安徽省皖豫联盟2023-2024学年高二上学期期中数学试卷（Word版附解析）

2023—2024学年大联考安徽高二（上）期中考试皖豫名校联盟&安徽卓越县中联盟数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知A，B，C，D是空间中互不相同的四个点，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】运用向量加法法则、减法法则计算即可.详解】.故选：B.2.直线的倾斜角是（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C【解析】【分析】先求解出直线的斜率，然后根据倾斜角与斜率的关系求解出倾斜角的大小.【详解】因为直线方程为，所以斜率，设倾斜角为，所以，所以，故选：C.3.经过点，且以为圆心的圆的一般方程为（）A.B.CD.【答案】A【解析】【分析】根据两点间的距离公式求出圆的半径，结合圆的标准方程与一般方程之间的转化，即可求解. 【详解】由题意得，圆的半径，所以圆的标准方程为，所以圆的一般方程为．故选：A.4.设，则“”是“直线与直线平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据直线平行的条件和充分必要条件的概念可判断结果.【详解】因为直线与直线平行的充要条件是且，解得或．所以由充分必要条件的概念判断可知：“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件，故选：A5.已知向量，若，且，则的值为（）A.0B.4C.0或4D.1或4【答案】C【解析】【分析】由向量的模求出的值，再由向量垂直求出的值，最后求出即可.【详解】因为且，所以，解得，又因为，所以，当时解得，此时，当时解得，此时，故选：C6.已知椭圆的两个焦点为，，且焦距为4，点在上，若的最大值为25，则的离心率为（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由椭圆定义利用不等式可知当时，取得最大值，可得，由焦距为4可知，即可得离心率.【详解】由椭圆定义可得，所以，当且仅当时，等号成立．由题可知的半焦距，所以离心率．故选：B7.若直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】作出曲线，它是半圆，直线过定点，由图可知四条直线产生临界条件，两条过半圆的两个端点，两条是半圆的切线，求出其斜率后可得结论．【详解】直线过定点，又曲线可化为：，，画出直线与曲线图象如图所示： 数形结合可得直线在，，，处产生临界条件，设直线，，，的斜率分别为则设直线的方程为，圆心到直线的距离为，解得舍去或，要使两图象有个不同交点，则故选：D．8.已知椭圆的一个焦点和一个顶点在圆上，则该椭圆的离心率不可能是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求出圆与坐标轴的公共点，再分情况讨论结合椭圆的离心率公式即可得解.【详解】设椭圆的半焦距为，中， 令，则，令，则或，故圆与坐标轴的公共点为，，，又椭圆的焦点在轴上，①若椭圆的上顶点为，左焦点为或，即，或，则或，离心率或；②若椭圆的左顶点为，左焦点为，则，，离心率，综上所述，该椭圆的离心率为或或.故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】利用截距式的求法，讨论截距的绝对值相等的情况，在进行截距式假设时，分截距为0，截距不为0进行假设.【详解】当直线的截距不为0时，设直线的截距式方程为，由题可得所以或解得或所以直线方程为或，故A，C正确； 当直线的截距为0时，设直线方程为，由题可知，故直线方程为，D正确．故选：ACD10.下列结论中正确的是（）A.若，分别为直线l，m的方向向量，则B.若为直线的方向向量，为平面的法向量，则或C.若，分别为两个不同平面，的法向量，则D.若向量是平面的法向量，向量，，则【答案】BD【解析】【分析】由直线的方向向量垂直得直线垂直，由直线的方向向量与平面的法向量垂直得直线与平行的位置关系，由两平面的法向量平行得平面平行，由平面的法向量与平面内的向量垂直得参数关系，从而判断各选项．【详解】，，，直线与不垂直，故A错误；，或，故B正确；，与不共线，不成立，故C错误；由题可知即解得，故D正确．故选：BD.11.已知圆与圆，则下列说法正确的是（）A.圆的圆心恒在直线上B.若圆经过圆的圆心，则圆的半径为C.当时，圆与圆有条公切线 D.当时，圆与圆的公共弦长为【答案】BC【解析】【分析】先将圆的方程化为标准方程，由此即可判断A；将圆的圆心坐标代入圆的方程即可求出参数，从而可得圆的半径，由此即可判断B；判断此时两圆的位置关系即可判断C；先求出公共弦方程，然后由圆的弦长公式计算判断D即可.【详解】，即，所以圆的圆心为，恒在直线上，故选项A错误因为的圆心为在圆上，所以，解得，所以的半径为，故选项B正确；当时，圆：，圆心为，半径为，此时圆与圆的圆心距，即大于两圆半径和，所以圆与圆外离，圆与圆有条公切线，故选项C正确；当时，圆，圆，两圆相交，公共弦方程为，圆的圆心到公共弦的距离，所以圆与圆的公共弦长为，故选项D错误，故选：BC．【点睛】关键点点睛：对于ABD选项的判断比较常规，关键是判断C时，只需要判断两圆的位置关系即可.12.法国数学家蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆．若矩形的四边均与椭圆 相切，则下列说法正确的是（）A.的蒙日圆的方程为B.若为正方形，则的边长为C.若圆与的蒙日圆有且仅有一个公共点，则D.过直线上一点作的两条切线，切点分别为，，当为直角时，直线（为坐标原点）的斜率为【答案】ABC【解析】【分析】根据已知定义可判断A项，由正方形的对角线为的蒙日圆的直径列方程即可判断B项，由两圆外切列方程即可判断C项，由点在直线与椭圆C的蒙日圆的交点处，列方程组求交点即可判断D项.【详解】对于A项，由题可知的蒙日圆的半径为，则蒙日圆的方程为，故A项正确；对于B项，若为正方形，则为的蒙日圆的内接正方形，设正方形的边长为，由题可知，解得，故B项正确；对于C项，易知点在圆外部，所以若圆与的蒙日圆有且仅有一个公共点，则两圆外切，所以，解得，故C项正确；对于D项，如图所示，因为为直角，且、是椭圆C的两条切线，所以在椭圆C的蒙日圆上， 又因为在直线：上，所以点在直线与椭圆C的蒙日圆的交点处.设直线与圆交于A，B两点，联立，可得或，不妨设，，所以当点与点A或B重合时，为直角，且，，所以直线的斜率为或0，故D项错误．故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知平面的一个法向量为，点，在平面内，则__________．【答案】6【解析】【分析】根据法向量定义列式求参即可.【详解】因为，且，所以，解得．故答案为：6.14.椭圆的右焦点到直线的距离是__________．【答案】##【解析】【分析】由椭圆方程可得右焦点为，代入点到直线距离公式即可得出结果.【详解】由题可知椭圆的右焦点坐标为，所以右焦点到直线的距离是． 故答案为：15.已知是圆上的动点，，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】由的几何意义可知其表示圆上的点与点所在直线的斜率，求出过点A的切线的斜率，结合图象即可求得结果.【详解】设，由题知圆的圆心为，半径，表示直线的斜率，不妨设过点A的圆的切线方程为，则圆心到切线的距离，解得或，结合图可知，实数的取值范围为.故答案为：.16.已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上异于顶点的一点，为坐标原点，为线段的中点，的平分线与直线交于点，当四边形的面积为时，__________．【答案】 【解析】【分析】根据定义结合中位线及面积公式计算正弦值即可.【详解】由题可知，．因为平分，所以到，的距离相等，设为，则．易知是的中位线，延长，交于点，则为的中点，过作于，易得，则，从而．故答案为：四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知圆经过，两点．（1）求圆的半径；（2）判断圆（且）与圆的位置关系．【答案】（1）2（2）圆与圆外离【解析】【分析】（1）根据已知条件可求得a、b的值，再将圆的一般方程标准化后即可求得结果.（2）比较两圆心距与即可判断.【小问1详解】由题可得，解得，所以圆的一般方程为，则标准方程为，故圆的半径为2． 【小问2详解】由（1）可知圆的圆心．半径，又圆N的圆心，半径，所以，，又因为，所以，所以圆与圆外离．18已知直线和圆．（1）求与直线垂直且经过圆心的直线的方程；（2）求与直线平行且与圆相切的直线的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先根据垂直关系设直线,再结合直线过圆心求参即可;（2）先根据平行设直线方程，再根据圆心到直线距离为半径求参得出直线方程.【小问1详解】设与直线垂直的直线的方程为．圆可化为，圆心为，因为直线经过圆心，所以，即，故所求直线的方程为．【小问2详解】设与直线平行的直线的方程为．因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以或10，故所求直线的方程为或． 19.已知空间中三点，，.设，.（1）求；（2）若与互相垂直，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出向量的坐标，然后利用向量模的计算公式求解即可；（2）先求出两向量的坐标，再利用垂直的坐标形式列式求解即可.【小问1详解】，，，，，，，于是，.【小问2详解】，，又与互相垂直，，即，，解得.20.已知圆的圆心在坐标原点，面积为．（1）求圆的方程；（2）若直线，都经过点，且，直线交圆于，两点，直线交圆于，两点，求四边形面积的最大值．【答案】（1） （2）14【解析】【分析】（1）根据面积解出半径，再应用圆的标准方程即可；（2）根据几何法求出弦长，再应用面积公式计算，最后应用基本不等式求最值即可.【小问1详解】由题可知圆的圆心为，半径．所以圆的方程为．【小问2详解】当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，圆心到直线的距离为，则，，同理可得，则，当且仅当，即时等号成立．当直线的斜率不存在时，，，此时．当直线的斜率为0时，根据对称性可得．综上所述，四边形面积的最大值为14．21.如图，在直三棱柱中，，为棱的中点，，二面角的大小为． （1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接交于点，连接，则，再由线面平行的判定定理证明即可得；（2）由题意以为原点，分别以直线，，为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．设，分别求出平面和平面的法向量，由二面角的向量公式求出，再求出直线的方向向量由线面角的向量公式求解即可.【小问1详解】如图，连接交于点，连接，显然是的中点，因为为的中点，所以为的中位线，，而平面，平面，所以平面．【小问2详解】设的中点为，连接并延长交于点．因为，所以，于是有． 因为三棱柱是直三棱柱，所以平面平面，而平面平面，所以平面．因为侧面是矩形，所以．以为原点，分别以直线，，为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，，，于是，．设平面的法向量为，则有即令，可得．易知平面的一个法向量为．因为二面角的大小为，所以，即，解得（负值舍去）．故，，．设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为．22.已知圆的圆心为（且），，圆与轴、轴分别交于，两点（与坐标原点不重合），且线段为圆的一条直径．（1）求证：的面积为定值；（2）若直线经过圆的圆心，求圆的方程；（3）在（2）的条件下，设是直线上的一个动点，过点作圆的切线，， 切点为，，求线段长度的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）（3）【解析】【分析】（1）求出圆的方程，分别令，求出，，即可求出的面积，即可证明；（2）因为直线经过圆的圆心，所以，结合，即可解出，可求出求圆的方程；（3）由题意可得然P，G，C，H四点共圆，且为该圆的一条直径，设这四点所在的圆为圆，可得圆的方程，由点到直线的距离、圆的弦长公式表示出，再由二次函数的性质即可求出求线段长度的最小值.【小问1详解】设圆的方程为，由题可知点在圆上，则圆的方程为，整理得，因为圆与轴、轴分别交于，两点（与坐标原点不重合），令，解得：；令，解得：；则，．所以，为定值．【小问2详解】因为直线经过圆的圆心，所以．又，且，解得．所以圆的方程为．【小问3详解】过点作圆的切线，，切点为，， 显然P，G，C，H四点共圆，且为该圆的一条直径，设这四点所在的圆为圆，，则圆的方程为，即，①又圆的半径，方程可化为，②①－②，得圆与圆的相交弦所在直线的方程为．点到直线的距离，所以，所以当时，取得最小值，故线段长度的最小值为．