吉林省长春市博硕学校2023-2024学年高二数学上学期期初考试试题（Word版附答案）

长春博硕学校2023—2024学年度上学期高二年级期初考试数学学科试卷考试时间：90分钟满分：120分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知（i是虚数单位），z的共轭复数为，则的虚部为（    ）A．2B．C．1D．2．已知单位向量满足，则与夹角的大小为（    ）A．B．C．D．3．已知空间中三个互不相同的平面、、，两条不同的直线a、b，下列命题正确的是（    ）A．若，，则B．若，，，则C．若a//α，，a⊥b，则D．若，，则4．“抽陀螺”是中国传统民俗体育游戏，陀螺上大下尖，将尖头着地，以绳绕之，然后抽打，使其旋转．如图所示的陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其中圆柱的底面直径为2，圆锥与圆柱的高都为1，则该几何体的表面积为（    ）A．B．C．D．5．已知，则的值为（    ）A．B．C．D．6．已知边长为1的正方形，点为中点，点满足，那么等于（    ）A．2B．C．D．7．如图，湖南岳阳市岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”．因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世． 为了测量岳阳楼的高度CD，选取了与底部水平的直线AC，测得米，则岳阳楼的高度CD为（    ）A．米B．米C．米D．米8．在正四棱锥中，，若该棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为（    ）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）9．若，则（    ）A．B．C．D．在复平面内对应的点在第四象限10．已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ）A．B．C．D．在上的投影向量的长度为11．如图，在正方体中，分别为的中点，则（    ）A．B．平面C．平面D．直线与直线所成角的余弦值为 12．已知函数的部分图象如图所示，下列结论正确的是（    ）A．的周期为B．的图象关于点对称C．将函数的图象向左平移个单位长度可以得到函数的图象D．方程在上有3个不相等的实数根三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．已知向量，若，则．14．函数的最小正周期为．15．如图，正方体中，E为线段的中点，则直线与平面所成角的正弦值为．16．已知△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，若△ABC的面积为，则的取值范围为．四、解答题（本题共4小题，每题10分，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤）17．已知向量，，．（1）求（2）若与共线，求与的夹角． 18．如图，已知正方体的棱长为2．（1）证明：平面；（2）证明：BD⊥平面；19．在中，内角所对的边分别为，且．（1）求角的大小；（2）若边上中线长为，求的面积．20．如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点，是线段上一动点．（1）求证：平面PBC⊥平面；春博硕学校2023—2024学年度上学期高二年级数学学科期初考试参考答案1．B2．D3．B4．B5．C6．C7．D8．C9．ABC10．BD11．AD12．ACD13．14．15．16．17．（1）（2）【详解】（1）因为，，所以， 所以；（2）因为，，所以由与共线得，解得，此时，设，的夹角为θ，则，又,故与的夹角为．18．（1）证明见解析（2）证明见解析【详解】（1）在正方体，且，∴为平行四边形，∴，∵平面，平面∴平面；（2）∵正方体，底面ABCD，底面ABCD，∴，∵正方形ABCD中，，又∵平面，平面，，∴平面；  19．（1）（2）【详解】（1），由正弦定理得，所以，所以，因为，所以；（2）由（1）得因为边上中线长为，设中点为，所以，所以，即，所以，又因为，所以，解得，所以．20．（1）证明见解析；（2）．【详解】（1）因为，，则，又平面，平面，则， 而，平面，因此平面，又平面，所以平面平面．（2）因为底面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则、、、、、，设，，其中，显然平面的一个法向量为，依题意，，解得，于是为的中点，即，设平面的法向量为，，，则，取，得，而平面的一个法向量为，所以平面与平面夹角的余弦值为．