湖北省高中名校联盟2023-2024学年高三上学期第二次联合测评数学试题（Word版附答案）

湖北省高中名校联盟2024届高三第二次联合测评数学试卷命题单位：襄阳五中数学学科组审题单位：圆创教育研究中心宜昌市夷陵中学本试卷共4页，22题．满分150分．考试用时120分钟．考试时间：2023年11月14日下午15：00-17：00★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分．每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．已知复数，则的共轭复数为（）A．B．C．D．3．已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量是（）A．B．C．D．4．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，31，37，m，42，49；乙组：24，n，33，44，48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则（）A．60B．65C．70D．715．已知为等差数列，，则（）A．12B．24C．26D．366．关于的不等式在恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D． 7．已知，且，则的最大值为（）A．B．C．D．8．如图，已知，是双曲线C：的左、右焦点，以为圆心的圆与双曲线左右两支交于P、Q两点，且则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．二、多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分，在每小题列出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．关于二项式的展开式，下列结论正确的是（）A．展开式所有项的系数和为-1B．展开式二项式系数和为256C．展开式中第5项为D．展开式中不含常数项10．如图为襄阳凤雏大桥，连接襄阳襄城、樊城，既缓解交通压力又是汉江上美丽的风景线，她的悬链类似双曲函数的图像．常见的有双曲正弦函数，双曲余弦函数．下列结论正确的是（）A．B．双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数 C．若点P在曲线上，为曲线在点P处切线的倾斜角，则D．11．设，过定点A的动直线：与过定点B的动直线：交于点P，则下列说法正确的有（）A．B．面积的最大值为C．D．的最大值为12．如图，正方体的棱长为4，点E、F、G分別在棱、、上，满足，，记平面与平面的交线为，则（）A．存在使得平面截正方体所得截面图形为四边形B．当时，三棱锥体积为C．当时，三棱锥的外接球表面积为D．当时，与平面所成的角的正弦值为三、填空题：本大题共4题，每小题5分，共计20分13．抛物线的焦点坐标为______．14．在圆锥中，为底面圆心，为圆锥的母线，且，若棱锥为正三棱锥，则该圆锥的体积为______．15．已知，函数在上单调递娍，则实数的取值范围是______．16．对于任意的实数，函数满足关系式，则______． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答需写出必要的解题过程或文字说明，17题10分，其余每题各12分17．（10分）已知数列首项，且满足．（1）求证：数列为等比数列，并求的通项；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．18．（12分）在中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，角A的平分线交BC于D，，．（1）若，求a的值；（2）求面积的最小值．19．（12分）如图，平面ABCD，，，，，．（1）求点C到平面的距离；（2）当平面EBD与平面BDF垂直时，求线段CF的长．20．（12分）移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连接数达亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．现有2018~2022年移动物联网连接数与年份代码的散点图，其中年份2018~2022对应的分别为1~5．（1）根据参考数据计算样本相关系数（精确到）；（2）令变量，，利用（1）中结论求关于的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数．附注：（i）回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为， ，样本相关系数；（ii）参考数据：，，，21．（12分）已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）过P作两条相互垂直的直线PA，PB分别交椭圆C于另一点A，B，求证直线AB过定点，并求点P到直线AB的距离最大值．22．（12分）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）设在处的切线方程为，若，要么恒成立，要么恒成立，求实数a的取值范围．湖北省高中名校联盟2024届高三第二次联合测评数学试卷参考答案与评分细则1．A【解析】，，，选A．2．C【解析】，．选C．3．B【解析】．选B．4．D【解析】由，第30百分位数是第2个数据故由，第50百分位数是第3与4个数据平均值，∴．∴选D．5．A【解析】故．选A．6．B【解析】若为真，恒成立，则，由于，递增，，时 ，，递减，时，，，递增，，，，∴，选B7．B【解析】，；令，则．选B．8．D【解析】延长与双曲线交于点，因为，根据对称性可知，设，则，可得，即，所以，则，，即，可知，在中，由勾股定理得，即，解得．故选：D．9．BCD【解析】A中：取．有，A错；B中：，B对；C中：由则时，C对D中：由已知可知恒成立，D对10．ABC【解析】A中：左边=，A对B中：关于对称且有，恒成立，B对C中：，C对D中：左边，右边 ，左边≠右边，D错11．BCD【解析】A中：由，知：．B中：，B对C中：由，知：知：，C对对于D，在中，，设，所以，故D正确．故选：BCD．12．BD【解析】设正方体的棱长为4，以为原点，以、、所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：对于A选项，时，在点，，由可知，所以截面即为四边形；由图形知，截面为五边形或六边形．故A错误． 对于B选项，当时，，所以，所以平面，，又平面，所以，三棱锥体积为，故B正确．对于C选项，当时，且平面，所以根据球的性质容易判断，三棱锥的外接球的球心在过线段的中点，且垂直于平面的直线上，，，所以的中点，可记球心，，外接球的半径，解得，，所以三棱锥的外接球表表面积为，故C错误．对于D选项，当时，，，，，，所以，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，，所以可取，由平面知，平面的法向量为，记平面与平面的交线的一个方向向量为，则，令，则，，所以可取，又平面的法向量为，则，，， 设与平面所成的角为，则，故D正确．故选：BD．13．【解析】由可知：．即焦点坐标为14．【解析】因为棱锥为正三棱锥，所以，，因为，，由勾股定理得，即圆锥的底面圆半径，则．15．【解析】，因为，函数在上单调递减，当时，，所以，解得．故答案为：16．0【解析】取，则有，则恒成立．17．解：（1）取倒数，变形，而∴数列是以首项，公比为的等比数列， ∴，∴（2）若，则，∴而是时的递减数列，∴，故．18．解：（1）∵平分线为，由，得，若，则，则．在中，由余弦定理，所以．（2）因为，则，所以，当且仅当时等号成立．因此19．解：（1）∵平面，平面∴，又，∴平面，又∴点到平面距离为；（也可利用等体积法求距离）（2）依题意，建立以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得，，，，．设，则．依题意，，设为平面的法向量，则，即，令，可得，设为平面的法向量，则，即．令，可得．由得，所以，线段的长为．20．解：（1）根据给定数据．因为， 所以，所以（2）由（1）知，所以关于的经验回归方程，又，所以当时，则，，所以预测2024年移动物联网连接数亿户．21．解：（1）∵，，则，已知过，∴∴椭圆C：（2）当斜率k不存在时：，由知：有：代入知．可得或但时与重合舍去，∴此时当斜率k存在时，设直线方程：，联立方程得：设，，则，，由直线，相互垂直得：，带入化简得即：； 当时，直线过点（舍）；当时，直线过定点，综上所述，直线过定点，在中，到距离的最大值为，而所以，点到直线的距离最大值为．22．解：（1）函数的导函数当时，，由得，∴在单调递增，在单调递减；当时，有，且，，由，即得∴在单调递增，在单调递减；当时：若时，有，且，，由，即得∴在单调递增，在，单调递减；若时，有，恒成立，恒成立，∴在单调递减；综上：当时，在单调递增，在单调递减；当时，在单调递增，在单调递减； 当时，在单调递增，在，单调递减；若，在单调递减．（2），．①时．恒成立在处的切线：，即∵恒成立．则在上为增函数记在时，在时，因此不符合题意．②在时，可知在时，取有，且在时时，，且递减．在时即时，，且递增，过处切线：切线令 则，在时，为减函数，∴，∴，即在时，为增函数，，∴，即∴存在，解得，恒成立．∴可取．综合①②讨论可知：．