江西省宜春市上高二中2024届高三数学上学期第一次月考试题（Word版附答案）

2024届高三年级第一次月考数学试卷一、单选题（每小题5分，共40分）1．已知集合，，则（    ）A．B．C．D．2．命题“”的否定是（    ）A．B．C．D．3．已知命题p：“”，命题q：“直线与直线垂直”，则命题p是命题q的（    ）A．充分不必要条B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要4．已知函数的定义域是R，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．5．在上定义运算：，若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的最小值为（    ）A．B．C．D．6．在中，若，则为（    ）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形7．已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，若以为直径的圆与椭圆E在第一象限交于点P，且是等边三角形，则椭圆E的离心率为（    ）A．B．C．D．8．已知函数，，对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（    ）A．B．C．D．二、多选题（每小题5分，共20分）9．（多选）已知a，b，，且，则下列不等关系成立的是（    ）A．B．C．D．10．不等式的解集可能为（    ）A．RB．C．D．11．下面命题正确的是（    ）A．不等式的解集为B．不等式的解集为C．不等式在时恒成立，则实数m的取值范围为D．函数在区间内仅有一个零点，则实数m的取值范围为12．如图，在正方体中，点为线段上一动点，则下列说法正确的是（    ）    A．直线平面B．存在点，使得直线与所成角为30°C．三棱锥的体积为定值D．平面与底面的交线平行于直线三、填空题（每小题5分，共20分）13．不等式的解集为．14．已知不等式的解集为，若函数（且），则．15．已知随机变量，，且，，则．16．双曲线：其左、右焦点分别为、，倾斜角为的直线 与双曲线在第一象限交于点，设双曲线右顶点为，若，则双曲线的离心率的取值范围为．四、解答题（共70分）17．在锐角中，角，，的对边分别为，，，且．(1)求角A的大小；(2)若，，求的面积．18．正项等比数列的前项和为，，且，，成等差数列，.(1)求的通项公式；(2)若，求的前项和.19．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点是的中点.  (1)证明：；(2)设的中点为，点在棱上（异于点，，且，求直线与平面所成角的正弦值.20．人工智能（AI）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某校成立了两个研究性小组，分别设计和开发不同的AI软件用于识别音乐的类别.记两个研究性小组的软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为.为测试软件的识别能力，计划采取两种测试方案.方案一：将100首音乐随机分配给两个小组识别，每首音乐只被一个软件识别一次，并记录结果；方案二：对同一首歌，两组分别识别两次，如果识别的正确次数之和不少于三次，则称该次测试通过.(1)若方案一的测试结果如下：正确识别的音乐数之和占总数的；在正确识别的音乐数中，组占；在错误识别的音乐数中，组占.（i）请根据以上数据填写下面的列联表，并通过独立性检验分析，是否有的把握认为识别音乐是否正确与两种软件类型有关？正确识别错误识别合计A组软件B组软件合计100（ii）利用（i）中的数据，视频率为概率，求方案二在一次测试中获得通过的概率；(2)研究性小组为了验证软件的有效性，需多次执行方案二，假设，问该测试至少要进行多少次，才能使通过次数的期望值为16？并求此时的值.附：，其中.0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82821．对于椭圆：，我们称双曲线：为其伴随双曲线．已知椭圆（），它的离心率是其伴随双曲线离心率的倍．  (1)求椭圆伴随双曲线的方程；(2)如图，点，分别为的下顶点和上焦点，过的直线与上支交于，两点，设的面积为，（其中为坐标原点）．若的面积为，求． 22．已知函数.(1)若曲线在点处的切线方程为，求m，n；(2)若在上恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围.2024届高三年级第一次月考数学试卷答案BBACACDA9．CD10．ACD11．ACD12．ACD13．14．615．0.2/16．17．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可求出，从而得解；（2）利用余弦定理求出，再利用面积公式计算可得.【详解】（1）因为，由正弦定理得，因为，所以，所以，即，因为，所以；（2）因为，，，由余弦定理，即，解得或，当时，则为钝角，不符合题意，当时，所以为锐角，符合题意，所以面积为.18．(1)(2)【分析】（1）设等比数列的公比为，然后根据已知条件列方程组可求出，从而可求出数列的通项公式，（2）由（1）得，再利用错位相减法可求得结果.【详解】（1）设等比数列的公比为，因为，，成等差数列，所以，因为，所以，相减得，所以，代入，得，解得或，因为，所以所以.（2）由已知得，，，所以，两个等式相减得，所以.19．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，由面面垂直的性质可得平面，则，所以由线面垂直的判定可得平面，从而可得结论；（2）以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.【详解】（1）证明：因为，点是的中点，所以.因为平面平面，所以平面平面，因为四边形为矩形，所以，因为平面平面，平面，所以平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以.（2）解：由题意可得两两垂直，设，如图，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则， 因为点是的中点，所以， 所以，设平面的法向量为，则，令可得，所以平面的一个法向量.，设，即，所以.又，所以，化简得，解得或（舍去）.所以，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.20．(1)（i）表格见解析，没有；（ii）(2)测试至少27次，.【分析】（1）根据条件填写列联表并做卡方计算，根据列联表求出，对“一次测试通过”作分类讨论求出其概率；（2）根据对“一次测试通过”的分类讨论，求出其概率的最大值，再按照二项分布求解.【详解】（1）（i）依题意得列联表如下：正确识别错误识别合计组软件402060组软件202040合计6040100因为，且，所以没有的把握认为软件类型和是否正确识别有关；（ii）由（i）得，故方案二在一次测试中通过的概率为；（2）方案二每次测试通过的概率为，所以当时，取到到最大值，又，此时，因为每次测试都是独立事件，故次实验测试通过的次数，期望值，因为，所以所以测试至少27次，此时.21．(1)(2)【分析】（1）设椭圆与其伴随双曲线的离心率分别为，，依题意可得，，根据离心率公式得到方程，求出，即可得解；（2）设直线的斜率为，，，直线的方程，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，求出，由求出，再由可得，根据数量积的坐标表示，代入韦达定理，即可得解.【详解】（1）设椭圆与其伴随双曲线的离心率分别为，， 依题意可得，，即，即，解得，所以椭圆，则椭圆伴随双曲线的方程为.（2）由（1）可知，，设直线的斜率为，，，则直线的方程，与双曲线联立并消去得，则，所以，，则，又，又，所以，解得或（舍去），又，所以，因为，所以.22．(1)(2)【分析】（1）求出，，与切线方程为比较可得答案；（2）求出，分、、、讨论，利用导数判断单调性结合零点个数可得答案.【详解】（1）因为，所以，因为，所以，由，得．（2）因为，，所以，（1）若，则，在上为增函数，所以在上只有一个零点，不合题意；（2）当，设，，当时，，即在上单调递增，，①若，因为，所以，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，，所以在上有且只有一个零点，不合题意；②若，则，易知，，，且在上单调递减，在上单调递增，所以，又，所以根据零点存在性定理，在上有且只有一个零点，又在上有且只有一个零点0，所以，当时，在上有两个零点；③当时，，，，，且在上单调递减，在上单调递增，因为在上有且只有一个零点0，所以，若在上有两个零点，则在上有且只有一个零点，又，所以，即，所以，即当时，在上恰有两个零点，综上所述，m的取值范围为.【点睛】方法点睛：本题考查利用导数解决函数零点个数的求参数的问题，解决零点问题的关键一方面是利用零点存在性定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用导数研究函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可，考查了分析问题、解决问题的能力．