陕西省西安中学2023-2024学年高二数学上学期期中考试试卷（Word版附答案）

西安中学2023-2024学年度第一学期期中考试高二数学试题（时间：120分钟满分：100分）一、选择题（本题共8小题，每小题3.5分，共28分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线的倾斜角是（）A.B.C.D.2.下列关于空间向量的说法中正确的是(　　)A.若向量，平行，则，所在的直线平行B.若，则，的长度相等而方向相同或相反C.若向量满足，则D.相等向量其方向必相同3.已知点．若直线过点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是(　　)A．B．C．或D．4.如图1，在三棱柱中，E、F分别是BC、的中点，为∆的重心，则(　　)图1 A．B．C．D．5.已知、、，则原点到平面的距离是（）A.B.C.D.6.已知圆，圆，则下列选项错误的是（）A.两圆的圆心距离是B.两圆有条公切线C.两圆相交D.公共弦长7.如图2，，平面，⊥平面，，与平面成30°角，则间的距离为(　　)图2A．B．C.D.8.若点和点分别为椭圆的中心和下焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为(　　)A．B．C．D．二、选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得4分，有选错的得0分，部分选对得2分.） 9.对于直线和直线，以下说法正确的有（）A.直线一定过定点B.的充要条件是C.若，则D.点到直线的距离的最大值为10.一条光线从点A-2,3射出，经x轴反射后，与圆C:(x-3)2+(y-2)2=1相切，则反射后光线所在直线的方程可能是（ ）A．3x-4y-1=0B．3x-4y-6=0C．4x-3y-1=0D．4x-3y-6=011.某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图3所示，已知它的近地点(离地心最近的一点)距地面，远地点(离地心最远的一点)距地面，并且三点在同一直线上，地球半径约为，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为，则(　　)图3A．B．C．D．12.如图4，在菱形ABCD中，AB=433，∠BAD=60°，沿对角线BD将△ABD折起，使点之间的距离为22，若分别为线段BD，CA上的动点，则下列说法正确的是（ ） 图4A．平面ABD⊥平面BCDB．线段PQ的最小值为2C．当AQ=QC，4PD=DB时，点D到直线PQ的距离为1414D．当分别为线段BD，CA的中点时，PQ与AD所成角的余弦值为64三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡上的相应位置.）13.已知圆与圆外切，则______．14.已知，是空间两个向量，若，，，则________.15.已知正方形，以该正方形其中一边的端点为焦点，且过另外两点的椭圆的离心率为________．16.已知直线l：x-y+4=0与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别为C，D两点，记M是CD的中点，则AM的最小值为．四、解答题（本题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分8分）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.①与直线垂直；②过点；③与直线平行.问题：已知直线过点，且___________.（1）求直线的一般式方程；（2）若直线与圆相交于点，，求弦的长.18.（本小题满分8分）已知椭圆的中心是坐标原点，焦点在轴上，长轴长是，离心率是.（1）求椭圆的标准方程；（2）若点在该椭圆上，为它的左、右焦点，且，求△的面积．19.（本小题满分8分）如图5，在正方体中，为的中点.图5（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值. 20.（本小题满分8分）已知一个动点P在圆上移动，它与定点所连线段的中点为.(1)求点的轨迹方程；(2)过定点的直线与点的轨迹交于不同的两点，且满足，求直线的方程.21.（本小题满分8分）中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图6所示，四边形为正方形，四边形为两个全等的等腰梯形，，，，．  图6(1)当点为线段的中点时，求证：直线平面；(2)当点在线段上时（包含端点），求平面和平面的夹角的余弦值的取值范围． 西安中学2023-2024学年度第一学期期中考试高二数学试题答案一选择题12345678BDDAADCC二选择题9101112ACDBCABDABD三填空题13.14.15.16.四解答题17.【解析】方案一选条件①.（1）因为直线的斜率为，又直线与直线垂直，所以直线的斜率为，依题意，直线的方程为，即.（4分） （2）圆的圆心到直线的距离为.又圆的半径为，所以.（8分）方案二选条件②.（1）因为直线过点及，所以直线的方程为，即.（4分）（2）圆的圆心到直线的距离为.又圆的半径为，所以.（8分）方案三选条件③.（1）因为直线的斜率为，直线与直线平行，所以直线的斜率为.依题意，直线的方程为，即.（4分）（2）圆的圆心到直线的距离为.又圆的半径为，所以.（8分）第（2）问也可以用弦长公式求解18.解析：(1)由题意知，椭圆的标准方程是＋＝1；（4分） （2）由已知a＝2，b＝，所以c＝＝1，|F1F2|＝2c＝2，在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos120°，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.①由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，即|PF2|＝4－|PF1|.②将②代入①解得|PF1|＝，∴S△PF1F2＝|PF1|·|F1F2|·sin120°＝××2×＝.因此所求△PF1F2的面积是.（8分）19.(1)证明：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，则，设平面的法向量为，由于，可得，可取，因为，所以，又平面，所以平面；（4分） (2)，设直线与平面所成角，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.（8分）20.解(1)设M(x，y)，动点P(x0，y0)，由中点坐标公式得解得x0＝2x－4，y0＝2y，又由x＋y＝36，得(2x－4)2＋(2y)2＝36，即(x－2)2＋y2＝9，∴点M的轨迹方程是(x－2)2＋y2＝9.（4分）(2)当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝0，与圆M交于A(0，)，B(0，－)，此时x1＝x2＝0，不合题意.当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx－3，则由消去y，得(1＋k2)x2－(4＋6k)x＋4＝0，则Δ＝[－(4＋6k)]2－4×4(1＋k2)>0，x1＋x2＝，x1x2＝.由＋＝，得x＋x＝x1x2，即(x1＋x2)2＝x1x2，∴＝·，整理得7k2－24k＋17＝0，∴k＝1，k＝，经检验Δ>0.此时直线l的方程为x－y－3＝0或17x－7y－21＝0.综上：直线l的方程为x－y－3＝0或17x－7y－21＝0.（8分） 21.【解析】（1）证明：因为点N为线段AD的中点，且，所以，因为，且四边形ABCD为正方形，故，所以，而平面，故平面；（4分）（2）设正方形ABCD的中心为O，分别取的中点为，设点H为线段AD的中点，由（1）知四点共面，且平面，连接平面，故，又平面，故平面平面，且平面平面，由题意可知四边形为等腰梯形，故,平面，故平面，故以O为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，因为，则，又，故，设到底面的距离为h，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，且，故，，故，则，，，， 设平面的一个法向量为，则，令，设平面的一个法向量为，则，令，故，令，则，令，则，令，则在上单调递增，故当时，，当时，，故，即平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值得取值范围为.（8分）