四川省眉山市仁寿县第一中学南校区2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

仁寿一中南校区2023级高一上半期考试数学科试题2023年11月21日第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，若，则（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】根据并集定义分析可得.【详解】由题知，又，所以，所以，即.故选：D2.命题，，则命题p的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】根据存在量词命题的否定为全称命题即可求解.【详解】命题，，则命题p的否定是，,故选：B3.下列函数中既是奇函数又是增函数的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据奇偶函数的性质，以及函数增减的性质，逐个选项进行判断可得答案.【详解】A选项，为奇函数，且单调递增，故A正确；B选项，是奇函数，在，上递减，故B错误； C选项，偶函数，故C错误；D选项，是奇函数，且单调递减，故D错误，．故洗：A4.已知，则的最小值是（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式求出最小值即得.【详解】由，得，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最小值4.故选：C5.若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为（）AB.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意可得且，将转化为，即可求解.【详解】因为关于的不等式的解集是，所以，得且，所以不等式等价于，解得或，即不等式的解集为.故选：A.6.函数的图象如图所示，则函数的定义域、值域分别是（） A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义域和值域的定义，结合函数图象进行求解即可.【详解】自变量可取或内的任意值，∴定义域为或.函数值范围为或，即，∴值域为.故选：C7.已知函数的最小值为8.则实数的值是（）A-1B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】将原函数分离常数，由题意，结合反比例函数的性质建立方程，解之即可.【详解】由，而函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，又其在上的最小值为8，所以，解得.故选：C.8.定义在上函数满足以下条件：①函数是偶函数；②对任意，当时都有，则，，的大小关系为（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据条件判断函数的对称性和单调性，利用单调性比较函数值大小即可.【详解】由函数是偶函数，所以函数图象关于直线对称，又对任意，当时都有，所以函数在上单调递增，又，，所以，所以.故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知“”是“”的充分不必要条件，则的值可能为（）A.0B.1C.2D.4【答案】BCD【解析】【分析】根据充分、必要条件的定义可得，即可求解.【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以.故选：BCD.10.下列各组函数表示同一函数的是（）A.，B.， C.，D.，【答案】ACD【解析】【分析】根据函数的定义域以及对应关系是否相同，即可结合选项逐一判断.【详解】A、C选项的定义域和对应法则一致，故为同一函数：B选项中函数的定义域为,而的定义域为，故两函数定义域不一致，不是同一函数.D选项中函数的定义域为,而的定义域为，故两函数定义域相同，且对应关系也相同，故是同一函数.故选:ACD11.对于实数a，b，c下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】ABC【解析】【分析】利用不等式的性质和赋值法逐项判断即可.【详解】对于A，若，则，故A正确；对于B，，则，故B正确；对于C，若，则，所以，所以，即，故C正确； 对于D，若，则，故D错误；故选：ABC12.下列说法正确的是（）A.若对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是B.若时，不等式恒成立，则实数a取值范围为C.若，，且，则的最小值为18D.已知函数，若，则实数a的值为或【答案】CD【解析】【分析】对于选项A：根据具体函数定义域结合已知得出在上恒成立，即可根据含参一元二次不等式恒成立的解法分类讨论，解出答案，即可判断；对于选项B：根据对钩函数的性质得出若时，，即可判断；对于选项C：根据已知得出，即可根据基本不等式1的妙用得出，根据基本不等式得出答案，即可判断；对于选项D：根据分段函数求函数值判断a的值为或是否满足题意.【详解】对于选项A：若对任意实数x都成立，则在上恒成立，当时，，满足题意，当时，在上恒成立，则，解得，故A错误；对于选项B：根据对钩函数的性质可得函数在上单调递增，则当时，， 故当恒成立，则实数a取值范围为，故B错误；对于实数C：，，且，则，则，当且仅当，即，时，等号成立，故C正确；对于选项D：若，则，满足题意，若，则，满足题意，故D正确；故选：CD.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13.已知是定义在R上的偶函数，且当时，，则_____.【答案】1【解析】【分析】根据偶函数的性质即可求得答案.【详解】由题意是定义在R上偶函数，且当时，，则，故答案为：114.若“，恒成立”是真命题，则实数m的最大值是______.【答案】2【解析】【分析】根据条件，将问题转成在区间上恒成立，构造函数，求出在区间上的最小值即可求出结果.【详解】因为对，恒成立，即在区间上恒成立，令，易知，当时，，所以，得到， 故答案为：2.15.函数是幂函数，且当时，是减函数，则实数=_______．【答案】-1【解析】【分析】根据幂函数的定义，令m2﹣m﹣1=1，求出m的值，再判断m是否满足幂函数当x∈（0，+∞）时为减函数即可．【详解】解：∵幂函数，∴m2﹣m﹣1=1，解得m=2，或m=﹣1；又x∈（0，+∞）时，f（x）为减函数，∴当m=2时，m2+m﹣3=3，幂函数为y=x3，不满足题意；当m=﹣1时，m2+m﹣3=0，幂函数为y=x﹣3，满足题意；综上，m=﹣1，故答案为﹣1【点睛】本题考查了幂函数的定义与图像性质的应用问题，解题的关键是求出符合题意的m值．16.已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则______．【答案】【解析】【分析】构造新函数，先求新函数的最大值与最小值之和，再求的最大值与最小值之和.【详解】设函数，则的最大值为，最小值为，易知是奇函数，所以，所以，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.17.已知集合，集合，或（1）求;（2）求 【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根据并集概念进行计算；（2）先求出，进而利用交集概念进行计算.【小问1详解】或或；【小问2详解】，18.若不等式的解集是．（1）求实数a，b的值．（2）求不等式的解集．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系求解；(2)将分式不等式转换为一元二次不等式求解.【小问1详解】因为不等式的解集是，所以方程的两个根为，且， 所以由韦达定理可得解得.【小问2详解】由(1)可得不等式为不等式，则有也即，解得，所以不等式的解集为.19.定义在上的函数满足，.（1）求的值（2）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；（3）若函数在上单调递增，求不等式的解集.【答案】（1）（2）函数为奇函数，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）令，根据已知列方程即可得出答案；（2）令，根据已知列方程结合小问一即可得出，即可证明；（3）令，得出，即，根据已知结合奇函数的性质得出，得出，根据已知结合奇函数的性质得出函数在上单调递增，即可根据单调性解不等式得出解集.【小问1详解】令，得，解得；【小问2详解】 因为函数的定义域为，令，则，，，函数为奇函数；小问3详解】，令，得，，，，，，函数在上单调递增，且函数为奇函数，函数在上单调递增，，解得，故不等式的解集为.20.某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．（1）设一次订购件，服装的实际出厂单价为元，写出函数的表达式；（2）当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？【答案】（1）（2）当一次订购550件服装时，该厂获得的利润最大，最大利润为6050元 【解析】【详解】本题考查分段函数，考查函数的最值，解题的关键是正确写出分段函数的解析式，属于中档题．（1）根据题意，函数为分段函数，当0＜x≤100时，p=60；当100＜x≤600时，p=60-（x-100）×0.02=62-0.02x．（2）设利润为y元，则当0＜x≤100时，y=60x-40x=20x；当100＜x≤600时，y=（62-0.02x）x-40x=22x-0.02x2，分别求出各段上的最大值，比较即可得到结论．解：(1)当0<x≤100时，p＝60；当100<x≤600时，p＝60－(x－100)×0.02＝62－0.02x.∴p＝(2)设利润为y元，则当0<x≤100时，y＝60x－40x＝20x；当100<x≤600时，y＝(62－0.02x)x－40x＝22x－0.02x2.∴y＝当0<x≤100时，y＝20x是单调增函数，当x＝100时，y最大，此时y＝20×100＝2000；当100<x≤600时，y＝22x－0.02x2＝－0.02(x－550)2＋6050，∴当x＝550时，y最大，此时y＝6050.显然6050>2000.所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6050元．21.已知函数是定义在区间上的奇函数，且．（1）求函数的解析式.（2）用定义法判断函数在区间上的单调性并证明；（3）解不等式．【答案】（1）（2）单调递增，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性求出参数a、b，检验即可；（2）利用定义法证明函数的单调性，即可求解； （3）利用函数的奇偶性和单调性解不等式，即可求解.【小问1详解】∵为定义在区间上的奇函数，∴，∴．又，∴．检验：当，时，，，∴为奇函数，符合题意，∴．【小问2详解】对任意的，．∵，∴，，∴．又，，故，∴，即，∴函数在区间上单调递增．【小问3详解】∵为定义在区间上的函数，∴，解得．∵，且为定义在区间上的奇函数，∴．又在区间上单调递增，∴，解得或．综上，实数m的取值范围是． 22.定义：若函数在其定义域内存在实数，使，则称是的一个不动点.已知函数.（1）当，时，求函数的不动点；（2）若对任意的实数，函数恒有两个不动点，求的取值范围；（3）在（2）的条件下，若图象上两个点、的横坐标是函数的不动点，且、的中点在函数的图象上，求的最小值.【答案】（1）或（2）（3）【解析】【分析】（1）根据题意解方程即可，（2）由题意可得方程有两个不相等的实根，得，再由可求得结果，（3）设，，，则，，再由题意可得，结合根与系数的关系得，表示出结合二次函数的性质可求得结果.【小问1详解】，由，解得或，所以所求的不动点为或.【小问2详解】令，则①，由题意，方程①恒有两个不等实根，所以，即恒成立，则，故.【小问3详解】 设，，，又是的不动点，∴，，∴、的中点为.又的中点在上∴，∴，而是方程的两个根，∴即∴，∴当，即时，.【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合问题，考查函数的新定义，解题的关键是对函数新定义的正确理解，考查计算能力，属于较难题.