浙江省金华第一中学2023-2024学年高三数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

金华一中2024届高三数学10月月考试卷一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先求出，依题意阴影部分表示，再根据补集的定义计算可得；【详解】解：因为，，所以，由韦恩图可知阴影部分表示；故选：A2.已知是虚数单位，复数、在复平面内对应的点分别为、，则复数的共轭复数的虚部为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的几何意义和复数的除法计算法则即可计算.【详解】由题可知，，，， 则的共轭复数为：，其虚部为.故选：A﹒3.已知向量，，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用向量减法、模的坐标运算列方程，化简求得的值.【详解】，，，，.故选：A4.奥林匹克标志由五个互扣的环圈组成，五环象征五大洲的团结.五个奥林匹克环总共有8个交点，从中任取3个点，则这3个点恰好位于同一个奥林匹克环上的概率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出从8个点中任取3个点的所有情况，求出满足条件的情况即可求出.【详解】从8个点中任取3个点，共有种情况，这3个点恰好位于同一个奥林匹克环上有种情况，则所求的概率.故选：A. 5.等比数列的公比为q，前n项和为，则以下结论正确的是（）A.“q0”是“为递增数列”的充分不必要条件B.“q1”是“为递增数列”的充分不必要条件C.“q0”是“为递增数列”的必要不充分条件D.“q1”是“为递增数列”的必要不充分条件【答案】C【解析】【分析】等比数列为递增数列，有两种情况，或，从而判断出答案.【详解】等比数列为递增数列，则，或，所以等比数列为递增数列，但时，等比数列不一定为递增数列所以“q0”是“为递增数列”的必要不充分条件.故选：C6.为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计LOGO的比赛，其中某位同学利用函数图像的一部分设计了如图的LOGO，那么该同学所选的函数最有可能是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用导数研究各函数的单调性，结合奇偶性判断函数图象，即可得答案.【详解】A：，即在定义域上递增，不符合；B：，在上，在上，在上， 所以在、上递减，上递增，符合；C：由且定义域为，为偶函数，所以题图不可能在y轴两侧，研究上性质：，故递增，不符合；D：由且定义域为R，为奇函数，研究上性质：，故在递增，所以在R上递增，不符合；故选：B7.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，双曲线的左顶点为，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于，两点，其中点在轴右侧，若，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先由题意，得到以为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的渐近线为，求出点P，Q的坐标,结合条件求出，之间的关系，即可得出双曲线的离心率的取值范围．【详解】由题意，以为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的渐近线为，由，解得或，∴，． 又为双曲线的左顶点，则，∴，，∵，∴，即，∴，又，∴.故选：C.8.已知函数的图象关于对称，，且在上恰有3个极大值点，则的值等于（）A.1B.3C.5D.6【答案】C【解析】【分析】根据已知条件列不等式，从而求得的值.【详解】依题意，的图象关于对称，，且在上恰有3个极大值点，所以，其中，所以，，所以.故选：C二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得5分，有选昤的得0分，部分选对的得2分.9.下列说法正确的有（）A.若随机变量，则B.残差和越小，模型的拟合效果越好C.根据分类变量与的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05D.数据4，7，5，6，10，2，12，8的第70百分位数为8【答案】ACD【解析】【分析】利用正态分布的对称性求出概率判断A；利用回归模型的拟合效果判断B；利用独立性检验思想判断C；求出第70百分位数判断D作答.【详解】对于A，随机变量，由知，，A正确；对于B，因为残差平方和越小，模型的拟合效果越好，而残差和小，残差平方和不一定小，B错误；C，由可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05，C正确；对于D，对数据从小到大重新排序，即：，共8个数字，由，得这组数据的第70百分位数为第6个数8，D正确.故选：ACD10.在正方体中，M，N，P分别是面，面，面的中心，则下列结论正确的是（）A.B.平面C.平面D.与所成的角是 【答案】ABD【解析】【分析】A．利用三角形中位线进行证明；B．通过线面平行的定理证明；C．通过线面垂直的性质进行判断；D．通过平行的传递性找出即为与所成的角，即可求出答案．【详解】连接，则是的中位线，∴，故A正确；连接，，则，平面，平面，∴平面，即平面，故B正确；连接，则平面即为平面，显然不垂直平面，故C错误；∵，∴或其补角为与所成的角，，故D正确．故选：ABD．11.设点在圆上，圆方程为，直线方程为.则（）A.对任意实数和点，直线和圆有公共点B.对任意点，必存在实数，使得直线与圆相切C.对任意实数，必存在点，使得直线与圆相切D.对任意实数和点，圆和圆上到直线距离为1的点的个数相等【答案】ACD【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系判断．【详解】由题意，因此圆一定过原点，而直线总是过原点，A正确；当圆方程为时，过原点且与圆相切的直线是轴，不存在，B错误；对任意实数，作直线的平行线与圆相切，切点为，此时到直线的距离为1，即直线与 圆相切，C正确；易知对任意实数，圆上到直线距离为1的点有两个，作与直线平行且距离为1的两条直线和，（注意：和与圆恒相切），当直线过点时，直线和都与圆相切，两个切点到直线的距离为1，当直线不过点时，直线和中一条与圆相交，一条相离，两个交点与直线距离为1，即只有2个点，D正确．故选：ACD．12.设随机变量的分布列如下：12345678910则（）A.当等差数列时，B.数列的通项公式可能为C.当数列满足时，D.当数列满足时，【答案】BCD【解析】【分析】根据分布列的性质知，利用特殊值法可判断A，由裂项相消法求和可知B 正确；根据等比数列求和公式可判断C，利用的关系，可判断D.【详解】由题目可知；对于选项A，若为等差数列，则不成立，比如公差为0时，，故选项A不正确；对于选项B，显然，又，，因此选项B正确；对于选项C，由，则，所以，因此选项C正确；对于选项D，令，则即，，于是有，解得，于是有因此选项D正确.故选：BCD三､填空题：本大题共4小题，每小题5分.共20分.13.已知的展开式中第2项和第6项的二项式系数相等，则的展开式中的常数项为____________. 【答案】60【解析】【分析】利用已知求出的值，然后再求出展开式的通项公式，令的指数为零即可求解.【详解】由已知可得，第2项和第6项的二项式系数相等，则，解得，则的展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式的常数项为.故答案为：.14.已知函数的最小正周期为，其图象过点，则________．【答案】【解析】【分析】根据函数的最小正周期求出的值，由以及的取值范围可求得的值，可得出函数的解析式，再利用两角差的正弦公式可求得的值.【详解】因为函数的最小正周期为，则，则，因为，可得，，则，，因此，.故答案为：. 15.已知A，B是曲线上两个不同的点，，则的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】由曲线方程，结合根式的性质求x的范围，进而判断曲线的形状并画出草图，再由圆的性质、数形结合法判断的最值，即可得其范围.【详解】由，得.由，所以或当时，；当时，.所以表示的曲线为圆的左半部分和圆的右半部分.当A，B分别与图中的M，N重合时，取得最大值，为6；当A，B为图中E，F，G，H四点中的某两点时，取得最小值，为.故的取值范围是.故答案为：.16.如图，直三棱柱中，，点在棱上，且 ，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球的表面积为___________.【答案】【解析】【分析】首先设，利用垂直关系，可得，再结合基本不等式求面积的最值，以及等号成立的条件求，根据几何体的特征，求外接球的半径，即可求解外接圆的表面积.【详解】由余弦定理得：设，则，由得：，解得：，因为，故由基本不等式得：当且仅当，且时，即时取最小值.底面三角形外接圆半径，.故答案为：四､解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知的内角所对的边分别是向量，，且． （1）求角A；（2）若，的面积为，求b、c．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）由向量数量积的坐标运算代入中，利用正弦定理边化角的转化及进行化简得到，再利用辅助角公式得，根据条件求出；（2）由及（1）求出的值，在利用余弦定理及，求出的值，联立方程组解出结果.小问1详解】，根据正弦定理，即，因为，得，由，整理得，，即，，或，得或（舍去），即【小问2详解】，根据余弦定理，得，则，，又，则或18.已知正项等比数列满足，数列满足． （1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题可得，进而可得，，即得；（2）由题可得当n为奇数时，，当n为偶数时，，然后利用分组求和法即得.【小问1详解】设数列的公比为，∵正项等比数列满足，∴，两式相除可得，∴，，∴.【小问2详解】当n奇数时，，当n为偶数时，，∴，∴.19.如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，点为棱的中点，为边的中点. （1）求证：平面；（2）若侧面底面，且，，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）作出辅助线，证明出四边形为平行四边形，，从而求出线面平行；（2）建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用空间向量求解两平面夹角的余弦值.【小问1详解】取线段的中点，连接，，∵，分别为，的中点，∴且，∵底面是菱形，且为的中点，∴且，∴且.∴四边形为平行四边形，∴.又∵平面，平面，∴平面.【小问2详解】连接，由得是等边三角形，∴，∵侧面底面，侧面底面，底面， ∴侧面，因为，，由余弦定理的：，解得：，以为原点建立空间坐标系，如图所示.则，，，，则，，，，设平面的一个法向量，则，即，令，则.设平面的一个法向量为，则，即，解得：，令，则，故，∴， 所以平面与平面的夹角的余弦值为.20.已知函数.（1）设函数，且对成立，求的最小值；（2）若函数的图象上存在一点与函数的图象上一点关于轴对称，求的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用导数求函数的单调区间，由求的最小值；（2）问题转化为函数的图象与函数的图象有交点，列等式化简求出交点坐标可得的长.【小问1详解】，函数定义域为，则，由解得，解得，则函数在上单调递减，在上单调递增，∴，由题意，则，所以m的最小值为；【小问2详解】由题意的图象与函数的图象有交点，化为有解，设，则；则由得，由得，消去，得，显然； 当时，方程无解；当时，方程无解；故此方程的解为，即，∴，，则.【点睛】方法点睛：函数的图象上存在一点与函数的图象上一点关于x轴对称，可转化为的图象与函数的图象有交点，列出等式，利用指数式和对数式的运算，化简得到点纵坐标，可得的长.21.为倡导公益环保理念，培养学生社会实践能力，某中学开展了旧物义卖活动，所得善款将用于捐赠“圆梦困境学生”计划.活动共计50多个班级参与，1000余件物品待出售.摄影社从中选取了20件物品，用于拍照宣传，这些物品中，最引人注目的当属优秀毕业生们的笔记本，已知高三1，2，3班分别有，，的同学有购买意向.假设三个班的人数比例为.（1）现从三个班中随机抽取一位同学：（i）求该同学有购买意向的概率；（ii）如果该同学有购买意向，求此人来自2班的概率；（2）对于优秀毕业生的笔记本，设计了一种有趣的“掷骰子叫价确定购买资格”的竞买方式：统一以0元为初始叫价，通过掷骰子确定新叫价，若点数大于2，则在已叫价格基础上增加1元更新叫价，若点数小于3，则在已叫价格基础上增加2元更新叫价；重复上述过程，能叫到10元，即获得以10元为价格的购买资格，未出现叫价为10元的情况则失去购买资格，并结束叫价.若甲同学已抢先选中了其中一本笔记本，试估计其获得该笔记本购买资格的概率（精确到0.01）.【答案】（1）（i）；（ii）（2）0.75.【解析】【分析】（1）设事件“该同学有购买意向”，事件“该同学来自班”.根据全概率公式即可求解，根据条件概率公式即可求解；（2）由题意可得每次叫价增加1元的概率为，每次叫价增加2元的概率为.设叫价为元 的概率为，叫价出现元的情况只有下列两种：①叫价为元，且骰子点数大于2，其概率为；②叫价为元，且骰子点数小于3，其概率为.于是得到，构造等比数列，结合累加法可求解.【小问1详解】（i）设事件“该同学有购买意向”，事件“该同学来自班”.由题意可知，，所以，由全概率公式可得：.（ii）由条件概率可得.【小问2详解】由题意可得每次叫价增加1元的概率为，每次叫价增加2元的概率为.设叫价为元的概率为，叫价出现元的情况只有下列两种：①叫价为元，且骰子点数大于2，其概率为；②叫价为元，且骰子点数小于3，其概率为.于是得到，易得，由于，于是当时，数列是以首项为，公比为的等比数列，故.于是 于是，甲同学能够获得笔记本购买资格的概率约为0.75.【点睛】关键点睛：第二问中关键是设叫价为元的概率为，利用叫价为元是在叫价为元的基础上再叫价1元或在叫价为元的基础上再叫价2元，从而确定与的关系，再结合数列中的构造法和累加法即可求解.22.已知椭圆的离心率为，点在上，从原点向圆作两条切线，分别交椭圆于点，（1）求椭圆的方程；（2）若直线的斜率记为，求的值；（3）若，直线与在第一象限的交点为，点在线段上，且，试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由.【答案】（1）（2）（3）过定点，定点为【解析】【分析】（1）由函数的离心率求得，得出椭圆的方程；（2）因为直线和直线都与圆相切,得出是方程的两根，根据根与系数关系得出结果；（3）设直线的方程为，与椭圆方程联立消去，得到关于的方程，是方程的根.方程与直线方程联立，求出，由，求出为定值，得出结果.【小问1详解】 因为椭圆离心率所以，解得所以椭圆方程为【小问2详解】因为直线和直线都与圆相切所以，即是的两根，将两边平方，可得所以.又因为点在上，所以点，即，所以.【小问3详解】设直线的方程为，联立，整理可得，因为点在直线上，所以且，所以整理得：①联立，可得所以，又因为所以， 因为点在上所以，代入上式继续化简得，所以.由①可知，，所以解得所以（此时点在第三象限，不合题意，舍去），所以直线过定点.【点睛】圆锥曲线中直线斜率之积为定值方法点睛：本题中的两条直线与圆相切，根据关系得出关于的方程，根据根与系数关系得出结论.