山东省潍坊高密市第三中学2023-2024学年高一上学期9月月考数学试题（Word版附解析）

创新学院2023级数学试题考试时间120分钟，满分150分第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据交集的知识求得.【详解】集合是自然数集，所以故选：B2.定义域在R上的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则函数y＝f(x＋a)的值域为(　　)A.[2a，a＋b]B.[0，b－a]C.[a，b]D.[－a，a＋b]【答案】C【解析】【详解】令，∵，则，∴函数与是同一个函数；∴的值域为故选C3.已知，，，则，，的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数以及对数函数的单调性判断的范围可得答案.-16- 【详解】,故，故选：D.4.已知函数的定义域是，则函数的定义域为（）AB.C.D.【答案】A【解析】【分析】由函数的定义域是可求出，令代替，可得，即可求出的定义域.【详解】因为函数的定义域是由，得，所以的定义域是，由得.所以的定义域为.故选：A【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域，属于中档题.5.我国古代数学名著《九章算术》中有以下问题：“今有人合伙买羊，每人出5钱，差45钱；每人出7钱，差3钱.问合伙人数､羊价各是多少.”由此可推算，羊价为（）A.24钱B.165钱C.21钱D.150钱【答案】D【解析】【分析】设合伙人的人数为n，由题意列方程即可解得.【详解】设合伙人的人数为n，由题意列方程得：，解得：n=21，羊价为：.故选：D6.若方程的两实根中一个小于，另一个大于，则的取值范围是（）-16- A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设，根据二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】由可得，令，由已知可得，解得，故选：A.7.函数的单调减区间为A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】令，求得函数的定义域，本题即求在定义域内的单调减区间．利用二次函数的性质可得在定义域内的单调减区间．【详解】解：令，求得，故函数的定义域为，本题即求在内的减区间．利用二次函数的性质可得在内的减区间为，即函数的单调减区间为，故选B．【点睛】本题主要考查根式函数、二次函数的性质，复合函数的单调性，难度不大，但要注意，-16- 求单调区间，一定要先求函数定义域．8.已知幂函数与的部分图像如图所示，直线，与，的图像分别交于A，B，C，D四点，且，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】表示出，由幂函数的图象可得，从而得，，再由，代入化简计算，即可求解出答案.【详解】由题意，，，根据图象可知，当时，，，因为，所以，因为，可得.故选：B二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.下列命题为真命题的是（）A.，B.当时，，C.是函数为奇函数的充要条件-16- D.“”是“”的充要条件【答案】AB【解析】【分析】根据判别式判断A、B；应用奇函数的性质判断C；解不等式求解集判断D.【详解】A：由，故，为真；B：由题设，故，为真；C：对于奇函数，显然不存在，必要性不成立，为假；D：由，而恒成立，所以，故必要性成立，充分性不成立，为假.故选：AB10.若，则下列不等式中恒成立的有（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根据不等式的性质，结合基本不等式进行逐一判断即可.【详解】A：因为，所以恒成立，B：当时，显然成立，但是不成立，C：因为，所以（当且仅当时取等号，即时取等号），所以本选项符合题意；D：因为，所以（当且仅当时取等号，即或时取等号），所以本选项符合题意，故选：ACD11.下列判断错误的是（）-16- A.方程组的解集为B.C.的最小值为D.如果，那么【答案】AC【解析】【分析】根据集合的运算，不等式的性质等逐项判断即可.【详解】对于A，方程组的解集为点集，应该是，故A错误；对于B,，故B正确；对于C，当时，，故C错误；对于D，如果，则，那么，故D正确；故选：AC12.已知函数，其中，下列结论正确的是（）A.存在实数，使得函数为奇函数B.存在实数，使得函数为偶函数C.当时，的单调增区间为，D.当时，若方程有三个不等实根，则【答案】ACD【解析】【分析】A、B利用奇偶性定义及解析式判断是否存在实数使或；C、D写出的分段函数性质，结合参数a的范围，应用二次函数的性质判断单调区间，进而确定时方程根的情况求参数范围.-16- 【详解】由，显然当时有，但不存在实数使，A正确，B错误；且在处连续，当时，易知：在上递增，递减，上递增，C正确；由解析式，当时在上递增，递减，上递增，又，，要使有三个不等实根，即与有三个交点，所以，又，可得，D正确.故选：ACD第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共小题，共分）13.已知函数有两个零点，分别在1的两侧，则实数的取值范围是_____【答案】【解析】【分析】由题意知，列出不等式组求解即可.【详解】函数开口向上，由题意知，解得.故答案为：【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，函数的零点，考查数形结合思想，属于基础题.14.已知函数（且）的图像过点，其反函数的图像过点，则的值为___________.【答案】-16- 【解析】【分析】根据函数图象所过的点代入列式求解.【详解】函数（且）的图像过点，反函数的图像过点，可得原函数的图像过，所以，所以的值为.故答案为：15.已知，若方程有四个根，，，且，则的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】作出函数的图象，结合图象知，，得，将已知转化为求的范围，结合对勾函数的性质，即可求解.【详解】由题意，作出函数的图象，如图所示，因为方程有四个根，，，且，则由图象可知，，，又，可得，则则，由对勾函数的性质知在上单调递增，，即-16- 即的取值范围是.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中作出函数的图象，结合图象和对勾函数的性质求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力.16.设．（1）当时，f（x）的最小值是_____；（2）若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围是_____．【答案】①.②.[0，]【解析】【分析】（1）先求出分段函数的每一段的最小值，再求函数的最小值；（2）对分两种情况讨论，若a＜0，不满足条件．若a≥0，f（0）＝a2≤2，即0≤a，即得解.【详解】（1）当时，当x≤0时，f（x）＝（x）2≥（）2，当x＞0时，f（x）＝x22，当且仅当x＝1时取等号，则函数的最小值为，（2）由（1）知，当x＞0时，函数f（x）≥2，此时的最小值为2，若a＜0，则当x＝a时，函数f（x）的最小值为f（a）＝0，此时f（0）不是最小值，不满足条件．-16- 若a≥0，则当x≤0时，函数f（x）＝（x﹣a）2为减函数，则当x≤0时，函数f（x）的最小值为f（0）＝a2，要使f（0）是f（x）的最小值，则f（0）＝a2≤2，即0≤a，即实数a的取值范围是[0，]【点睛】本题主要考查分段函数最值的求法，考查分段函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.四、解答题（本大题共6小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知函数.（1）若，求的值；（2）求函数的值域.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根据函数解析式代入求解即可；（2）换元法转化为二次函数求值域即可得解.【小问1详解】因为，若，则，令，则方程为，解得或（舍去），所以，解得.【小问2详解】因为，令，则，所以当时，取得最小值，-16- 故的值域.18.已知，命题，；命题，使得.（1）若p是真命题，求a的最大值；（2）若p，q一个为真命题，一个为假命题，求a的取值范围；【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）先求出的范围，利用全称命题为真命题即可求得；（2）先求出命题q为真时a的取值范围，进而分类讨论：i.p真q假时和ii.p假q真时分别求出对应a的取值范围即可求解.【小问1详解】记，由在单调递增，所以.要使命题，为真命题，只需，即a的最大值为1.【小问2详解】命题，使得为真命题，则，解得：或.i.p真q假时，只需，所以；ii.p假q真时，只需或，所以；所以或.综上所述：a的取值范围为.19.已知集合是函数的定义域，集合是不等式（）的解集，：，：.（1）求集合，集合；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1），-16- （2）【解析】【分析】（1）利用分式根式有意义及一元二次不等式的解法即可求解；（2）将是的充分不必要条件转为真子集关系，利用真子集的定义即可求解.【小问1详解】因为，∴，即，解得，∴，∵（），∴，解得或，∴【小问2详解】∵是的充分不必要条件，∴，，令，则，∴且等号不同时成立，解得，∴实数取值范围是.20.已知函数，（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并给予证明；（3）求不等式的解集.【答案】（1）；（2）函数为奇函数；（3）.-16- 【解析】【分析】（1）真数位置大于0，得到的取值范围；（2）得到，然后判断与的关系，从而得到函数的奇偶性；（3）根据题意得到关于的不等式，从而得到的解集.【详解】解：（1）真数部分大于零，即解不等式，解得,函数的定义域为.（2）函数为奇函数，证明：由第一问函数的定义域为，，所以函数为奇函数.（3）解不等式，即即，从而有，所以.不等式的解集为.【点睛】本题考查函数的定义域，奇偶性，根据函数的性质解不等式，属于简单题.21.某商场新进一批成本为8400元的商品，如果每斤商品卖80元，可以卖出100斤.现在商场要进行商品促销活动，经调查，每斤商品的价格降低元，可以多卖出斤商品.（1）若要使这批商品不亏本，求的取值范围；-16- （2）设利润的参照率，求利润的参照率的最大值及这时的商品价格.（参考数据）【答案】（1）；（2）利参照率的最大值为，商品价格为元.【解析】【分析】（1）设每斤商品的价格降低元，可得商品售出斤，得出不等式，即可求解；（2）设商品的价格降低元，得出利润的参照率的表达式，结合基本不等式求得最小值，即可得到答案.【详解】（1）设每斤商品的价格降低元，可得商品售出斤，所以销售收入为元，令，即，即，解得，所以要使这批商品不亏本，求的取值范围为.（2）设商品的价格降低元，可得利润为，所以利润的参照率，当且仅当时，即时等号成立，所以利润的参照率的最大值为，这时的商品价格为元.-16- 【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，结合题意，求得利润的参照率的表达式，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于基础题.22.已知关于的不等式.（1）是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由；（2）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围；（3）若不等式对有解，求的取值范围.【答案】（1）不存在实数，理由见解析（2）（3）【解析】【分析】将转化为，（1）讨论和时的情况；（2），显然该函数单调，所以只需即可.（3）讨论当时，当时，当时，如何对有解，其中，，均为一元二次不等式，结合一元二次函数图象求解即可.【小问1详解】原不等式等价于，当时，，即，不恒成立；当时，若不等式对于任意实数恒成立，则且，无解；综上，不存在实数，使不等式恒成立.【小问2详解】设，当时，恒成立，-16- 当且仅当，即，解得即，所以的取值范围是.【小问3详解】若不等式对有解，等价于时，有解.令，当时，即，此时显然在有解；当时，时，结合一元二次函数图象，显然有解；当时，对称轴为，，时，有解，结合一元二次函数图象，易得：或，解得或（无解），又∵，;综上所述，的取值范围为.-16-