江西省宜春市上高二中2024届高三数学上学期第三次月考试题(Word版附答案)
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2024届高三年级第三次月考数学试卷10.29一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合,,若中恰有两个元素,则实数的取值范围为()A.B.C.D.2.已知平面向量,,满足,,且.若,则()A.B.C.D.3.已知不重合的平面,及不重合的直线m,n,则().A.若,,则B.若,,,则C.若,,,则D.若,,,则4.把1,2,3,4,5这5个数排成一列,则满足先增后减(例如:1,3,5,4,2)的数列的个数是().A.6B.10C.14D.205.若,,则等于()A.B.C.D.6.有一个棱柱形状的石料,底面是边长为的等边三角形,该石料侧棱垂直于底面,若可以将该石料打磨成四个半径为的石球,则至少需要打磨掉的石料废料的体积为()A.B.C.D.7.现有甲、乙两组数据,每组数据均由六个数组成,其中甲组数据的平均数为,方差为,乙组数据的平均数为,方差为.若将这两组数据混合成一组,则新的一组数据的方差为()A.B.C.D.8.已知椭圆M:的上顶点为A,过点A且不与y轴重合的直线l与M的另一个交点为(其中),过B作l的垂线,交y轴于点C.若,则l的斜率()A.B.C.D.二、多项选择题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,在每个给出的四个选项中,有多项是满足要求的,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.已知正四棱锥的所有棱长相等,,分别是棱,的中点,则()A.B.面C.D.面10.已知函数为奇函数,则参数的可能值为()A.B.C.D.11.已知等比数则的公比为,前项积为,若,则()A.B.C.D.12.非常数函数及其导函数的定义域均为R,若为奇函数,为偶函数,则().A.B.C.D.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知直线过定点,则的最小值为__________.14.已知点,,动点M满足,则点M到直线的距离可以是__________.(写出一个符合题意的整数值)15.袋中有形状大小相同的球5个,其中红色3个,黄色2个,现从中随机连续摸球,每次摸1个,当有两种颜色的球被摸到时停止摸球,记随机变量为此时已摸球的次数,则
__________.16.若曲线与曲线存在公切线,则a的取值范围为__________.四、解答题(共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本题10分)已知数列的各项均不为0,其前项和满足,,且.(1)求的通项公式;(2)求数列的前项和.18.(本题12分)△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,且△ABC的周长为6.(1)证明:;(2)求△ABC面积的最大值19.(本题12分)如图,在三棱柱中,平面,点为棱的中点,.(1)求证:;(2)若,求直线与平面所成角的正弦的最大值.20.(本题12分)一对夫妻计划进行为期60天自驾游.已知两人均能驾驶车辆,且约定:①在任意一天的旅途中,全天只由其中一人驾车,另一人休息;②若前一天由丈夫驾车,则下一天继续由丈夫驾车的概率为,由妻子驾车的概率为;③妻子不能连续两天驾车.已知第一天夫妻双方驾车的概率均为.(1)在刚开始的三天中,妻子驾车天数的概率分布列和数学期望;(2)设在第n天时,由丈夫驾车的概率为,求数列的通项公式.21.(本题12分)已知双曲线:的焦距为8.过左焦点的直线与的左半支交于,两点,过,作直线:的垂线,垂足分别为,,且当垂直于轴时,.(1)的标准方程;(2)设点,判断是否存在,使得为定值?若存在,求的值;若不存在,说明理由.22.(本题12分)已知函数,.(1)讨论函数的单调性;(2)
若关于x的方程有两个不相等的实数根,,(ⅰ)求实数a的取值范围;(ⅱ)求证:.2024届高三第二次月考数学答案题123456789101112答AABCDBDCBCACACBCD13.14.1(或0)15.16.17.【解析】(1)因为,所以.两式相减,得.因为,所以.所以是以1为首项,4为公差的等差数列,是以3为首项,4为公差的等差数列.所以,.故.(2)因为,所以.因为,所以.18.(1)在△ABC中,由余弦定理可得:,即,又因为,所以,整理可得:,所以得证.(2)由(1)可知:,所以,当且仅当时取等号,所以或,因为,所以,则,所以,故△ABC面积的最大值为.19.【解析】(1)因为点为棱的中点,,所以.1分因为平面,平面,所以.又因为,平面,所以平面.3分因为平面,所以.4分(2)设.以为轴,为轴,过点与垂直的直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则.5分所以,6分设平面的法向量为,所以令,则,.所以.8分所以10分(当且仅当,即时,等号成立).所以直线与平面所成角的正弦的最大值为.12分20.解:设妻子驾车天数为,则的可能取值为:,由题意可知:,,,所以的分布列如下表所示:012所以;【小问2详解】假设第天,丈夫驾车的概率为,则妻子驾车的概率为,此时第n天时,由丈夫驾车的概率为,即,则有,
所以,因为,所以是以为首项,为公比的等比数列,即,故21,由题可知,焦距,所以,当AB垂直于x轴时,,又,联立,解得或(舍),所以则的标准方程为;【小问2详解】如图,①当直线斜率不存在时,此时,则,所以,要使得为定值,则;②当直线斜率存在时,设直线方程为,,则,由于均在左半支,所以,且,所以,消去得,则所以,同理,则,要使得为定值,则满足,解得,此时,经检验,此结果也符合斜率不存在的情况综上,存在使得为定值.22.解:(1)因为,所以,①当时,,所以函数在上单调递减;②当时,由得,所以函数在上单调递增,在上单调递减.综上:当时,函数在上单调递减;当时,函数在上单调递增,在上单调递减.(4分)(2)(ⅰ)方程可化为,即.令.因为函数在上单调递增,结合题意,关于t的方程(*)有两个不等的实根.又因为不是方程(*)的实根,所以方程(*)可化为.令,则.易得函数在和上单调递减,在上单调递增.结合函数的图象可知,实数a的取值范围是.(8分)(ⅱ)要证,只需证.因为,所以只需证.由(ⅰ)知,不妨设.因为,所以,即,
.所以只需证,即只需证.令,只需证.令,,则,所以在上单调递增,故,即在上恒成立.所以原不等式得证.(12分)
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