湖北省沙市中学2023-2024学年高一数学上学期11月期中考试试卷（Word版附解析）

2023—2024学年度上学期2023级期中考试数学试卷考试时间：2023年11月2日一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，则的子集的个数为（）A.2B.5C.6D.82.命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，3.下列函数是其定义域上的奇函数且在定义域上是增函数的是（）A.B.C.D.4.命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（）AB.C.D.5.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合白般好，隔离分家万事休.”在数学学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（）A.B. C.D.6.是定义域为上的奇函数，当时，为常数），则A.B.C.D.7.若函数的值域为，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.8.定义在R上的函数满足：对任意的（），都有，且，函数关于直线对称，则不等式的解集是（）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.若，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则10.下列四个命题是真命题的是（）A.若函数的定义域为，则函数的定义域为B.函数的值域为C.函数f（x）满足，则D.若方程的两个不等实根都在区间内，则实数的取值范围为 11.已知，则下列结论正确的是（）A.的最小值为16B.的最小值为9C.的最大值为1D.的最小值为12.若函数满足对∀x1，x2∈(1，+∞)，当x1≠x2时，不等式恒成立，则称在(1，+∞)上为“平方差增函数”，则下列函数中，在(1，+∞)上是“平方差增函数”有（）A.B.C.D.三.填空题本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数，则__________.14.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的解析式为______.15.已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是______.16.若函数与对于任意，都有，则称函数与是区间上的“阶依附函数”．已知函数与是区间上的“2阶依附函数”，则实数的取值范围是______．四.解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分.共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知集合，.（1）若，求；（2）设命题，命题，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围.18.已知幂函数在上是减函数，.（1）求的解析式；（2）若，求实数的取值范围. 19.已知函数.（1）若恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，函数在有解，求实数取值范围.20.随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为200万元，最大产能为100台.每生产x台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.（1）写出年利润万元关于年产量x台的函数解析式（利润销售收入成本）；（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？21.函数对任意实数恒有，且当时，.（1）判断的奇偶性；（2）求证：是上的减函数；（3）若，解关于的不等式.22.已知函数是定义域上的奇函数，且.（1）求函数的解析式；（2）若方程在上有两个不同的根，求实数的取值范围；（3）令，若对都有，求实数取值范围. 2023—2024学年度上学期2023级期中考试数学试卷命题人：刘芳审题人：熊炜考试时间：2023年11月2日一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，则的子集的个数为（）A2B.5C.6D.8【答案】D【解析】【分析】分别对集合和集合化简，然后求出，从而确定子集个数.【详解】因为，所以，所以的子集的个数为.故选：D.2.命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】直接根据全称命题的否定得到答案.【详解】命题“，”的否定是：，.故选：B.3.下列函数是其定义域上的奇函数且在定义域上是增函数的是（）A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】利用奇函数的定义判断，结合分式型函数、复合函数的单调性判断各函数是否符合要求即可.【详解】A：函数定义域为R，且，故为奇函数，当时，而在上递减，上递增，故在上递增，上递减，易知：定义域上不是增函数，不符合；B：函数定义域为，显然不关于原点对称，不为奇函数，不符合；C：函数定义域为R，且，故为奇函数，函数单调递增，符合；D：函数定义域为，且，故为奇函数，函数分别在、上递增，整个定义域不递增，不符合.故选：C4.命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据条件，将问题转化成在上恒成立，从而得到，再利用充分条件与必要条件的判定方法即可求出结果.【详解】由“，”为真命题，得对于恒成立，令，易知，时，，所以，，故“”是命题“，”为真命题的一个必要不充分条件，故选：A．5.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合白般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据图象函数奇函数，排除D；再根据函数定义域排除B；再根据时函数值为正排除A；即可得出结果.【详解】由题干中函数图象可知其对应的函数为奇函数，而D中的函数为偶函数，故排除D；由题干中函数图象可知函数的定义域不是实数集，故排除B；对于A，当时，，不满足图象；对于C，当时，，满足图象.故排除A，选C.故选：C6.是定义域为上的奇函数，当时，为常数），则A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】试题分析：因为是定义域为且是奇函数，所以，所以，，，故选D.考点：1、函数的奇偶性；2、分段函数的解析式.7.若函数的值域为，则实数的取值范围是（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由，然后分和判断函数的单调性，再求出其最小值，从而可求出其值域，进而可求出的取值范围【详解】解：，当时，在上单调递增，所以，此时，当时，由，当且仅当，即时取等号，因为在上单调递增，若的值域为，则有，即，则，综上，，所以实数的取值范围为故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查函数值域的求法，考查基本不等式的应用，解题的关键是对函数变形为，然后分和讨论函数的单调性，求出函数的值域，考查转化思想和计算能力，属于中档题8.定义在R上的函数满足：对任意的（），都有，且，函数关于直线对称，则不等式的解集是（）A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意得到在上单调递减，且为偶函数，故在上单调递增，分和，结合函数单调性求出解集.【详解】因为对任意的（），都有，所以在上单调递减，因为关于直线对称，所以关于轴对称，即为偶函数，所以在上单调递增，因为，所以，当时，，令得，即，所以，所以，当时，，令得，即，所以，所以，综上，的解集为.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.若，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则【答案】AC【解析】 【分析】利用不等式的性质，逐项判断即可.【详解】对于A，由，得，则，A正确；对于B，由，得，而，则，B错误；对于C，由，得，而，则，C正确；对于D，由，知，D错误.故选：AC10.下列四个命题是真命题的是（）A.若函数的定义域为，则函数的定义域为B.函数的值域为C.函数f（x）满足，则D.若方程的两个不等实根都在区间内，则实数的取值范围为【答案】AD【解析】【分析】A.利用抽象函数的定义域求解判断；B.利用函数的单调性求解判断；C.由得到，联立求解判断；D.令，利用方程根的分布判断.【详解】A.因为函数的定义域为，所以，解得，所以函数的定义域为，故是真命题；B.函数的定义域为，且在定义域上单调递增，所以函数的值域为，故不是真命题；C.由，得，联立解得，故不是真命题；D.令，因为的两个不等实根都在区间内， 所以，即，解得，所以实数的取值范围为，故是真命题；故选：AD11.已知，则下列结论正确的是（）A.的最小值为16B.的最小值为9C.的最大值为1D.的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式即可判断A；根据基本不等式中“1”的整体代换即可判断B；利用消元法即可判断C；利用消元法结合二次函数的性质即可判断D.【详解】对于A，因为，所以（舍去），所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为16，故A正确；对于B，因为，所以，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为9，故B正确；对于C，由B得，则，则，故C错误； 对于D，，当，即时，取得最小值，所以当时，的最小值为，故D正确.故选：ABD.12.若函数满足对∀x1，x2∈(1，+∞)，当x1≠x2时，不等式恒成立，则称在(1，+∞)上为“平方差增函数”，则下列函数中，在(1，+∞)上是“平方差增函数”有（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】令，问题转化为判断在上是增函数，分别对各个选项判断即可．【详解】若函数满足对，，当时，不等式恒成立，则，令，则，，，且，在上是增函数，对于，则，对称轴是，故在递增，在递减，故错误；对于，则，是对勾函数，故在递增，故正确；对于，故，对称轴是，故在递增，故正确； 对于，则，故在递减，故错误；故选：BC【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的新定义问题，考查函数的单调性问题，考查转化思想，关键在于恒成立可转化为新函数满足上恒成立，即在上是增函数，属于中档题．三.填空题本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数，则__________.【答案】2【解析】【分析】根据分段函数性质可得，又，即可得.【详解】由分段函数解析式可知，将代入可得，再将代入可得，即可计算出.故答案为：214.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的解析式为______.【答案】【解析】【分析】根据题意结合奇函数的定义与性质运算求解.【详解】因为函数是定义在上奇函数，则，当时，则，可得， 所以.故答案为：.15.已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】利用分段函数是上的减函数，直接建立的不等关系，从而求出结果.【详解】因为函数是上的减函数，所以，解得，故答案为：.16.若函数与对于任意，都有，则称函数与是区间上的“阶依附函数”．已知函数与是区间上的“2阶依附函数”，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由题意得在上恒成立，又，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，，设，研究的最小值即可．【详解】因为函数与是区间上的“2阶依附函数”，所以在上恒成立， 又在上单调递增，则，所以在上恒成立，即在上恒成立，，令，，设，，则在上单调递增，所以，所以．故答案为：．四.解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分.共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合，.（1）若，求；（2）设命题，命题，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）化简集合，求出即得解；（2）由题意可得集合B是集合A的真子集，列不等式组解不等式组即得解.【小问1详解】（1），当时，，或，∴或；【小问2详解】 由题意可得集合B是集合A的真子集，∵，∴或，解得，∴实数a的取值范围是.18.已知幂函数在上是减函数，.（1）求的解析式；（2）若，求实数取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据函数为幂函数，可列出关于m的方程，结合幂函数的单调性确定m的值，即可求得答案；（2）结合（1）中m的值，再结合幂函数的定义域以及单调性，可得相应不等式组，即可求得答案.【小问1详解】由于函数是幂函数，故，解得或，当时，在上是增函数，不合题意；当时，在上是减函数，符合题意，故.【小问2详解】由（1）知，则，结合幂函数在上为增函数，得，解得，即.19.已知函数. （1）若恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，函数在有解，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）转化为恒成立，分与，得到不等式，求出实数的取值范围；（2）转化为在上有解，所以只需，构造函数，由对勾函数性质得到，从而得到实数的取值范围.【小问1详解】，故恒成立，当时，不恒成立，舍去，当时，要想恒成立，则要满足，解得，综上，实数的取值范围为；【小问2详解】当时，函数在有解，即在上有解，所以在上有解，所以只需，令， 因为，所以，由对勾函数性质可知，在，即上单调递减，在，即上单调递增，由于，，由于，故，故，解得，实数的取值范围是.20.随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为200万元，最大产能为100台.每生产x台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.（1）写出年利润万元关于年产量x台的函数解析式（利润销售收入成本）；（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）（2）综上可知，该产品的年产量为70台时，公司所获利润最大，最大利润是1760万元.【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合利润=销售收入-成本的公式，分，两种情况讨论，即可求解．（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解．【小问1详解】由题意可得：当时，， 当时，，故．【小问2详解】当时，，得时万元；当时，，当且仅当，即时等号成立，此时万元.综上可知，该产品的年产量为70台时，公司所获利润最大，最大利润是1760万元.21.函数对任意实数恒有，且当时，.（1）判断的奇偶性；（2）求证：是上的减函数；（3）若，解关于的不等式.【答案】（1）奇函数（2）证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据题设条件，利用特殊值法、奇偶性的定义分析运算即可得解.（2）根据题设条件，利用单调性的定义分析运算即可得证；（3）根据题设条件将不等式转化为一元二次不等式，利用一元二次不等式的解法、分类讨论法运算即可得解.【小问1详解】解：由题意，函数对任意实数恒有，令得，解得：.取，则由得， ∴，即，∴函数是奇函数.【小问2详解】证明：任取，且，则，∵当时，，∴，由得，∴，∴，∴是上的减函数.【小问3详解】解：由得，由得，则，∴不等式可化为，∵是上的减函数，∴，即………①.（i）当时，不等式①式即为，解得：，即原不等式解集为；（ii）当时，不等式①式化为，即，若，上式不等式即，解得：，即原不等式解集为；若，则，原不等式解集为；若，则，原不等式解集为； （iii）当时，不等式①式化为，即，∵此时，∴原不等式解集为；综上，当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为.【点睛】方法点睛：1.解一元二次不等式的一般步骤：（1）化为标准形式；（2）确定判别式的符号，若，则求出该不等式对应的一元二次方程的根；若，则该不等式对应的一元二次方程无根；（3）结合二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式左边的二次三项式能分解因式，则可直接写出不等式的解集.2.含有参数的一元二次不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较相应方程的根的大小，注意分类讨论思想的应用.22.已知函数是定义域上的奇函数，且.（1）求函数的解析式；（2）若方程在上有两个不同的根，求实数的取值范围；（3）令，若对都有，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3） 【解析】【分析】（1）根据题意得到，，从而得到，再解方程组即可.（2）根据题意得到在上有两个不相等的实数根，从而得到，再解不等式组即可.（3）根据题意得到，设，得到，根据，再利用二次函数的性质得到，，从而得到，解不等式即可.【小问1详解】∵，又是奇函数，∴，，∴解得，∴.经验证，函数满足定义域，成立，所以.【小问2详解】方程在上有两个不同的根，即在上有两个不相等的实数根，需满足，解得.【小问3详解】有题意知，令 因为函数在上单调递减，在上单调递增，∴∵函数的对称轴为，∴函数在上单调递增.当时，；当时，；即，又∵对都有恒成立，∴，即，解得，又∵，∴的取值范围是.