y)，Bx(，y)，1122−66mm9所以yy+=−=，yy=−，12221223434mm++34m+222226mm912(1+)所以||1AB=+m(y+y)4−yy=+1m()4−−()=，121222234m+3434mm++学科网（北京）股份有限公司 221112(1++mm)2121所以S=||ABd⋅=⋅⋅=，ABF22222234mm++m+13422144(1++mm)11S==144⋅=144⋅，ABF2(3224)9(221)6(21)11m+mm++++29(m+++1)621+m2211所以9(mm++1)32(×+⋅1)=6，2211++mm2122当且仅当9(m+=1)，即m=−，取等号，不成立，舍去，21+m321当m=0时，S=×=1449，ABF216所以S的最大值为9，故B错误；ABF2对于C：由椭圆的定义可得|AF||+=AF|24a=，1222||||||||AF12++AFAF12AF22所以()4=a=，当且仅当|AF||=AF|时，取等号，122222所以||||8AF+AF，1222所以||||AF+AF的最小值为8，故C正确；1211对于D：若存在直线l使得∆ABF的重心为(,)，26411则xx++=×13，yy+=×3，12126413即xx+=−，yy+=，121224由B选项设得直线l方程为x=my−1，33所以x+=xmy+my−=2(my+−=⋅−=y)2m2m−2，1212124431所以m−=−2，解得m=2，4211所以存在直线l使得∆ABF的重心为(，)，故D正确，264故选：ACD．11．（5分）已知函数fx()=xlnx，若0<<xx，则下列结论正确的是()12A．xfx()<xfx()2112B．xfx+()<+xfx()1122fx()()−fx12C．<0xx−12学科网（北京）股份有限公司 D．当lnx>−1时，xfx()+>xfx()2()xfx112221【答案】AD【详解】A．正确；fx()因为令gx()==lnx，在(0,+∞)上是增函数，x∴当0<<xx时，gx()()<gx，1212fx()fx()12∴<即xfx()<xfx()．2112xx12B．错误；因为令gx()=fx()+=xxlnx+x∴′=gx()lnx+2，−2∴∈xe(，+∞)时，gx′>()0，gx()单调递增，−2xe∈(0,)时，gx′<()0，gx()单调递减．∴+xfx()与xfx+()无法比较大小．1122C．错误；因为令gx()=fx()−=xxlnx−x，gx′=()lnx，∴∈x(0,1)时，gx′<()0，gx()在(0,1)单调递减，x∈(1,+∞)时，gx′>()0，gx()在(1,+∞)单调递增，∴当01<<<xx时，gx()()>gx，1212∴fx()−>xfx()−x，1122∴fx()()−fx>−xx，1212fx()()−fx12∴<0．xx−12当1<<xx时，gx()()<gx1212∴fx()−<xfx()−x，1122∴fx()()−fx<−xx，1212fx()()−fx12∴>0．xx−12D．正确；因为lnx>−1时，fx()单调递增，又A正确，学科网（北京）股份有限公司 ∴+xfx()xfx()2()[()()][()()](−xfx>−+xfxfxxfx−=fxxxfx−)[()()]0−>fx．1122211122211212故选：AD．12．（5分）在矩形ABCD中AB=22AD=，E为AB的中点，将∆ADE沿DE翻折到△ADE的位置，A∉11平面ABCD，M为AC的中点，则在翻折过程中，下列结论不正确的是()1A．恒有BM//平面ADE1B．B与M两点间距离恒为定值2C．三棱锥A−DEM的体积的最大值为16D．存在某个位置，使得平面ADE⊥平面ACD11【答案】CD【详解】对选项A：取AD的中点N，连接MN，EN，可得MN=BE且MN//BE，所以四边形BMNE是1平行四边形，所以BM//EN，又BM⊂/平面ADE，EN⊂平面ADE，所以BM//平面ADE，故选项A结论正确；111（也可以延长DE，CB交于H，所以HB=BC，所以MB//AH，又BM⊂/平面ADE，AH⊂平面ADE，1111从而BM//平面ADE)11对选项B：因为DN=，DE=2，∠=ADE∠=°ADE45，12211255根据余弦定理得EN=+−×××222=，得EN=，422425因为EN=BM，故BM=，故选项B结论正确；2对选项C：因为M为AC的中点，1所以三棱锥C−ADE的体积是三棱锥M−ADE的体积的两倍，111故三棱锥C−ADE的体积VV==Sh⋅，其中h表示A到底面ABCD的距离，1CADE−−∆11ADECCDE132当平面ADE⊥平面ABCD时，h达到最大值，此时h=，1211122此时V=Sh⋅=××××21=，A1−∆DECCDE332262所以三棱锥A−DEM体积的最大值为，故选项C结论错误；112对选项D：假设平面ADE⊥平面ACD，平面ADE∩平面ACD=AD，AE⊥AD，AE⊂平面ADE，111111111故AE⊥平面ACD，又AC⊂平面ACD，所以AE⊥AC，111111则在△ACE中，∠=EAC90°，AE=1,EC=2，所以AC=1．1111学科网（北京）股份有限公司 又因为AD=1，CD=2，所以AD+=ACCD，故A，C，D三点共线，1111所以A∈CD，得A∈平面ABCD，与题干条件A∉平面ABCD矛盾，故选项D结论错误；111故选：CD．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知向量n=(2,0,1)为平面α的法向量，点A(1−，2，1)在α内，点P(1，2，−2)在α外，则点P到平面α的距离为．5【答案】5【详解】因为A(1−，2，1)，P(1，2，−2)，所以AP=(2,0,3)−，又平面α的法向量为n=(2,0,1)，|APn⋅||22×+−×(3)1|5所以点P到平面α的距离d===．||n555故答案为：．5222214．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若圆xy+=4和圆xyxy++−+=4440关于直线l对称，则直线l的方程为．【答案】xy−+=2022【详解】圆xy+=4，圆心为(0,0)，2222圆xyxy++−+=4440，即(xy++−=2)(2)4，圆心为(2,2)−，2222圆xy+=4和和圆xyxy++−+=4440关于直线l对称，∴圆心(0,0)与圆心(2,2)−关于直线l对称，学科网（北京）股份有限公司 设直线l方程为y=kx+b，20−⋅=−k1−−20则，解得k=1，b=2，02+−=kb⋅+0222故直线方程为yx=+2，即xy−+=20，故则直线l的方程为xy−+=20．故答案为：xy−+=20．1*15．（5分）在数列{}a中，a=1，a=a+∈()nN，若tZ∈，则当||at−取得最小值时，整数t的n1nn+17an值为．【答案】41*【详解】a=1，a=a+∈()nN，1nn+1an11512919411969581∴aa=+=2，aa=+=，aa=+=，aa=+=，aa=+=，2132435465aa2a10a290a272890123451969581272890aa=+=+≈3.8，76a2728909695816又tZ∈，则当||at−取得最小值时，整数t的值为4，7故答案为：4．16．（5分）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．今有抛物2线Cy:=2pxp(>0)（如图）一条平行x轴的光线射向C上一点P点，经过C的焦点F射向C上的点Q，再反射后沿平行x轴的方向射出，若两平行线间的最小距离是4，则C的方程是．2【答案】yx=4p【详解】由抛物线的光学性质可得，PQ必过抛物线的焦点F(，0)，2当直线PQ斜率不存在时，易得|PQ|2=p；学科网（北京）股份有限公司 p当直线PQ斜率存在时，设PQ的方程为ykx=()−，Px(，y)，Qx(，y)，11222p2ykx=()−22p22222由2，得kx(−+=px)2px，整理得4kx−++=(4kp8)pxkp0，y2=2px422kp+2pp所以xx+=，xx=，12212k42kp+2p所以||PQ=++=xxp>2p；122k综上，当直线PQ与x轴垂直时，弦长最短，又因为两平行光线间的最小距离为4，故24p=，2∴抛物线方程为yx=4．2故答案为：yx=4．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知圆C经过点A(4,2)、B(6,0)，圆心C在直线xy+−=40上．（1）求圆C的方程；（2）若直线ykx=(+2)与圆C相交于P、Q两点，|PQ|23=，求实数k的值．2235【答案】（1）(xy−+=4)4；（2）k=±35【详解】（1）AB的中点为M(5,1)，斜率k=−1，则直线AB的中垂线为yx=−4，yx=−4x=4联立，解得，即C(4,0)，|BC|2=，yx=−4y=022∴圆C的方程为(xy−+=4)4；|6|k（2）由于|PQ|23=，点C(4,0)到直线ykx=(+2)的距离d==1，2k+1235即35k=1，解得k=±．3518．（12分）如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BC//AD，BC⊥AB，AD=2BC，侧棱SA⊥平面SCD，AS=AB=BC，E是AD的中点．（1）求证：BE⊥平面SAC；（2）求直线AB与平面SBD所成的角的正弦值．学科网（北京）股份有限公司 222【答案】（1）见解析；（2）11【详解】证明：（1）因为E是AD的中点，所以AE//BC且AE=BC，ED//BC且ED=BC，所以由条件可知ABCE是正方形，BCDE是平行四边形，所以BE⊥AC，因为SA⊥平面SCD，所以SA⊥CD，SA⊥BE，因为SAAC=A，SA，AC⊂平面SAC，所以BE⊥平面SAC；解：（2）设ACBE=O，则由（1）得BE⊥SO，在直角梯形ABCD中，AC=22AB=AS，又因为SA⊥平面SCD，得SA⊥SC，所以∆ASC为等腰直角三角形，因为O为斜边的中点，所以SO⊥AC，所以SO⊥平面ABCD；法一：建立如图直角坐标系，不妨设OB=1，则A(1，0，0)，B(0，−1，0)，S(0，0，1)，D(1−，2，0)，AB=−−(1,1,0),BS=(0,1,1),BD=−(1,3,0)，学科网（北京）股份有限公司 设n=(,,)xyz是平面SBD的一个法向量，nBS⋅=0yz+=0则由得，则可取n=(3,1,1)−，nBD⋅=0−+=xy30|ABn⋅|222所以sinθ=|cos〈ABn,〉=|=；|AB|||⋅n1111法二：因为VV=，所以S×=hS×SO，ASBD−−SABD∆∆SBDABD33不妨设BO=1，11所以AB=2,AD=22,S=2,SO=1,SB=2,BD=10,SD=6,S=，∆∆ABDSBD24h222所以h=,sinθ==．11AB1119．（12分）2022年10月16日至10月22日中国共产党第二十次全国代表大会在北京顺利召开，会后各地掀起了学习贯彻二十大精神的热潮．某中学在进行二十大精神学习讲座后，从全校学生中随机抽取了200名学生进行笔试（试卷满分100分），并记录下他们的成绩，其中成绩分组区间是：第一组[45，55)，第二组[55，65)，第三组[65，75)，第四组[75，85)，第五组[85，95]，并整理得到如下频率分布直方图，已知图中前三个组的频率依次构成等差数列．（1）求这部分学生成绩的中位数、平均数（保留一位小数）；（2）为了更好的了解学生对二十大精神的掌握情况，学校决定在成绩较高的第四、五组中用分层抽样的方法抽取5名学生，进行第二轮面试，最终从这5名学生中随机抽取2人作为校二十大精神的宣传员，求85分（包括85分）以上的同学恰有1人被抽到的概率．【答案】见解析0.005+=b0.0252×a=0.020【详解】（1）由题意可知：，解得．(0.0050.025++++ba0.005)101×=b=0.045设中位数为x，则0.005100.025100.045(×+×+×−=x65)0.5，x≈69.4．学科网（北京）股份有限公司 平均数为500.00510600.02510700.04510800.02010900.××+××+××+××+×00510×=69.5，故中位数为69.4，平均数为69.5；（2）由分层抽样得最终5名学生中第四组有4人、第五组有1人，11CC412×41故85分（包括85分）以上的同学恰有1人被抽到的概率为P===．2C1055nn*20．（12分）记∑xxxxin=123+++…+x，，πxxxxin=123×××…×x，nN∈，已知数列{}an和{}bn分别满i=1i=1nn22nn+足：∑ani=，πbi=(3)．i=1i=1（1）求{}a，{}b的通项公式；nnn（2）求∑abii．i=1nnn+1【答案】（1）ann=21−，bn=3（2）∑abii=(n−+1)33i=1nn22nn+【详解】（1）∑ani=，πbi=(3)，i=1i=12nn+22(3)2nn∴n2时，ann=−−=−(1)2n1，b==(3)=3．nn(nn−+−1)2(1)(3)n=1时，a=1，b=3，满足上式，11n∴=−an21，b=3．nnn（2）ab=(2n−1)3．nnn23n∴∑abii=Tn=+×333+×53+…+(2n−1)3，i=123nn+13T=+×+333…+−+−(2nn3)3(21)3，nn−123nn++19(3−1)n1相减可得：−=+++2Tnn32(33…+−−=+×3)(21)332−−(21)3，n31−nn+1n+1化为：Tnn=(−+1)33，即∑abii=(n−+1)33．i=122xy21．（12分）已知F，F为椭圆C:+=>>1(ab0)的左、右焦点．点M为椭圆上一点，当∠FMF取122212abπ最大值时，(MF+⋅=MF)6MF．1213（1）求椭圆C的方程；（2）点P为直线x=4上一点（且P不在x轴上），过点P作椭圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，点B关于x轴的对称点为B′，连接AB′交x轴于点G．设△AFG，△BFG的面积分别为S，S，求2212学科网（北京）股份有限公司 ||SS−的最大值．1222xy33【答案】（1）+=1；（2）434π【详解】（1）当M为椭圆短轴端点时∠FMF最大，依题意，∠=FMF，12123则△FMF为正三角形，则ac=2，12π又(MF+⋅=⋅=⋅MF)MF2MOMF2bacos==3ba6，12116∴ba=23，222又abc=+，∴=a2，b=3，c=1，22xy∴椭圆C的方程为+=1；43（2）设Ax(，y)，Bx(，y)，P(4，tt)(≠0)，1122若y≠0，则在A处的切线的斜率必定存在，设该切线的方程为y=−+=+−kx()xykxykx，11111y=+−kxykx11222由22，消去y并整理得(34+kx)+8(ky11−kxx)+−4(y11kx)−=120，3xy+=41222222239xx113x1则=64k(y−−+kx)4(34k)[4(y−−=kx)12]0，即kk++=0，故k=−，111122yy164y11123x33xx12111所以切线方程为y=−+xy+=−+x，14y444yyy1111xxyy11故直线PA的方程为+=1，43若y=0，则切线方程为xx=，11xxyy11综上，PA的方程为+=1，43xxyy22同理可得直线PB的方程为+=1，43又PA，PB都过点Pt(4,)，ytyt12则x+=1，x+=1，1233yt所以AB方程为x+=1，即AB过定点(1,0)．3故设AB方程为x=my+1，m≠0，学科网（北京）股份有限公司 x=my+122联立，消去x并整理可得，(3m+4)y+6my−=90，223xy+=412−6m−9∴yy+=，yy=，12212234m+34m+又Bx′(，−y)，22−−yy21则直线AB′方程为yy−=()xx−，11xx−21−9xy+xy(my++1)y(my+1)y2myy++yyyy34m2+12211221121212令y=0，得x====⋅2mm+=⋅12+=14，Gyy++yyyy++yy−6m12121212234m+∴G(4,0)，∴1336||mm9||99933|S−=S||FG|||⋅−=y||y|||y+=⋅y|====，1221212222223434mm++444343|m|+23|m|⋅||m||m423当且仅当3|m|=，即m=±时取等号，||m333故||SS−最大值为．124222．（12分）已知函数fx()=+−+alnxx(a2)x，其中aR∈．（1）若曲线yfx=()在点(2，f（2）)处的切线的斜率为1，求a的值；（2）讨论函数fx()的单调性；2（3）若函数fx()的导函数fx′()在区间(1,)e上存在零点，证明：当xe∈(1,)时，fx()>−e．【答案】（1）a=2；（2）见解析；（3）见解析a【详解】（1）解：根据条件fx′=+−+()2xa(2)，xaa则当x=2时，f′（2）=+−+=−+=4(a2)21，解得a=2；22（2）解：函数fx()的定义域是(0,+∞)，a(2xax−−)(1)fx′=+−+=()2xa(2)，xx①a0时，20xa−>，令fx′>()0，解得：x>1，令fx′<()0，解得：01<<x，故fx()在(0,1)递减，在(1,+∞)递增，aa②02<<a时，令fx′>()0，解得：x>1或0<<x，令fx′<()0，解得：<<x1，22学科网（北京）股份有限公司 aa故fx()在(0,)递增，在(，1)递减，在(1,+∞)递增，22③a=2时，fx′()0，fx()在(0,+∞)递增，aa④a>2时，令fx′>()0，解得：x>或01<<x，令fx′<()0，解得：1<<x，22aa故fx()在(0,1)递增，在(1,)递减，在(，+∞)递增；22综上：a0时，fx()在(0,1)递减，在(1,+∞)递增，aa02<<a时，fx()在(0,)递增，在(，1)递减，在(1,+∞)递增，22a=2时，fx()在(0,+∞)递增，aaa>2时，fx()在(0,1)递增，在(1,)递减，在(，+∞)递增；22a(2xax−−)(1)（3）证明：因为fx′=+−+=()2xa(2)，xx又因为导函数fx′()在(1,)e上存在零点，a所以fx′=()0在(1,)e上有解，则有1<<e，即22<<ae，2aa且当1<<x时，fx′<()0，fx()单调递减，当<<xe时，fx′>()0，fx()单调递增，2222aaaaa所以fx()f()=aln+−(a+=2)alna−−+(1lna2)，224242x设gx()=xlnx−−+(1lnx2)，22<<xe，4xx则gx′=+−−+()lnx1(1ln2)=−−lnxln2，2211则gx′′()=−<0，所以gx′()在(2,2)e上单调递减，x2所以gx()在(2,2)e上单调递减，22则ge(2)22=elnee−−+2(1eln2)=−<eg（2），2所以gx()>−e，2则根据不等式的传递性可得，当xe∈(1,)时，fx()>−e．学科网（北京）股份有限公司