湖南省湘东九校2023-2024学年高三数学上学期11月联考试卷（Word版附答案）

绝密★启用前2024届11月高三联考数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名﹑准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，且，则A.6B.4C.D.2.若，则A.B.0C.D.3.设为等差数列的前n项和，设甲：，乙：是单调递减数列，则A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件4.在△ABC中，D是边AB上一点，且，点E是CD的中点.设，，则A.B.C.D.5.某校学生在研究折纸试验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了.在理想情况下，对折次数n与纸的长边长（cm）和厚度x（cm）满足：.一张长边长为26cm，厚度为0.01cm的矩形纸最多能对折的次数为A.6B.7C.8D.96.在△ABC中，，，且△ABC的面积为，则A.B.C.D. 7.设为数列的前n项积，若，，且，当取得最大值时，A.6B.8C.9D.108.已知正三棱柱的底面边长为，高为3，截去该三棱柱的三个角（如图1所示，D，E，F分别是三边的中点），得到几何体如图2所示，则所得几何体外接球的表面积是图1图2A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知实数a，b满足，则下列不等式一定正确的是A.B.C.D.10.已知函数的部分图象如图所示.则A.B.在区间内有两个极值点C.函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象D.A，B，C是直线与曲线的从左至右相邻的三个交点，若，则11.正方体中，P是体对角线上的动点，M是棱上的动点，则下列说法正确的是 A.异面直线与所成的角的最小值为B.异面直线与所成的角的最大值为C.对于任意的P，存在点M使得D.对于任意的M，存在点P使得12.已知函数，则A.曲线在处的切线方程为B.在上单调递增C.对任意的，，有D.对任意的，，，，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的展开式中的系数为（用数字作答）.14.已知同一平面内的单位向量，，，满足，则.15.若直线l：与圆C：相交于A，B两点，≥8，则直线l的斜率的取值范围为.16.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，过作渐近线的垂线，垂足为P，若，则双曲线C的离心率为，过双曲线C上任一点Q作两渐近线的平行线QM，QN，它们和两条渐近线围成的平行四边形OMQN的面积为，则双曲线C的方程为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分） 已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.18.（12分）已知在△ABC中，，.（1）求的值；（2）若，求AC边上的高.19.（12分）抽屉中装有5双规格相同的筷子，其中3双是一次性筷子，2双是非一次性筷子，每次使用筷子时，从抽屉中随机取出1双（2只都为一次性筷子或都为非一次性筷子），若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再次放入抽屉中，求：（1）在第2次取出的是非一次性筷子的条件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；（2）取了3次后，取出的一次性筷子的双数的分布列及数学期望.20.（12分）如图，在梯形ABCD中，，，，，AC与BD交于点M，将△ABD沿BD翻折至△PBD，使点A到达点P的位置.（1）证明：；（2）若平面PBC与平面PBD的夹角的余弦值为，求三棱锥P-BCD的体积.21.（12分）已知椭圆C：（）的长轴长为，且其离心率小于，P为椭圆C上一点，、分别为椭圆C的左、右焦点，的面积的最大值为.（1）求椭圆C的标准方程； （2）A为椭圆C的上顶点，过点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，直线为过点D且与AM平行的直线，设与直线的交点为Q.证明：直线QN过定点.22.（12分）已知函数.（1）讨论函数的零点个数；（2）若，是函数的两个零点（），且恒成立，求实数a的取值范围.2024届11月高三联考数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案DDACBDBA1.D【解析】，，∵，∴，∴，故选D.2.D【解析】，∴，∴.故选D.3.A【解析】若，则（），所以是单调递减数列；若是单调递减数列，则（），即（），但不一定小于0.所以甲是乙的充分不必要条件，故选A.4.C【解析】如图，，故选C. 5.B【解析】，因为，所以，故.故选B.6.D【解析】设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵，∴，，∴.∴，∴.7.B【解析】由题易知，，∵，∴，故是公比为的等比数列，∵，∴，故.∴，∴，要使取得最大值，则为偶数，且取最小值，结合二次函数知识知，当时，符合要求.故选B.8.A【解析】易知△DEF的外心即为的外心，如图，设△DEF的外心为，△ABC的外心为，则所得几何体外接球的球心O在直线上，，，设外接球的半径为R，则，联立解得：，，所以外接球的表面积为. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.题号9101112答案ACABDABDBCD9.AC【解析】A.由得，∴，故A正确；B取，，可得，，故B错误；C.∵，∴，故C正确；D.设函数，则，当时，单调递减，故时，，即，，故D错误.10.ABD【解析】A.由的部分图象可知，，可得，所以，由五点作图法可得，解得，，又，所以，所以函数的解析式为，故A正确；B.令得，，所以在区间上有和两个极值点，故B正确；C.函数的图象向右平移个单位长度可以得到的图象，故C错误； D..若，不妨设A，B，C的位置如图1所示，图1则，，同理时，如图2，，，所以，故D正确.图211.ABD【解析】以为坐标原点，建系如图，设正方体的边长为1，则，设，，则，设异面直线与所成的角为， 则，A.当时，，，故A正确；B.当时，，，故B正确；C.设，，则，，当时，无解，故C错误；D.，令，得，即对于任意的M，存在点P使得，故D正确.12.BCD【解析】A.由题意可知：，，则，则曲线在处的切线方程为.故A错误；B.令，则，令，则，则在上单调递增，则，则，则在上单调递增，故B正确；C.令，则，则在上单调递增，则，则，∴，故C正确；D.令，则，令，则， 则在上单调递增﹐则，则，则在上单调递增，则，则，故D正确.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【解析】的系数为.14.【解析】由题意可知：，则，则，∴.15.【解析】将圆C的方程整理得，圆心坐标为，半径为，要求，则圆心到直线的距离应小于等于，∴，即（），∴，，设直线l的斜率为k，则，∴，直线l的斜率的取值范围是.16.；（第一空2分，第二空3分） 【解析】因为，所以，作于H，如图1，则|，.图1又∵，∴，∴.∴.因为，所以双曲线C的渐近线方程为，如图2，图2设，因为，所以，所以. 设，点Q到两条渐近线的距离分别为，，则四边形OMQN的面积为，而，所以，解得：，∴，故双曲线C的方程为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】（1）由得：，∵，所以数列是首项为4，公差为2的等差数列，所以，所以；（2），所以，18.【解析】（1）∵，∴，， 又∵，∴，，∴，，∴；（2）∵，∴B是钝角，∴，，即.又，，所以，又因为C为锐角，，所以解得，∴，设AC边上的高为BD，则，得，故AC边上的高为.19.【解析】（1）设第1次取出的是一次性筷子为事件A，第2次取出的是非一次性筷子为事件B， 则，，所以在第2次取出的是非一次性筷子的前提下，第1次取出的是一次性筷子的概率；（2）记取出的一次性筷子的双数为X，则，1，2，3，则，，，则，则X的分布列为X0123P0.0640.3660.470.1数学期望.20.【解析】（1）∵，，∴，∴，∴，即，，∴，，又，∴平面PMC，∴；（2）直角△ABC中，，∵， ∴，∴，，，由（1）平面PMC，以M为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系M-xyz，则，，，设，其中，所以，，，设平面PBD的一个法向量为，则，取，，设平面PBC的一个法向量为，则，取，则，，解得，或，.故或. 21.【解析】（1）由题意可知：，∵，∴，，，故椭圆C的标准方程为.（2）设，，MN：.联立直线MN与椭圆C的方程可得：，则，∴，∵，则：，令，解得，∴，故直线QN的方程为：，根据对称性，直线QN所过的定点在y轴上，不妨令，则，故直线QN过定点. 22.【解析】（1）法一：易知的定义域为，∵，当时，，∴在上单调递增，∵，，∴在上有一个零点；当时，由得，由得，∴在上单调递减，在上单调递增，，ⅰ.当时，，所以恒成立，故函数没有零点；ⅱ.当时，，故函数有且只有一个零点；ⅲ.当时，，，，故函数在区间内有一个零点，，设，令，，，所以单调递减，所以，即，所以函数在区间内有一个零点，所以函数在定义域内有两个不同零点.综上，当时，函数有两个零点；当或时，函数有且只有一个零点； 当时，函数没有零点；法二：令，得，令，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，，当时，；当时，；故当时，直线与函数的图象没有交点，即函数没有零点，如图1；图1当或时，直线与函数的图象只有一个交点，即函数只有一个零点，如图2；图2当时，直线与函数的图象有两个交点，即函数有两个零点，如图3； 图3（2）因为函数有两个零点，由（1）知，，且.恒成立恒成立，∵，∴，设，则，，∵，∴.∴对恒成立，即对恒成立.令，当时，显然对恒成立；当时，在单调递增，，当时，，所以在单调递增，故； 当时，，，故存在，使得，当时，，所以在区间上单调递减，故，不符合要求，舍去.综上：实数a的取值范围为.