浙江省91高中联盟2023-2024学年高一上学期11月期中数学试题（Word版附解析）

2023学年第一学期浙江省9＋1高中联盟高一年级期中考试数学考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；4．参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析.一、选择题（本大题共8题，每小题5分，共40分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据不等式的解法，求得集合或，，得到，再结合交集的运算，即可求解.【详解】由不等式，即，解得或，所以集合或，可得，又由，所以.故选：C.2.命题“，都有”的否定是（）A.，使得B.，使得C.，都有D.，都有【答案】A【解析】【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即可求出．【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题， 命题“，都有”的否定是“，使得”，故选：A.3.下列不等式中成立的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质对选项逐一判断即可.【详解】对于A，当，，时，，而，A错误；对于B，当，，时，，而，B错误；对于C，当时，，C错误；对于D，当时，，∴，即，D正确．答案：D4.已知某程序研发员开发的小程序在发布时有500名初始用户，经过t天后，用户人数，其中a和k均为常数．已知小程序发布5天后有2000名用户，则发布10天后有用户（）名A.10000B.8000C.4000D.3500【答案】B【解析】【分析】由已知列出方程组，求解得出参数值，代入，即可得出答案.【详解】由题意得：，解得，所以，．故选：B．5.幂函数（）的大致图像是（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由幂函数的定义域和单调性判断图像形状.【详解】∵时，为偶数且大于0，∴的定义域为，且在定义域上单调递增．只有B选项符合条件.答案：B．6.若奇函数和偶函数满足，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，用代替，得到，联立方程组，求得的解析式，进而求得的值.【详解】由，用代替，可得，因为是奇函数，是偶函数，所以，联立，解得，，所以，，则． 故选：D．7.已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据分段函数的单调性列出不等式，进而求解a的取值范围.【详解】，对称轴为直线.因为在R上单调递增，所以，解得，所以a的取值范围是．故选：C．8.已知实数a，b满足，且，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】化简已知等式，根据指数函数的单调性、不等式的性质求得正确答案.【详解】由题意得：，记，，则．又，∴，∴，∴．故选：A二、选择题（本大题共4题，每小题5分，共20分．在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分） 9.下列四组函数表示同一个函数的是（）A.与B.与C.与D.与【答案】BC【解析】【分析】先求得函数定义域，根据同一函数的概念，逐一分析选项，即可得答案.【详解】对于A，定义域为R，定义域为，A错误；对于B，定义域为，定义域为，B正确；对于C，定义域为R，定义域为R，C正确；对于D，，，D错误．答案：BC．10.若实数，，满足，则下列不等关系可能成立的是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】将条件转化为，在同一平面直角坐标系中作出函数，，的函数图象，判断他们与有交点时横坐标的大小情况.【详解】实数，，满足，∴，，如图在同一平面直角坐标系中作出函数，，的函数图象，再作直线， 变换的值发现，，，的大小关系可能为，，，，，，，故、、正确，错误．故选：．11.已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（）A.的最小值为24B.的最大值为C.的最小值为12D.的最小值为【答案】AD【解析】【分析】用基本不等式，换法，换元法比较大小即可.【详解】已知，，，对于A，，当且仅当，即，时，等号成立，∴的最小值为24，A正确；对于B，，∴，当且仅当，即，时，等号成立，与，矛盾，B错误；对于C，，当且仅当，即，时，等号成立，与，矛盾，C错误； 对于D，，当且仅当，时，等号成立，D正确．故选：AD．12.已知定义在上函数满足：①是偶函数；②当时，；当，时，，则（）A.B.在上单调递增C.不等式的解集为D.【答案】AB【解析】【分析】方法一：对于A，由条件③令，，结合条件②可得；对于B，结合条件与单调性定义求解；对于C，不等式等价于，结合的单调性及奇偶性求解；对于D，令判断即可．方法二：构造函数判断即可．【详解】方法一：对于A，由条件③当，时，，令，，得：，又由条件②得，∴，A正确；对于B，取，，且，则，∵，∴，，∴，∴，即，∴在上单调递增，B正确；对于C，∵，， ∴不等式等价于，又在上单调递增，且由条件①得是偶函数，∴，∴解集为，C错误；对于D，令，则，，此时不成立，D错误．方法二：构造函数，符合条件①②．，故A正确；时，，在上单调递增，故B正确；，则即为，则，解集为，故C错误；令，则，，此时不成立，D错误．故选：AB．三、填空题（本大题共4题，每小题5分，14题第一空2分，第二空3分，共20分）13.已知函数的定义域是，则的定义域是________【答案】【解析】【分析】根据函数的定义域的范围，将代入这个范围，所求得的范围即是定义域.【详解】由于函数的定义域为，故，解得，即函数的定义域为.【点睛】本小题主要考查抽象函数的定义域的求法，属于基础题.解题过程中主要把握一点，即函数符号，括号里面数或式的范围是定的，由这个定值来求得对应的范围即是求得定义域.比如，已知的定义域是，那么首先求得括号内式子的范围，这个也即是的定义域.若已知 的定义域是，求的定义域时，括号内式子的范围，由此解得的范围即是定义域.14.若函数（）过定点，则______，______.【答案】①.2②.1【解析】【分析】根据指数函数的性质得到方程组，求出，．【详解】由题意得：，解得：，∴，．故答案为：2；1．15.已知函数，．若方程有4个不相同的实数根，则实数a的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】为二次函数，当，方程两解，问题等价于方程在区间上有两个不同实根，结合二次函数的图像与性质列不等式求解.【详解】考虑方程，由的图象得：当时，方程无解；当或时，方程一解；当，方程两解．故方程有4个不相同的实数根，等价于方程在区间上有两个不同实根， 则，解得：，所以实数a的取值范围为．故答案为：．16.已知定义在上的单调函数满足．若对，（），使得成立，则的最小值为______.【答案】4【解析】【分析】由题意得，为常数，则，从而，可求得及的解析式，由条件可知，利用的单调性求解即可.【详解】∵，且在上单调，∴，为常数，∴，∴，∴，∴在上单调递增．∵对，（），使得成立，∴，又当时，，当时，，则，∴，∴，又，∴．故答案为：4．四、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.计算：（1）； （2）已知，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由指数幂的运算规则化简；（2）利用完全平方公式和立方差公式求值.【小问1详解】【小问2详解】由，则有，，，∴．18.已知集合，.（1）若，求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据分式不等式解法化简集合A，代入得集合B，根据交集运算求解即可；（2）根据必要不充分条件得真子集关系，分类讨论，列不等式组求解即可.【小问1详解】， 时，，所以；【小问2详解】因为“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集，①当时，，解得，成立；②当，即时，，解得.综上，实数m的取值范围为.19.第19届亚洲运动会预计将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，其吉祥物是一组融合了历史人文、自然生态和创新基因的机器人，组合名为“江南忆”.现有某工厂代为加工亚运会吉祥物的玩偶，已知代加工玩偶需投入固定成本4万元，每代加工一组玩偶，需另投入5元．现根据市场行情，该工厂代加工x万组玩偶，可获得万元的代加工费，且．（1）求该工厂代加工亚运会吉祥物玩偶的利润y（单位：万元）关于代加工量x（单位：万件）的函数解析式；（2）当代加工量为多少万件时，该工厂代加工亚运会吉祥物玩偶的利润最大？并求出年利润的最大值，【答案】（1）（2）代加工量为20万件时，利润最大为76万元【解析】【分析】（1）直接由题意得出函数解析式；（2）用二次函数和基本不等式分别求出不同定义域内函数的最值即可.【小问1详解】当时，，当时，， ∴【小问2详解】当时，，∴时，；当时，，当且仅当，即时，等号成立，∴时，．综上，当代加工量为20万件时，该工厂代加工亚运会吉祥物玩偶的利润最大，为76万元．20.已知函数．（1）若对，都有成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）化简不等式，根据的符号进行分类讨论，由此求得的取值范围.（2）化简不等式，对进行分类讨论，由此求得不等式的解集.【小问1详解】对，都有成立，即成立，①，无解；②，解得：或．综上，． 【小问2详解】，即，①当时，，∴；②当时，，∴；③当时，，∴；④当或时，，∴或．综上，当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为；当或时，原不等式解集为．21.已知函数（）．（1）讨论函数在区间上的单调性，并用定义法证明；（2）若对，都有成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）在区间上单调递增，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，判号，下结论；（2）先得到，不等式变形为，求出函数的奇偶性，结合（1）中函数的单调性，得到，参变分离，结合函数的最值得到实数m的取值范围.【小问1详解】在区间上单调递增； 证明：取，，且，则，∵，∴，，，∴，即，∴在区间上单调递增．【小问2详解】∵，∴对，都有成立，即成立．又对，，∴偶函数．由（1）得：在区间上单调递增，∴对，都有成立，即，∴，又在上的最小值为3，∴；，又在上的最大值为0，∴．综上，，即．22.已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．（1）求函数的解析式；（2）若关于x的方程有3个不同的实数根，记为，，（），且恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1），则，代入结合奇函数的性质，即可得出时的解析式；（2）先说明不是方程的根.换元令，设，转化为研究有3个不同的实数根，，（），且，，．作出的图象，结合图象得出的范围，然后分以及，将转化为关于的式子，结合的范围即可求出，即可得出答案.【小问1详解】，则，所以.又函数是定义在R上的奇函数，所以，，.又，所以，.小问2详解】关于x的方程有3个不同的实数根，记为，，（）.若是方程一个根，则有. 当时，由，可得是方程的一个根；当时，由，可得是方程的一个根.所以方程的根为，0，1，不存在，不成立，所以不是方程的根.令，设，由已知可转化为关于t的方程有3个不同的实数根，，（），且，，．在同一平面直角坐标系作出和的图象，由图象可知：或.①当时，，且是的两个不同负实根，由韦达定理可知，，.且满足，解得，所以，；②当时，，且是的两个不同正实根， 由韦达定理可知，，.且满足，解得.所以，.综上所述，.因为恒成立，所以，，即．