浙江省温州市环大罗山联盟2023-2024学年高二数学上学期期中联考试题（Word版附解析）

2023学年第一学期温州环大罗山联盟期中联考高二年级数学科试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知直线，则该直线倾斜角的度数为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据倾斜角和斜率的关系直接转化即可.【详解】已知直线斜率，令直线倾斜角为，则，解得，故选：B2.已知平面的法向量为，则直线与平面的位置关系为（）A.B.C.与相交但不垂直D.【答案】B【解析】【分析】由已知向量的坐标知，即可判断直线与平面的位置关系.【详解】由题设，即，又是平面法向量，所以. 故选：B3.已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设另外两个顶点的坐标分别为，由图形的对称性可以得到方程，解此方程得到的值，即可得到答案.【详解】由题意，依据抛物线的对称性，及等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，可设另外两个顶点的坐标分别为，，解得，故这个等边三角形的边长为.故选：A.4.已知半径为2的圆经过点，则其圆心到原点的距离最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】由题意确定圆心的轨迹为以为圆心，2为半径的圆，即可确定当坐标原点、圆心以及点三点共线时，圆心到原点的距离最小，由此可得答案.【详解】由题意知半径为2的圆经过点，设该圆圆心为P，故该圆的圆心的轨迹为以为圆心，2为半径的圆，当坐标原点、圆心P以及点三点共线且圆心P在坐标原点和之间时，圆心到原点的距离最 小，最小值为，故选：C5.已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】直线l和椭圆C有公共点，联立直线方程和椭圆方程消去y便可得到关于x一元二次方程，方程有解，从而有判别式，即可解出m的取值范围．【详解】直线代入椭圆方程消去y得：；∵直线与椭圆有公共点，方程有解，∴；解得，即m的取值范围为.故选：A6.已知圆和两点，若圆上有且仅有一点，使得，则实数的值是（）A.B.C.或D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，求出以为直径的圆的方程为，由圆上有且只有一点使得 ，可得圆与圆相切，由圆与圆的位置关系分析可得答案.【详解】根据题意，圆，其圆心为，半径，由两点，可得以为直径的圆的方程为，设该圆为圆，其圆心为，半径，若点满足，则在圆上，又由圆上有且只有一点使得，则圆与圆相切，则有或，又因为，解得或故选：C.7.在等腰直角中，，点是边的中点，光线从点出发，沿与所成角为的方向发射，经过反射后回到线段之间（包括端点），则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意建立直角坐标系，根据点关于线对称画出光路图，利用表示各点坐标，求出满足使反射后回到线段之间角范围.【详解】建立直角坐标系如图所示，，，，则直线由题光线从点出发，沿光线路径依次为其中分别为光线与对应边交点，设，点关于直线对称点为，设点关于直线对称点为 ，根据对称则有，因为光线与所成角为的方向发射，即，令，k即为直线斜率，则直线方程为，则与联立，由光线反射的性质与光路可逆性知四点共线，则直线方程为，令得，所以的取值范围为.故选：D8.在正方体中，棱长为2，平面经过点，且满足直线与平面所成角为，过点作平面的垂线，垂足为，则长度的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据线面角确定点的轨迹，进而得到的取值范围，由余弦定理即可求出长度的取值范围.【详解】由题意，面，连接，因为与平面所成角为，所以，过作，如图： 因为，所以，所以点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆，如图：所以，所以，在中，由题意，，所以所以，所以长度的取值范围为.故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知直线，则下列说法正确的是（）A.若，则B.当时，两条平行线之间的距离为C.若，则 D.直线过定点【答案】BCD【解析】【分析】代入得两直线方程可判断A；利用两条平行直线间的距离公式可判断B；利用两直线垂直的条件求出可判断C；根据直线方程特征求出直线过定点可判断D.【详解】对于A，若，则，可得与重合，故A错误；对于B，当时，则，解得，此时，所以两条平行线之间的距离为，故B正确；对于C，若，则，解得，故C正确；对于D，由可得直线过定点，故D正确.故选：BCD.10.向量，则下列说法正确的是（）A.，使得B.若，则C.若，则D.当时，在方向上的投影向量为【答案】BCD【解析】【分析】若得，使，列出方程组，即可判断A；由空间向量模的坐标运算公式即可判断B；由空间向量垂直，得，即可判断C；由空间向量的投影向量计算公式即可判断D．【详解】对于A，若，则，使，即，显然无解，故A错误； 对于B，若，则，解得，故B正确；对于C，若，则，解得，故C正确；对于D，若，得，则在方向上的投影向量为，故D正确；故选：BCD．11.如图，在平行六面体中，．底面为菱形，与的所成角均为，下列说法中正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据空间向量的运算法则和几何关系逐项判断即可.【详解】对于A，,故A正确；对于B，,故B正确；对于D，，,,,故D正确; 对于C，底面为菱形,,即是等腰三角形，,故C错误.故选：ABD12.已知点是圆上的两个动点，点是直线上的一定点，若的最大值为，则点的坐标可以是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】首先判断直线与圆的位置关系，再由直线上任意一定点与圆上两动点所成角最大，有与圆相切，进而求出对应的坐标.【详解】由圆心与直线的距离，即直线与圆相离，所以直线上任意一定点与圆上两动点所成角最大，此时与圆相切，若的最大值为，则为正方形，此时，令，所以，可得或，所以或时满足题设. 故选：AC非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知圆，圆的弦被点平分，则弦所在的直线方程是______．【答案】【解析】【分析】求出圆心和半径，根据垂径定理得到⊥，从而求出，得到弦所在直线方程.【详解】圆变形为，圆心为，半径为2，因为圆的弦被点平分，所以⊥，其中，故，所以弦所在直线方程是，即.故答案为：14.已知双曲线的一条渐近线为，则的焦距为______．【答案】【解析】 【分析】先确定双曲线的，，再利用双曲线的渐近线是列式计算，根据双曲线焦距的定义计算即可.【详解】由双曲线得，，又其渐近线为，即，，解得，，焦距为.故答案为：.15.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事修．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为______．【答案】【解析】【分析】将转化成到点的距离与到点的距离之差，再结合进行求解.【详解】，可转化成x轴上一点到点的距离与到点的距离之差.，所以的最大值为.故答案为：16.已知点分别是椭圆的上下焦点，点为直线上一个动点．若 的最大值为，则椭圆的离心率为______．【答案】【解析】【分析】首先设点的坐标，并设，，则,并结合两角差的正切公式，以及基本不等式得到关于的齐次方程，即可求解离心率.【详解】根据对称性，不妨设点在第一象限，且坐标为，如图，记直线与轴的交点为，设，，则,由于，，故，，所以，，所以,因为，，当且仅当时等号成立，即时等号成立， 所以，整理得，所以，得，所以，即椭圆的离心率为.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，在直三棱柱中，．（1）求证：；（2）求点到直线的距离．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）建系，再由向量垂直的充分必要条件直接得出空间异面直线垂直.（2）由向量法求空间距离公式直接得出点到直线的距离.【小问1详解】建立直角坐标系，其中为坐标原点，以边所在直线为轴，以边所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示 依题意得，因为，所以．【小问2详解】18.已知椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于两点．（1）求线段的长；（2）求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）联立直线和椭圆方程得到，，然后根据两点间距离公式计算即可；（2）根据点到直线的距离公式得到，然后求三角形面积即可.【小问1详解】 设，，联立直线与椭圆方程，解得，．，，．【小问2详解】由题可知，左焦点．由点到直线的距离公式得，.19.如图所示，在几何体中，四边形为直角梯形，，底面．（1）求证：平面；（2）求直线与直线所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据线面垂直可得线线垂直，据此建立空间直角坐标系，利用向量法求证；（2）根据向量的夹角公式计算即可得解.【小问1详解】因为，底面，所以底面，因为底面，所以.又，所以，以为原点，方向为轴正半轴，方向为轴正半轴，方向为轴正半轴建立空间直角坐标系，如图，则．，又平面平面．【小问2详解】由（1）知，直线所成线线角余弦值为.20.已知抛物线：的焦点为，斜率为1的直线与在第一、四象限的交点分别为、，与 轴的交点为．（1）当时，求点的坐标；（2）设，若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设：联立后得，由可得，进而可得点的坐标为.（2）由弦长公式和得，进而可得，即.【小问1详解】设，则：，联立得，则，即，设，，则，，因为，所以，得，故点的坐标为.【小问2详解】 由（1）可知，，所以，所以，得，所以：，联立，解得或，则，，，所以，，所以，故.21.如图，在三棱锥中，面面为等腰直角三角形，为线段上一动点．（1）若点为线段的三等分点（靠近点），求点到平面的距离；（2）线段上是否存在点（不与点、点重合），使得直线与平面的所成角的余弦值为．若存在，请确定点位置并证明；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）点为线段的三等分点（靠近点）或点为线段的十五等分点（靠近点）．【解析】【分析】（1）以中点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离； （2）设，利用向量法表示线面角的正弦值，代入已知数据求解的值.【小问1详解】取中点，为等腰直角三角形，则，面面，面面，面，所以面，以点为原点，OA为x轴，平面内过O点垂直于AB的直线为y轴，OS为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由，，为等腰直角三角形，，得．点为线段的三等分点（靠近点），有，，，，设面的一个法向量为，则有，令，则，得所以点到平面的距离为.【小问2详解】点为线段的三等分点（靠近点）或点为线段的十五等分点（靠近点）．理由如下： 点是线段上的点，设，得，，设面的一个法向量为，，，，取，则，，得，设直线与平面的夹角为，由，得，则．两边同时平方，化简可得，解得．所以点为线段的三等分点（靠近点）或点为线段的十五等分点（靠近点）．22.已知与两边上中线长的差的绝对值为．（1）求三角形重心的轨迹方程；（2）若，点在直线上，连结，与轨迹的轴右侧部分交于两点，求点到直线距离的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据双曲线的定义求解即可； （2）求出动直线的方程，再求的所过定点，即可知与定点间的距离为最大值.【小问1详解】设与的中点为，则由题意可得，由重心性质得，由双曲线的定义可知的轨迹为双曲线，易得，，【小问2详解】如图，设，令，得，同理由可得：，两边同时平方可得①又由，可得，同理， 代入①式得两边交叉相乘化简可得②当斜率存在时，可设直线为，与联立可得，由根与系数关系可得：，代入②式，得解得或，当时，直线过定点当时，直线过定点，由显然不成立，舍去，若当斜率不存在时，则直线，过点．综上，直线恒过定点所以点到直线距离．