江西省部分学校2023-2024学年高二上学期11月期中调研数学试卷（Word版附解析）

绝密★启用前江西省2023—2024学年高二年级上学期期中调研测试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°2.双曲线的焦点坐标为（）A.，B.，C.，D.，3.已知空间向量，，，则（）A.1B.2C.3D.44.设抛物线：（）的焦点为，若点在上，则（）A.B.C.D.5.如图，已知正四棱锥的底面的中心为，，，，则（）A.B.C.D. 6.设椭圆：（）的左、右焦点为，.若点在上，则的周长为（）A.4B.6C.8D.107.倍立方问题是古希腊三大几何问题之一.倍立方问题是指给定一个棱长为的正方体，作另一个正方体，使得这个正方体体积是原来正方体体积的两倍（即给出长度为的线段）.古希腊数学家梅内克缪斯采用了抛物线的工具研究倍立方问题：在平面直角坐标系上，画出抛物线（）和抛物线（），使得这两个抛物线的其中一个交点横坐标为，则的值应取为（）A.B.C.D.8.已知点与点关于直线对称，与点关于轴对称，若过，，三点的圆与轴和直线交于四点，则该四点所围成的四边形的面积为（）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知曲线：.下列说法正确的是（）A.当时，是一条直线B.当时，是椭圆C.当时，是半径为的圆D.当时，是双曲线10.已知正方体，下列选项中，能成为空间中的一组基底的为（）A.B.C.D.11.设，双曲线的离心率为，椭圆的离心率为，则（）A.B.C.D.12.已知曲线：是长轴与短轴分别在直线与上的椭圆.整点指的是横、纵坐标均为整数的点.则（）A.的短轴长为 B.的焦距为C.若点在上，则且D.经过6个整点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，，空间向量，.若，则______.14.两条平行线与之间的距离为______.15.已知直线：，圆：，圆：.写出满足“直线与圆，的公共点个数之和为3”的的一个值______.（写出一个即可）16.已知双曲线：（，）的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与的渐近线交于，，三点.记四边形的面积为，圆的面积为，则当取最大值时，的离心率为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知圆：，圆：（）.（1）若圆与圆相外切，求的值；（2）若圆与圆有两个公共点，求的取值范围.18.（12分）已知为坐标原点，直线：，直线：，，交于点.（1）求点的坐标；（2）若点在上，且，求线段的长度.19.（12分）如图，在直三棱柱中，线段，，的中点分别为，，.已知，，. （1）证明：；（2）求.20.（12分）设椭圆：（）的上顶点为，左焦点为.且，在直线上.（1）求的标准方程；（2）若直线与交于，两点，且点为中点，求直线的方程.21.（12分）轮船在海面上航行时，一般是通过发送电磁波信号实现定位.发送电磁波信号后，根据两个基站接收信号的时间差，便可以定位轮船在海面上大概的位置.建立平面直角坐标系（单位：千米），轴正半轴方向为正北方向，纵坐标小于0的部分为陆地，纵坐标大于0的部分为海面.已知两个基站的位置分别为，，一港口位于基站，之间靠近的位置.现有一艘轮船从港口出发沿着直线航行一段时间后到达点，并发出电磁波信号，两个基站接收到信号的时间差为秒（不知道两个基站接收信号的先后顺序）.已知电磁波在空气中的传播速度为千米/秒.（1）求点的轨迹方程；（2）已知在港口发出电磁波信号后，两个基站接收到信号的时间差为秒.若这艘轮船的航行方向是东偏北45°，求这艘轮船从港口出发到海面上发送信号的这段时间航行的距离（结果保留整数，单位：千米）.参考数据：.22.（12分）设抛物线：（），圆：.已知上的点到的准线的距离的最大值为8.（1）求；（2）倾斜角为45°的直线与交于，两点，与交于，两点. （ⅰ）若为圆的直径，求的面积；（ⅱ）当取最大值时，求直线在轴上的截距. 江西省2023-2024学年高二年级上学期期中调研测试数学参考答案及评分细则1.【答案】C【解析】直线的斜率为，设倾斜角为，则，解得，故选C.2.【答案】A【解析】因为，，所以，得，所以焦点坐标为和，故选A.3.【答案】B【解析】，所以，故选B.4.【答案】C【解析】解法一：因为点在上，所以，，得抛物线的准线方程为.由抛物线的定义，等于到准线的距离，即，故选C.解法二：同解法一得.由，，所以，所以，故选C.5.【答案】C【解析】，由于底面是正方形，所以，因此，故选C.6.【答案】B【解析】由于点在上，所以，得，，所以椭圆：，则，.由椭圆的定义，，而，所以的周长为，故选B.7.【答案】B【解析】由得.因为是这个方程的一个解，所以，解得，故选B. 8.【答案】D【解析】解法一：因为直线上的点到，的距离相等，直线上的点到，的距离相等，所以过，，三点的圆的圆心同时位于直线与直线上.由得，，所以圆心坐标为，圆的半径为，故圆的方程为，易得该四边形为知，.设过，，三点的圆的方程为，则解得因此这个圆的方程为，即，易得该四边形为矩形，联立，故该四边形的面积为，故选D.9.【答案】BCD【解析】当时，曲线：，此时是两条直线与，A错误；当时，和大于0且不相等，所以曲线是椭圆，B正确；当时，曲线：，是半径为的圆，C正确；当时，，，所以曲线是双曲线，正确，故选BCD.10.【答案】AC【解析】空间中的一组基底由3个不共面的向量构成.对于A选项，两两正交，所以可以成为空间中一组基底，A正确；对于B选项，因为，所以，所以，，共面，故不能成为空间中的一组基底，B错误；对于C选项，，在平面上，而与平面不平行，所以，，不共面，可以成为空间中的一组基底，C正确；对于D选项，因为，所以，故不能成为空间中的一组基底，D错误，故选AC.11.【答案】AD 【解析】由题意，，.解法一：因为，所以，选项A正确；当时，满足，但此时，选项B错误；，选项C错误；由基本不等式，，得，当且仅当时等号成立，而此时，与题意不符，因此，故D选项正确，故选AD.解法二：对于D选项，，故D选项正确.其余选项的判断同解法一，故选AD.12.【答案】ACD【解析】首先把这个椭圆“复原”为标准的椭圆方程.因为曲线的长轴在上，由得，所以长轴的两个端点为，.同理，短轴的两个端点为和.所以长轴长为，短轴长为，在标准的椭圆方程（）中，，，故，焦距为4，从面A正确，B错误；若在曲线上，则，得，所以，得.同理，，故C正确；椭圆经过，，，，，这6个整点，故D正确，故选ACD.13.【答案】1【解析】因为，所以，即，，得.14.【答案】【解析】两条平行线的方程分别为与，故它们间的距离为.15.【答案】（或） 【解析】直线与圆，的公共点个数之和为3，可分成下面两种情况，①与有2个公共点，与有1个公共点.此时点到直线的距离为，且点到直线的距离小于1，即且，解得或（舍去，不满足不等式）；②与有2个公共点，与有1个公共点.此时点到直线的距离为1，且点到直线的距离小于，即且，解得或（舍去，不满足不等式）.综上，满足题意的的值为或.16.【答案】【解析】由题意，.由于是圆的直径，所以，从而并且，得，.所以四边形的面积.由于，所以圆的面积，所以.由二次函数性质，当时，取最大值，此时离心率为.17.解：（1）圆：.若圆与圆相外切，则点与之间的距离等于，即，所以.（2）若圆与圆有两个公共点，则点与之间的距离属于区间， 即，解得.所以的取值范围为.【评分细则】1.第（1）题中只要说明出两点间的距离为即可得3分.2.第（2）题中最终结果也可以用不等式或者集合的形式来表示.18.解：（1）由得所以点的坐标为.（2）由于，在直线：上，所以直线的斜率为2.由于点在：上，故可设点.由，得直线的斜率为，即，解得.因此.线段的长度为.【评分细则】第（2）题通过其他方法得到点的坐标也给分.19.（1）证明：由题意易知，，两两相互垂直，以为坐标原点，，，分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，.因为，，所以，因此.（2）解：因为，， 所以，.所以.所以.【评分细则】1.第（1）题用几何法证明也给分.2.第（2）题中用其他方法求出最终答案也可给满分.20.解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点，所以，，，因此的标准方程为.（2）当直线的斜率不存在时，：，联立，解得或故，，不满足，即不是的中点，不符合题意.当直线的斜率存在时，设直线：，，.联立可得，即.所以.由于为的中点，所以，即，解得.综上，直线的方程为，即.【评分细则】第（2）题中也可以通过其他方法得出斜率的值，步骤结果无误，可给满分.21.解：（1）由条件，这艘轮船到，的距离之差为千米. 由双曲线的定义，点的轨迹是双曲线的一部分.设其轨迹方程为（），其中，，所以，.由，得.综上，的轨迹方程为（）.（2）由题意，港口是双曲线的右顶点，所以.因为这艘轮船的航行方向是东偏北45°，所以其航行的轨迹是一条倾斜角为45°的直线，其方程为.由可得，解得，.因此.这艘轮船在这段时间航行的距离为436千米.【评分细则】1.第（1）题使用其他符合题意的表述均可，例如：在双曲线纵坐标大于0的部分.2.第（1）题如果在最终方程中没有表明扣1分.22.解：（1）圆是以为圆心3为半径的圆，抛物线的准线方程为.因为上的点到的准线距离的最大值为8，所以，解得.（2）（ⅰ）若为圆的直径，则过点，又因为的倾斜角为45°，斜率为1，所以的方程为.设，.由得，即，解得，. 因此，的面积为.（ⅱ）设：，由于与交于，两点，则到的距离为，由，得.①由勾股定理，.由于与交于，两点，由得.判别式，得.②由①②可知.设，，则，.所以.则.令，则，由基本不等式，.当且仅当，即时等号成立，取得最大值，此时的方程为，在轴上的截距为.【评分细则】