重庆市南开中学2023-2024学年高三上学期12月第四次质量检测数学试题（Word版附解析）

数学试题2023.12注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.（）A.B.C.D.2.设集合，则集合的真子集个数为（）A.32B.31C.16D.153.已知直线a、b与平面、，下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则4.已知，，，则向量与的夹角等于（）A.B.C.D.5.已知实数a、b、c满足：，则下列关系不可能成立的是（）A.B.C.D.6.如图，将钢琴上的12个键依次记为，，…，.设，若且，则称，为原位大三和弦.现随机按下两个白键和一个黑键，则恰好按下的是一个原位大三和弦的概率为（） A.B.C.D.7.设抛物线的准线与轴的交点为N，O为坐标原点，经过O、N两点的圆C与直线相切，圆C与抛物线E的另一个交点为P，若，则（）A.2或B.2或4C.或D.2或8.将一张如图所示的两直角边长度分别为8和15的直角三角形硬纸片，沿虚线剪成四块，这四块纸片恰好可以通过折叠，拼接形成一个密封的直三棱柱模型，则所得直三棱柱模型的体积为（）A.30B.24C.20D.18二、多项选择题：本题共4小题，每小题5-分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分；9.已知函数是定义在上的奇函数，则下列说法正确的有（）A.函数是偶函数B.函数的图象关于点对称C.函数是偶函数D.函数是奇函数10.在正方体中，为棱上任意一点（含端点），下列说法正确的有（）A.直线与直线一定异面B.直线与直线一定垂直C.直线可能与平面平行D.直线可能与平面垂直11.已知数列和都是等差数列，，，，设集合，，，若将集合 中的元素从小到大排列，形成一个新数列，下列结论正确的有（）A.B.C.D.数列的前20项和为61012.如图，双曲线的左右焦点分别为和，点、分别在双曲线的左、右两支上，为坐标原点，且，则下列说法正确的有（）A.双曲线的离心率B.若且，则的渐近线方程为C.若，则D.若，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若直线与直线平行，则实数的值为__________.14.已知，则__________.15.已知直线与圆交于A、B两点，则弦长的最大值为__________.16.已知函数，曲线的一个对称中心为，一条对称轴为，则的最小值为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，，（1）求的面积；（2）设为线段上一点，且，求的值. 18.（本小题满分12分）为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽取了40名学生，按照性别和体育锻炼情况整理得到如下的列联表：性别锻炼合计不经常经常女生51015男生52025合计103040（1）根据上表数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素会影响学生体育锻炼的经常性？（2）如果将表中的数据都扩大为原来的倍，在相同的检验标准下，得到与（1）中不一样的结论.（i）求的最小值；（ii）如果抽样方式不变，你认为（1）和（2）的结论哪个更可靠，并说明理由.附：，其中0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82819.（本小题满分12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，面，为棱的中点，经过、、三点的平面交棱于点.（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成角大小为，求平面与平面所成角的余弦值.20.（本小题满分20分）已知数列满足，，，.（1）求证：数列是等比数列；（2）记数列的前项和为，数列的前项和为，是否存在常数，使得 ，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数，，.（1）若曲线在点处的切线与曲线也相切，求实数的值.（2）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.（…为自然对数的底数）22.（本小题满分12分）椭圆的左右焦点为和，为椭圆的中心，过作直线、，分别交椭圆于、和、，且的最大值为，的最小值为.（1）求椭圆的方程；（2）设线段、的中点分别为、，记的面积为，的面积为，若直线、的斜率为、且，求证：为定值，并求出这个定值. 重庆市高2024届高三第四次质量检测数学试题参考答案与评分细则123456789101112CDCBDAABADBCDACDACD一、单项选择题：1.C【解析】.2.D【解析】A集合，又，的真子集个数为：.3.C【解析】A选项没说；B选项平面内存在与直线不平行的直线；D选项要满足直线垂直于两平面的交线.4.B【解析】，，.5.D【解析】令，画出，，，图象可知：当在①位置时，当在②位置时，当在③位置时，.6.A【解析】随机按下两个白键和一个黑键的方法数为：，原位大三和弦的组合有，，，，，其中满足两个白键和一个黑键的只有， 两种情况，故恰好按下的是一个原位大三和弦的概率为.7.A【解析】设圆心，半径为，已知，，在中，由正弦定理得，，.又圆与直线相切，当时，则圆心到直线距离，得；当时，则圆心到直线距离.即，或（舍），综上或.8.B【解下】易知两块全等的小三角形作为直三棱柱的底面，剩下两部分拼接成直三棱柱的侧面.、分别为、中点，，即直三棱柱的高为4， 又底面三角形周长恰好为长度，，故，恰好满足题意，直三棱柱体积为.二、多项选择题9.AD【解析】对于A：令，，为偶函数，A，正确.对于B：向左移1个单位得到图像，故对称中心为，B错误.令，，为奇函数，故C错D对.10.BCD【解析】对于A：当P与重合时，，A错对于B：垂直于所在平面，故，B正确对于C：当P与重合时，，面，，C正确对于D：当与重合时，面，D正确11.ACD【解析】对于A：由，，解得，，所以，，所以A对；对于B、C：令，所以当，时，，且相邻公共项之间依次有，，，所以当时，所以B错，C对；对于D：由B可知，记前项和为，则约前20项和为，1，2，3，4时，用以D对.12.ACD【解析】对于A：，两渐近线夹角小于，，，A正确；对于B：时为等腰直角三角形，，又点 在双曲线上，代入双曲线方程得，，渐近线方程为，B错；对于C：在双曲线上取B关于原点的对称点M，连接，，，.，，又，.又，为中点，，必有，，三点共线为角平分线，，C正确；对于D：作上取一点使得，，，，，又，，，，D正确.三、填空题13.或【解析】两直线平行，即，得或14.【解析】令，则，.15.【解析】已知圆的半径，设圆心到直线距离（时取等），又，当取最小时取得最大值，故时，.16.9【解析】为的一个对称中心，为的一条对称轴， ，得，，代入①得，当，时，.四、解答题17.（1）法一：由余弦定理得，整理得.因，解得，所以法二：由正弦定理得，因，故，所以为锐角，，故，所以（2）因，故，所以，，法一：法二：.18.解：（1）：学生体育锻炼的经常性与学生性别没有关系.根据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此认为成立，即学生体育锻炼的经常性与学生性别没有关系.（2）（i）当表中的数据都扩大为原来的倍时， 根据的独立性检验，若推断不成立，即在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生体育锻炼的经常性与学生性别有关系.则有：，解得，又，故的最小值为8.（ii）在抽样方式不变的情况下，（2）中的结论更可靠.这是因为对于随机样本而言，频率具有随机性，我们的推断可能犯错误，样本容量越小，犯错误的可能性会越大，因此在抽样方式不变的前提下，样本容量大的结果更可靠.19.解：（1），平面，平面，平面，又，平面，，又是的中点，是的中点，且，又，且，四边形是平行四边形，又平面，平面，平面.（2）连接，因且，，所以且，又平而，平而，故，又，所以平面，故为直线与平面所成角，从而，且.如图，以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，.平面的法向量为，设平面的法向量为，则，取，得，，所以平面与平面所成角的余弦值为. 20.解：（1）当时，又，故数列是以2为首项，公比为4的等比数列.（2）由（1）得，故，，所以故，即存在常数满足题意.21.解：（1），，，，故切线方程为，即.设切线与曲线切于点，则，解得，.（2）法一：因为，敌记，， 令，，故在并单调递减，在单调递增，所以当时，.所以，故任单调递减，在单调递增，，所以的取值范围为.法二：取，由，得.下证：当时，恒成立.记，因，战在单调递减，所以，记，，，记，，，故在单调递减，在单调递增，故，故，单调递增，又，所以在单调递减，在单调递增，所以，得证.综上知，的取值范围为.22解：（1）由已知得，解得，，故椭圆方程为，（2）由（1）得，，设直线，，其中，，则. 由消去得：，，设，，，则，，，，即，同理可得法一：设直线的斜率为，则.故直线的方程为，即将代入得，故直线恒过定点于是点与点到直线的距离之比等于，从而.法二：，故