吉林省长春市东北师大附中2021-2022学年高二数学下学期阶段检测试题（Word版带答案）

2021—2022学年下学期高二年级阶段验收考试数学学科阶段考试试卷第Ⅰ卷（选择题共48分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.设变量X和变量Y的样本相关系数为，变量U和变量V的样本相关系数为，且，，则（）A.X和Y之间呈正线性相关关系，且X和Y的线性相关程度强于U和V的线性相关程度B.X和Y之间呈负线性相关关系，且X和Y的线性相关程度强于U和V的线性相关程度C.U和V之间呈负线性相关关系，且X和Y的线性相关程度弱于U和V的线性相关程度D.U和V之间呈正线性相关关系，且X和Y的线性相关程度弱于U和V的线性相关程度2.已知在等差数列中，，，则（）A.14B.16C.4D.103.已知变量x，y之间具有线性相关关系，根据10对样本数据求得经验回归方程为．若，，则（）A.－0.8B.0.8C.－1D.14.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，六朝才得到其关．要见每朝行里数，请公仔细算相还．”意思是：有一个人要走378里路，第一天走得很快，以后由于脚痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天刚好走完．则此人第一天走的路程是（）A.86里B.172里C.96里D.192里5.已知一个有限项等差数列，前项的和是，最后项的和是，所有项的和是，则此数列的项数为（）A.B.C.D.6.为考察，两种药物对预防某疾病的效果，进行了动物实验，根据样本数据制作出如下两个等高条形图．根据这两幅图中的信息，下列说法最佳的一项是（） A.样本中药物A，B对该疾病均有显著的预防效果B.样本中的药物A，B对该疾病均没有预防效果C.样本中的药物B的预防效果优于药物A的预防效果D.样本中的药物A的预防效果优于药物B的预防效果7.已知数列满足，，则数列的前100项和为（）A.B.C.D.8.已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，，且集合共有5个元素，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得4分，部分选对得2分，有选错或不选得0分．）9.对两个变量进行回归分析，下列结论正确的是（）A.某人研究儿子身高与父亲身高的关系，得到经验回归方程，当时，，即：如果一个父亲的身高为，那么儿子的身高一定为 B.残差图中残差点比较均匀地分布在以取值为的横轴为对称轴的水平带状区域内，说明选用的模型比较合适C.经验回归直线一定过点D.在经验回归方程中，解释变量每增加个单位，响应变量平均增加个单位10.千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”，“日落云里走，雨在半夜后”，……小明同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了A地区的100天日落和夜晚天气，得到如下2×2列联表：日落云里走夜晚天气下雨不下雨出现255不出现2545临界值表0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.828并计算得到，下列小明对A地区天气判断正确的是（）A.夜晚下雨的概率约为B.在未出现“日落云里走”的条件下，夜晚下雨的概率约为C.样本中出现“日落云里走”且夜晚下雨频率是不出现“日落云里走”且夜晚下雨的频率的2.5倍D.认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关，此推断犯错误的概率不大于0.00111.已知数列的前n项和，则下列结论正确的是（）A.是等差数列 B.是等比数列C.D.数列的前10项和为3482212.如下表，将个数排成n行n列的一个数阵：………………………………………………该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中）．已知，，记第n列的n个数的和为，数阵中的个数的和为．下列结论正确的是（）A.m＝3B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题共72分）三、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）13.变量x与y的成对样本数据的散点图如图所示，若用拟合成对数据，其决定系数记为；若用拟合成对数据，其决定系数记为．则与大小关系为______．（由大到小） 14.已知数列满足，，则它的通项公式______．15.已知数列的前n项和为，若，，且，则______．16.已知数列的前n项和为，且，，则使的n的最小值为______．四、解答题（本大题共6小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知等差数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求．18.已知数列的前n项和为，在①，②这两个条件中任选一个，并作答．（1）求数列的通项公式；（2）令，设数列的前n项积为，求当n取何值时，取最大值，并求此最大值．19.某地区为促进青少年运动，从2010年开始新建篮球场，某调查机构统计得到如下数据．年份x20142015201620172018 篮球场个数y百个0.300.601.001.40（1）根据表中数据求得y关于x的经验回归方程为，求表中数据和的值；（2）预测该地区2025年篮球场的个数（单位：个）．附：可能用到的数据与公式：，，，，，．20.随着我国老龄化进程不断加快，养老将会是未来每个人要面对的问题，而如何养老则是我国逐渐进入老龄化社会后，整个社会需要回答的问题．为了调查某地区老年人是否愿意参加养老机构，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下：是否愿意参加男女不愿意5050愿意150250（1）估计该地区男性老年人中，愿意参加养老机构的男性老年人的概率；（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为该地区的老年人是否愿意参加养老机构与性别有关？请解释所得结论的实际含义．附：．0.050.0250.0100050.0013.8415.0246.6357.87910.82821. 网上购物就是通过互联网检索商品信息，并通过电子订购单发出购物请求，厂商通过邮购的方式发货或通过快递公司送货上门，货到后通过银行转账、微信或支付宝支付等方式在线汇款，根据2019年中国消费者信息研究，超过40%的消费者更加频繁地使用网上购物，使得网上购物和送货上门的需求量激增，越来越多的消费者也首次通过第三方APP、品牌官方网站和微信社群等平台进行购物，某天猫专营店统计了2020年8月5日至9日这5天到该专营店购物的人数和时间（第天）间的数据，列表如下：1234575849398100（1）由表中给出的数据是否可用一元线性回归模型拟合人数y与时间x之间的关系？（若，则线性相关程度很高，可用一元线性回归模型拟合，计算r时精确到0.01．）参考数据：．附：相关系数．（2）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满100元可减15元；方案二，一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折．某顾客计划在此专营店购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠．22.已知数列，满足，，，．（1）求证：；（2）求证：；（3）设数列的前n项和为，求证：． 【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】B【9题答案】【答案】BCD【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】ABD【12题答案】【答案】ABC【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】【15题答案】 【答案】【16题答案】【答案】134917【答案】（1）；（2）.【小问1详解】设等差数列的公差为，则，.【小问2详解】由（1）得：，；令，解得：；当，时，；当，时，；.18【答案】（1）；（2）当n＝2或3时，取最大值，最大值为8．【小问1详解】若选①：，则当时，，得；当时，由，得，所以，即，所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列，所以． 若选②：，则当时，，当时，由可得，两式相减得，即，且满足上式，所以．【小问2详解】由（1）得，令，即，解得，且时，，所以当或3时，取最大值，最大值为.19【答案】（1）；（2）424个【小问1详解】由题意可得，，，则；因此，故．【小问2详解】由（1）知，，所以当x＝2025时，，因此预测该地区2025年篮球场约有424个．20【小问1详解】 由统计数据可知，愿意参加养老机构的男性老年人为150，调查的男性老年人的总人数为200，故男性老年人中愿意参加养老机构的频率为．根据频率稳定于概率的原理，估计该地区男性老年人中，愿意参加养老机构的男性老年人的概率为．【小问2详解】假设：该地区的老年人是否愿意养老机构与性别无关．根据列联表中的数据，经计算可得，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为该地区的老年人是否愿意参加养老机构与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.025．男性老年人愿意参加养老机构和不愿意参加养老机构的频率分别为和；女性老年人愿意参加养老机构和不愿意参加养老机构的频率分别为和．由此可见，女性老年人愿意参加养老机构的频率明显高于男性老年人愿意参加养老机构的频率．根据频率稳定于概率的原理，可以推断该地区女性老年人愿意参加养老机构的概率明显高于男性老年人愿意参加养老机构的概率．21【答案】（1）可用一元线性回归模型拟合人数y与时间x之间的关系（2）选方案二更划算【小问1详解】解：由表中数据可得，，，，，所以．所以变量y与x具有很强的线性相关性， 所以可用一元线性回归模型拟合人数y与时间x之间的关系．【小问2详解】若选方案一，则需付款1000－150＝850元；若选方案二，设需付款X元，则X的可能取值为600，800，900，1000，相应的概率为：，，，．所以，故选方案二更划算．22【小问1详解】因为，所以为常数数列，又因为，，且，所以，故；【小问2详解】由于，若，则，而，所以和都是正数列，由（1）可知，所以，当且仅当时取等号．此时，即为常数列，与矛盾，所以，又，所以；【小问3详解】由于，所以，则， 故，所以，当时，，所以当n＝1时，，所以．