四川省绵阳市三台中学2023-2024学年高三上学期第二学月测试理科数学试题（Word版附解析）

秘密★启用前【考试时间：2023年10月11日下午14:40-16:40】高中2021级高三第二学月测试理科数学本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共6页.满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内.2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3.考试结束后将答题卡收回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】解分式不等式化简集合，再利用集合的交集运算即可得解.【详解】因为，，所以.故选：A．2.执行如图所示程序框图，则输出的n为（） A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】【分析】根据循环的功能，一一循环验证，直至，终止循环，输出结果.【详解】解：因为，，第一次执行循环体，得，；第二次执行循环体，得，；第三次执行循环体，得，；第四次执行循环体，得，，则输出．故选：B．3.已知正数满足，则的最小值为（）A.5B.C.4D.【答案】B【解析】【分析】首先乘以，然后根据基本不等式求解；【详解】因为， 则，当且仅当，即时取等号,故选：．4.若四边形是边长为2的菱形，，分别为的中点，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的线性运算和数量积运算解答.【详解】因为四边形是边长为2的菱形，，所以.所以故选：A5.已知函数的图像大致为（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用排除法求解，先判断函数的奇偶性，再取特殊值根据函数图象的变化趋势判断【详解】定义域为，因为，所以为奇函数，所以其图象关于原点对称，所以排除CD，当，，当时，的增加幅度远大于的变化幅度，则时，，所以排除B，故选：A6.已知实数，满足，则下列各项中一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由，可得，根据不等式的性质即可判断A；根据正弦函数的单调性即可判断B；根据对数函数的单调性及换底公式即可判断C；根据指数函数及幂函数的单调性即可判断D.【详解】因为，所以，则，故A错误； 当时，，所以，故B错误；因为，所以，所以，即，故C错误；因为，所以，即，故D正确.故选：D.7.某程序研发员开发的小程序在发布时已有1000名初始用户，经过t天后，用户人数，其中k和m均为常数．已知小程序发布经过10天后有4000名用户，则用户超过2万名至少经过的天数为（）（天数按整数算，取）.A.20B.21C.22D.23【答案】C【解析】【分析】根据题中条件求得参数，继而列出不等式，结合对数的运算，即可求得答案.【详解】由题意知，当时，，又因为小程序发布经过10天后有4000名用户，所以，令，所以，故用户超过2万名至少经过的天数为22，故选：C8.已知等比数列的前n项和为，若，则（）A.12B.36C.31D.33【答案】C【解析】【分析】由等比数列的分段和性质列方程即可解得. 【详解】因为等比数列的前n项和为，且，所以不妨设则.由分段后性质可知：构成等比数列.由，即，解得：.所以.故选：C9.“”是“函数在上单调递增”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】根据函数在上单调递增求出的取值范围，再判断充分性与必要性即可.【详解】因为函数在上单调递增，所以时恒成立且在上单调递增，所以，则是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.故选：A10.若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】先根据函数为偶函数，不等式变形为，由函数在上单调递减，且，求出在上单调递增，且，分与两种情况进行求解，得到答案.【详解】因为为偶函数，所以，所以，且，因为在上单调递减，且，所以在上单调递增，且，当时，则，故，当时，则，故，综上：的解集为.故选：B11.已知函数在定义域上导函数为，若方程无解，且，当在上与在上的单调性相同时，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】等价转化为在上恒成立，再分离参数即可.【详解】因为方程无解，所以函数为单调函数，因此由，得(为常数)，即为单调增函数， 因此在上恒成立.即在上恒成立.，因此，故选：A.12.已知函数，若有两个极值点、且，则实数a的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】有两个极值点，则方程有两个实根，设，利用导数研究单调性，作出函数图像，可知，，随a的减小而增大，当时解得，可求实数a的取值范围.【详解】，有两个极值点，则有两个零点，即方程有两个实根，也即方程有两个实根，令，则，所以解得，解得，从而在上单调递增，在上单调递减，时；时，，据此可作出函数的图像如下： 首先当且仅当时，直线与函数的图象有两个交点，其次，由图可知，且当时，随a的减小而增大，不妨考虑的情形，此时，因为，所以，将代入得：，两式相除得，故，即．所以当且仅当时，有两个极值点、且．故选：A第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填答题卷的横线上.13.设x，y满足条件，则的最大值为__________．【答案】4【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义求解作答.【详解】不等式组表示的平面区域，如图中阴影（含边界），其中， 目标函数，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系，画直线，平移直线到直线，当直线过点时，直线的纵截距最大，最大，，所以的最大值为4.故答案为：414.若向量，且，则__________．【答案】【解析】【分析】利用向量的坐标运算及向量共线的坐标表示，列式求出即可得解.【详解】依题意，，由，得，解得，所以.故答案为：15.已知，则___．【答案】##0.75【解析】【分析】根据角的变换，利用诱导公式求解.【详解】，故答案为：16.已知函数，对都有，且是 的一个零点.若在上有且只有一个零点，则的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】根据余弦型函数的基本性质可得出关于、的方程组，解出、的表达式，再结合函数与方程的关系，将问题转化为存在唯一的，使得函数取到最大值，且，结合三角函数的基本性质，求出的范围，由大到小进项检验，即可求得的最大值.【详解】因为函数，对都有，且是的一个零点，则，解得,因为函数在上有且只有一个零点，则方程在上有且只有一个根，因为，所以，存在唯一的，使得函数取到最大值，且，则，解得，令，则，且，所以，、的奇偶性相同，由可得，解得，即， 当时，，为奇数，则，所以，，由可得，此时，当或时，函数取最大值，不合乎题意；当时，，为偶数，，即，由可得，此时，当时，函数取最大值，合乎题意.综上所述，的最大值为.故答案为：.【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路：（1）将函数解析式变形为或的形式；（2）将看成一个整体；（3）借助正弦函数或余弦函数的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知数列满足.等比数列的公比为3，且.（1）求数列和的通项公式；（2）记，求数列前项和.【答案】（1），（2）【解析】 【分析】（1）根据数列的递推公式和等比数列的定义即可求出数列通项；（2）根据分组求和与裂项求和法以及等比数列的求和公式即可求出【小问1详解】数列满足，是以为首项，为公差的等差数列，，，等比数列的公比为3，且，，【小问2详解】，18.已知函数（，）.已知的最大值为1，且的相邻两条对称轴之间的距离为（1）求函数的解析式及在的单调递增区间；（2）若将函数图象上点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向右平移单位，得到函数的图象，若在区间上的最小值为，求m的最大值.【答案】（1）；，（2）【解析】【分析】（1）根据题干中所给条件求出解析式，然后求其单调区间即可. （2）根据的平移变换求出表达式，然后根据区间上的最小值为，求m的最大值.【小问1详解】，，解得；，即，解得；；令，得，所以函数的单调递增区间为（）；所以在的单调递增区间为，【小问2详解】将函数图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到的图象，再向右平移单位，得到函数的图象，即；因为，所以，因为在区间上的最小值为，所以，解得.所以的最大值为.19.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求角A的大小； （2）若，求BC边上中线AD长的最小值．【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）根据正弦定理边化角，再根据三角恒等变换化简求解即可；（2）由余弦定理可得，再根据两边平方化简可得，联立可得，再根据基本不等式求最值即可【小问1详解】因为，所以，所以．因为，所以．因为，所以．【小问2详解】在中，由余弦定理得，所以，①因为为边上的中线，所以，所以，②由①得，③代入②得，④由③得，所以，当且仅当即时取等号，代入④得，所以，长的最小值为1． 20.已知函数的图象过点，且在点P处的切线恰好与直线垂直.（1）求函数的解析式；（2）若函数的图象与抛物线恰有三个不同交点，求m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据图象过点及导数的几何意义列方程求解即可；（2）构造差函数，从而只需函数有三个零点即可，求导，求极值即可求解.【小问1详解】因为的图象经过点，所以，又，则，由条件，即，解得，代入解得，故；【小问2详解】由（1）知：，令，则原题意等价于图象与轴有三个交点.因为，100极大极小 所以在时取得极大值，在时取得极小值，依题意得，解得，故m的取值范围为.21.已知函数．（1）若在定义域内单调递增，求的取值范围；（2）若有两个不同的极值点，且则存在，使得成立．求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）转化为恒成立，再利用导数求出最小值代入可求出结果；（2）先推出，，再将不等式化为恒成立，根据右边构造函数，利用导数求出最大值即可得解.【小问1详解】的定义域为，，在定义域内单调递增当时，恒成立，若恒成立，若，设， ，当时，，当时，，在上为减函数，在上为增函数，故．综上.【小问2详解】，因为存在两个极值点且，则为方程的两个根，即为的两根，因为，且．所以且，，因为，则，设，则；令，则，当时，，为减函数，所以当时，，∴当时，，即； ∴单调递增，则，∴.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，总有成立，故；（2）若，总有成立，故；（3）若，使得成立，故；（4）若，使得，故.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.如图，在极坐标系中，圆的半径为，半径均为的两个半圆弧所在圆的圆心分别为，，是半圆弧上的一个动点，是半圆弧上的一个动点.（1）若，求点的极坐标；（2）若点是射线与圆的交点，求面积的取值范围.【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）根据图形关系可确定，极角，由此可得点的极坐标；（2）利用表示出和，代入三角形面积公式，结合三角恒等变换知识可化简得到，结合正弦型函数值域可求得结果.【小问1详解】由知：，，点的极角为，点的极坐标为.【小问2详解】由题意知：，，，，，，，.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数． （1）求的解集；（2）若函数的最小值为，且，求的最小值.【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）利用分区间讨论的方法，去掉绝对值符号，化简函数的表达式，进而将转化为3个不等式组求解，即得答案；（2）结合（1）中的表达式，确定M的值，利用河西不等式即可求得答案.【小问1详解】，故等价于或或，解得，不等式的解集为；【小问2详解】当时，；当时，；当时，，故函数的的最小值为，即利用柯西不等式可得，即，当且仅当时等号成立，结合，即当时，取得最小值4.