吉林省长春市东北师大附中2023-2024学年高二数学上学期期中试题（Word版附解析）

2023—2024学年东北师大附中高二年级数学科试卷上学期期中考试本试卷共3页、22小题，满分120分，考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码粘贴区．2．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域|书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.直线的倾斜角大小（）A.B.C.D.2.下列正确结论是A.事件A的概率的值满足B.如，则为必然事件C.灯泡的合格率是，从一批灯泡中任取一个，这是合格品的可能性为D.如，则为不可能事件3.经过点并且与直线垂直的直线方程是（）A.B.C.D.4.已知事件A，B，C两两互斥，若，，，则（）．AB.C.D.5.圆心在轴上，并且过点和的圆的标准方程是（） A.B.C.D.6.若是从四个数中任取的一个数,是从三个数中任取的一个数,则关于的一元二次方程有实根的概率是A.B.C.D.7.在棱长为的正四面体中，平面于，是的中点，则下列结论错误的是（）A.B.C.D.8.已知圆C：，点A是直线上的一个动点，过点A作圆C的两条切线，切点分别为P，Q，则线段PQ的长度的取值范围是（）A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知直线：和直线：，则下列结论正确是（）A.存在实数k，使得直线的倾斜角为B.对任意的实数k，直线与直线都有公共点C.对任意的实数k，直线与直线都不重合D.对任意的实数k，直线与直线都不垂直10.已知点，点为直线上的任意一点，以为直径作圆，则下列说法正确的是（）A.圆面积的最小值为B.圆恒过定点C.圆心的轨迹方程是D.若直线与圆相交，且所得弦长为时，圆面积为 11.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，事件表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是奇数”，则（）A.与是互斥事件B.与互为对立事件C.发生的概率为D.与相互独立12.在棱长为的正方体中，、分别是棱、的中点，动点满足，，下列结论正确的是（）A.当时，平面截正方体所得截面面积是B.当时，直线与直线所成角为C.当时，则点到平面的距离是D.设直线与平面所成角为，则三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13.已知经过、两点的直线l的方向向量为，则实数a的值为______．14.在一次投篮比赛中，甲、乙、丙三人投篮命中的概率分别为，，，若每次投球三人互不影响，则在一次投球中，三人中至少有两人投篮命中的概率为______．15.已知点是所在平面内的任意一点，是平面外的一点，满足，则的最小值是______．16.在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B在圆心为C的圆上运动，且．若直线l：上至少存在两个点，使得成立，则实数m的取值范围为______．四、解答题：本大题共6小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17已知直线过点且与直线：垂直．（1）求直线的方程； （2）若直线l经过，且过直线与的交点，求直线l的方程．18.在一次支教活动中，甲、乙两校各派出名教师参与活动，其中甲校派出2名男教师和1名女教师（记两名男教师为、，女教师为），乙校派出名男教师和名女教师（记男教师为，两名女教师为、）．（1）若从两校参加活动的教师中各任选名，写出所有可能的结果，并求选出的名教师性别相同的概率；（2）若从报名的名教师中任选名，求选出的名教师来自同一学校的概率．19.如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，，，D为AB上靠近A的三等分点．（1）若，求证：平面平面PCB；（2）当三棱锥的体积最大时，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值．20.甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为．（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．21.已知直线和以点为圆心的圆．（1）求证：直线恒过定点；（2）当直线被圆截得的弦长最短时，求的值以及最短弦长；（3）设恒过定点，点满足，记以点、（坐标原点）、、为顶点的四边形为，求四边形面积的最大值，并求取得最大值时点的坐标． 22.如图，四面体中，，，，，，为上的点，且，与平面所成角为．（1）求三棱锥的体积；（2）求平面与平面夹角余弦值． 2023—2024学年东北师大附中高二年级数学科试卷上学期期中考试本试卷共3页、22小题，满分120分，考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码粘贴区．2．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域|书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.直线的倾斜角大小（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】化简得到，根据计算得到答案.【详解】直线，即，，，故.故选：.【点睛】本题考查了直线的倾斜角，意在考查学生的计算能力.2.下列正确的结论是A.事件A的概率的值满足B.如，则为必然事件C.灯泡的合格率是，从一批灯泡中任取一个，这是合格品的可能性为D.如，则为不可能事件【答案】C 【解析】【分析】根据必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，利用排除法可得结果.【详解】因为必然事件的概率为1，所以可排除选项；因为不可能事件的概率为0，所以可排除选项根据概率的定义可知，灯泡的合格率是，从一批灯泡中任取一个是合格品的可能性为，故选C【点睛】本题主要考查必然事件与不可得事件的概率，考查了概率的性质，意在考查对基本概念掌握的熟练程度，属于基础题.3.经过点并且与直线垂直的直线方程是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.【详解】直线的方程可化为，其斜率为，故经过点并且与直线垂直的直线方程是，即.故选：A.4.已知事件A，B，C两两互斥，若，，，则（）．A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据事件A，，两两互斥，求出，进而利用求出答案.【详解】因为事件A，，两两互斥，所以，所以.故选：B．5.圆心在轴上，并且过点和的圆的标准方程是（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设圆心为，由可求出的值，可得出圆心的坐标，再求出圆的半径，即可得出所求圆的标准方程.【详解】设圆心为，由可得，解得，所以，圆心为，圆的半径为，故所求圆的标准方程为.故选：D.6.若是从四个数中任取的一个数,是从三个数中任取的一个数,则关于的一元二次方程有实根的概率是A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】，根据题意先做出方程没有实根的充要条件，列举出试验发生的所有事件，看出符合条件的事件，根据古典概型公式得到结果．【详解】由题意知本题是一个古典概型，设事件为“有实根”当时，方程有实根的充要条件为，即，基本事件共12个：其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值．事件包含9个基本事件∴事件发生的概率为故选B.【点睛】本题考查古典概型的概率计算，属基础题. 7.在棱长为的正四面体中，平面于，是的中点，则下列结论错误的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算逐项判断，可得出合适的选项.【详解】如下图所示：在正四面体中，平面于，则为等边三角形的中心，且，，因为平面，平面，所以，，则，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如上图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，对于A选项，，，所以，，所以，，A对； 对于B选项，，，所以，，B错；对于C选项，，，C对；对于D选项，，即，D对.故选：B.8.已知圆C：，点A是直线上的一个动点，过点A作圆C的两条切线，切点分别为P，Q，则线段PQ的长度的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】作图，根据切线的性质以及三角形的面积公式可推得，.根据点到直线的距离公式，得出，进而即可根据不等式的性质，得出答案.【详解】如图，根据切线的性质可知，，，.又由已知可得，圆C：的圆心，半径. 所以，，.又，所以，，所以，.又点到直线的距离为，所以，，所以，，所以，，，所以，.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知直线：和直线：，则下列结论正确的是（）A.存在实数k，使得直线的倾斜角为B.对任意的实数k，直线与直线都有公共点C.对任意的实数k，直线与直线都不重合D.对任意的实数k，直线与直线都不垂直【答案】ABD【解析】【分析】举例即可说明A、C；分以及，得出直线与直线的关系，即可得出B项；根据直线垂直列出方程，求解方程，即可说明D项. 【详解】对于A项，当时，直线的方程为，此时直线的倾斜角为，故A项正确；对于B项，当时，直线的方程为，与重合，此时两直线有公共点；当时，有，即一定相交.综上所述，对任意的实数k，直线与直线都有公共点，故B项正确；对于C项，由B可知，当时，直线与重合，故C项错误；对于D项，要使直线与直线垂直，则应有，该方程无解，所以对任意的实数k，直线与直线都不垂直，故D项正确.故选：ABD.10.已知点，点为直线上的任意一点，以为直径作圆，则下列说法正确的是（）A.圆面积的最小值为B.圆恒过定点C.圆心的轨迹方程是D.若直线与圆相交，且所得弦长为时，圆面积为【答案】AC【解析】【分析】分析可知，当时，取最小值，求出圆半径的最小值，结合圆的面积公式可判断A选项；求出圆的方程，可求出圆所过定点的坐标，可判断B选项；求出圆心的轨迹方程，可判断C选项；利用勾股定理求出圆的半径，结合圆的面积公式可判断D选项.【详解】因为点为直线上的任意一点，设点，其中， 对于A选项，当时，取最小值，即的最小值为点到直线的距离，所以，，所以，圆的半径的最小值为，所以，圆面积的最小值为，A对；对于B选项，因为点、，则圆心的坐标为，又因为，所以，圆的半径为，所以，圆的方程为，即，即，由，解得或，因此，圆过定点，B错；对于C选项，设圆心，则，消去可得，所以，圆心的轨迹方程为，C对；对于D选项，因为点到直线的距离为，故圆心到直线的距离为， 当直线与圆相交，且所得弦长为时，圆的半径为，此时圆的面积为，D错.故选：AC.11.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，事件表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是奇数”，则（）A.与是互斥事件B.与互为对立事件C.发生的概率为D.与相互独立【答案】BCD【解析】【分析】根据互斥事件，对立事件相互独立事件的定义结合古典概型注意判断即可.【详解】由题意，不放回的随机取两次，共有种情况，共个基本事件，共个基本事件，故，故C正确；显然事件与有交事件，不是互斥事件，故A错误；共个基本事件，故，共个基本事件，所以与互为对立事件，故B正确；事件共个基本事件，所以，所以与相互独立，故D正确.故选：BCD. 12.在棱长为的正方体中，、分别是棱、的中点，动点满足，，下列结论正确的是（）A.当时，平面截正方体所得截面面积是B.当时，直线与直线所成角为C.当时，则点到平面的距离是D.设直线与平面所成角为，则【答案】ACD【解析】【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项判断，可得出合适的选项.【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、、、、.对于A选项，当时，点，，，结合图形可知，、、、四点共面，且， ，则，所以，，在梯形中，，则，因此，当时，平面截正方体所得截面面积，A对；对于B选项，当时，，则，，所以，，B错；对于C选项，当时，，，，设平面的法向量为，则，取可得，，所以，点到平面的距离为，C对；对于D选项，易知点，其中，设平面的法向量为，，，，则，取，则，，D对.故选：ACD.三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13.已知经过、两点的直线l的方向向量为，则实数a的值为______．【答案】 【解析】【分析】由已知得出，进而根据已知条件、结合向量共线列出方程，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，.又直线l的方向向量为，所以，与共线，所以有，解得.故答案为：.14.在一次投篮比赛中，甲、乙、丙三人投篮命中的概率分别为，，，若每次投球三人互不影响，则在一次投球中，三人中至少有两人投篮命中的概率为______．【答案】【解析】【分析】分别根据独立事件以及对立、互斥事件的概率计算得出恰有两人投篮命中的概率以及三人均命中的概率，相加即可得出答案.【详解】由已知可得，一次投球中，三人中恰有两人投篮命中的概率；一次投球中，三人投篮均命中的概率.所以，在一次投球中，三人中至少有两人投篮命中的概率.故答案为：.15.已知点是所在平面内的任意一点，是平面外的一点，满足，则的最小值是______．【答案】 【解析】【分析】利用共面向量的基本定理结合空间向量的基本定理可得出，将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】因为点是所在平面内的任意一点，则存在、，使得，即，所以，，又因为是平面外的一点，则、、不共面，因为，则，，，所以，，所以，，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值是.故答案为：.16.在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B在圆心为C的圆上运动，且．若直线l：上至少存在两个点，使得成立，则实数m的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】利用垂径定理可求得；设，利用向量坐标运算可表示出M点坐标，利用两点 间距离公式可构造关于的方程，结合已知得出方程解的个数，由列出不等式，求解即可得出结果.【详解】设，，中点，由已知可得，圆的圆心，半径.连接，则，且，所以.由已知可设其中一个点为，则，，所以，，所以，，所以，，即，所以，，所以，，即.由题意知，至少存在两个点，所以， 整理可得，解得.故答案为：.【点睛】思路点睛：设出点的坐标，根据点的坐标表示出线段长度，结合已知列出关系式.根据已知满足条件点的个数，即可得出方程解的个数.四、解答题：本大题共6小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线过点且与直线：垂直．（1）求直线的方程；（2）若直线l经过，且过直线与的交点，求直线l的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据已知设出的方程为，代入点的坐标，求出的值，即可得出答案；（2）联立直线与的方程，求解方程组得出交点坐标，然后即可根据两点式方程，求出答案.【小问1详解】由已知可设直线的方程为.又直线过点，所以有，解得，所以，直线的方程为.【小问2详解】联立直线与的方程，可得，所以，直线与的交点. 又直线l经过，代入直线的两点式方程可得，，整理可得.18.在一次支教活动中，甲、乙两校各派出名教师参与活动，其中甲校派出2名男教师和1名女教师（记两名男教师、，女教师为），乙校派出名男教师和名女教师（记男教师为，两名女教师为、）．（1）若从两校参加活动的教师中各任选名，写出所有可能的结果，并求选出的名教师性别相同的概率；（2）若从报名的名教师中任选名，求选出的名教师来自同一学校的概率．【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）列举出所有的基本事件，并确定事件“选出的名教师性别相同”所包含的基本事件，结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）列举出所有的基本事件，并确定事件“选出的名教师来自同一学校”所包含的基本事件，即可求出所求事件的概率.【小问1详解】解：从两校参加活动的教师中各任选名，所有可能的结果有：、、、、、、、、，共种，其中，事件“选出的名教师性别相同”所包含的基本事件有：、、、，共种，所以，选出的名教师性别相同的概率为.【小问2详解】解：从报名的名教师中任选名，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、 、、，共种，其中，事件“选出的名教师来自同一学校”所包含的基本事件有：、、、、、，共种，因此，事件“选出的名教师来自同一学校”的概率为.19.如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，，，D为AB上靠近A的三等分点．（1）若，求证：平面平面PCB；（2）当三棱锥的体积最大时，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据勾股定理求得.在以及中，根据余弦定理求出，，然后即可根据勾股定理求得.进而根据线面垂直的判定定理证得平面.进而根据面面垂直的判定定理得出平面平面；（2）由已知推得平面平面.取中点为，连接，.进而即可根据面面垂直的性质定理得出平面.根据勾股定理得出.建立空间直角坐标系，得出各点以及向量的坐标，求出平面的一个法向量，进而根据向量法求解即可得出答案.【小问1详解】由已知可得，，，在中，有，所以. 在中，由余弦定理可得，所以，，.又，在中，有，所以，又，在中，有，所以，.因为平面，平面，，所以，平面.因为平面，所以平面平面.【小问2详解】要使三棱锥的体积最大时，则应有平面平面.取中点为，连接.因为是边长为2的正三角形，中点为，所以.因为平面平面，平面，所以，平面.连接，在中，由余弦定理可得，所以.又，所以. 如图，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，.设是平面的一个法向量，则，取，则是平面的一个法向量.又，所以，直线PC与平面PBD所成角的正弦值为.20.甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为．（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．【答案】（1），，；（2）【解析】【分析】（1）设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件，则 再利用独立事件的概率计算公式，解方程组即可得到答案.（2）记D为从甲、乙、丙加工零件中各取一个检验至少有一个一等品的事件，利用对立事件，即计算即可.【详解】（1）设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件，由题设条件有即解得，，．即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是，，；（2）记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验至少有一个一等品的事件，则．故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为．【点晴】本题主要考查独立事件的概率计算问题，涉及到对立事件的概率计算，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.21.已知直线和以点为圆心的圆．（1）求证：直线恒过定点；（2）当直线被圆截得的弦长最短时，求的值以及最短弦长；（3）设恒过定点，点满足，记以点、（坐标原点）、、为顶点的四边形为，求四边形面积的最大值，并求取得最大值时点的坐标． 【答案】（1）证明见解析（2），弦长的最小值为（3）答案见解析【解析】【分析】（1）将直线的方程变形，联立方程组可求得直线所过定点的坐标；（2）分析可知，当时，圆心到直线的距离达到最大值，此时，直线截得的弦长最短，根据直线的斜率关系可求得的值，求出圆心到直线距离的最大值，再结合弦长公式可求出直线被圆截得弦长的最小值；（3）设点，利用距离公式可化简得出点的轨迹方程，数形结合可求出四边形面积的最大值及其对应的点的坐标.【小问1详解】证明：将直线的方程化为，由可得，故直线恒过定点.【小问2详解】解：当时，圆心到直线的距离达到最大值，此时，直线被圆C截得的弦长最短，此时，，所以，直线的斜率为，解得，且，此时，直线被圆截得的弦长最小，且其最小值为.【小问3详解】解：由（1）可知，点，设点，则，整理可得，由可得，解得，又因为点，由下图可知，当点的坐标为时，点到轴的距离最大，此时，的面积最大，此时，四边形的面积取最大值， 即四边形的面积.故当点的坐标为时，四边形的面积取最大值，且最大值为.22.如图，四面体中，，，，，，为上的点，且，与平面所成角为．（1）求三棱锥的体积；（2）求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）取中点，可证明平面，可推导出是与平面所成的角，即，由正弦定理求得，有两个解，在时可证平面，在时，取中点证明平面，然后由棱锥体积公式计算体积；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．【小问1详解】解：（1）取中点，连接、，因为，所以，又，，平面， 所以平面，而平面，所以，由已知，，则，，所以，，由平面，平面得平面平面，因此在平面取中点内的射影就是直线，所以是与平面所成的角，即，，因此，在中，由正弦定理得，，为内角，所以或，，因为，则，若，则，即，，、平面，所以平面，；若，则，，取中点，连接，则，因为平面平面，平面平面，而平面，所以平面，， 所以.【小问2详解】解：若，以为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，所以点坐标为，，，，设平面一个法向量是，则，取，则，，即，设平面的一个法向量是，则，取，则，，即，所以，，所以平面与平面夹角的余弦值是； 若，以为轴，为轴，过且平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，，，，，，所以点坐标为，，，，设平面的一个法向量是，则，取，则，，即，设平面的一个法向量是，则，取，则，，即，所以，，所以平面与平面夹角的余弦值是．综上所述，平面与平面夹角的余弦值为或.