浙江省金华第一中学2023-2024学年高一数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

金华一中2023学年高一十月月考试卷数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.已知集合，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由补集和交集的定义求解即可.【详解】由题可得，则.故选：C2.给出下列关系式，错误的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据元素与集合的关系，以及集合与集合之间的关系，逐项判定，即可求解.【详解】A中，根据元素与集合间的关系，可得，所以A正确；B中，根据空集是任何集合的子集，可得，所以B正确；C中，根据集合与集合间的关系，可得，所以不正确；D中，根据集合的定义，可得，所以D正确.故选：C.3.函数的定义域是（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】依题意可得，求解即可.【详解】依题意可得，解得，所以函数的定义域是.故选：B.4.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先解分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可．【详解】解：因为，所以，，，或，当时，或一定成立，所以“”是“”的充分条件；当或时，不一定成立，所以“”是“”的不必要条件．所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A5.已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（）AB.C.D.【答案】A【解析】【分析】由一元一次不等式求得，且；由此化简二次不等式并求出解集.【详解】由关于x的不等式的解集是， 得且，则关于x的不等式可化为，即，解得：或，所求不等式的解集为：.故选：A.【点睛】本小题主要考查一元一次不等式、一元二次不等式的解法，属于基础题.6.用一架两臂不等长的天平称黄金，先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，则两次共称得的黄金（）A.大于B.等于C.小于D.无法确定【答案】A【解析】【分析】由杠杆原理与基本不等式求解【详解】设左右两臂的长度为，两次取的黄金重量为克，显然，则，化简得，由基本不等式得故选：A7.对任意，，都有，则实数的最大值为A.B.C.4D.【答案】B【解析】【分析】原不等式化为，换元得到恒成立，结合二次函数图像的性质列式求解即可.【详解】∵，，∴令，∴，不妨设 ∴或，解得：或综上：，∴的最大值为故答案为B.【点睛】本题主要考查学生对于齐二次不等式（或方程）的处理方法，将多变量问题转化成单变量问题，进而利用二次函数或者基本不等式进行求解.8.若，且，则的最小值为（）A.3B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先把转化为，再将，根据基本不等式即可求出．【详解】，且，，，，，当且仅当，即，时取等号， 故的最小值为，故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若，则（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】利用不等式的性质及基本不等式一一判定即可.【详解】对于A项，，因为，所以，即A正确；对于B项，，由上可知，即B正确；对于C项，，即C错误；对于D项，，当且仅当时取得等号，又，所以，即D正确.故选：ABD10.下列命题正确的是（）A.命题“，”的否定是“，”B.与是同一个函数C.函数的值域为D.若函数的定义域为，则函数的定义域为【答案】AD【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题可判断A；求出两个函数的定义域可判断B；利用换元法令，求出的值域可判断C；根据抽象函数定义域的求法可判断D..【详解】对于A，命题“，”的否定是“，”，故A正确；对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不一样，所以两个函数不是同一个函数，故B错误；对于C，函数的定义域为，函数，令，则，所以，所以函数的值域为，故C错误；对于D，若函数的定义域为，可得，则函数的定义域为，故D正确.故选：AD.11.若实数a，b满足，则下列说法正确的有（）A.的取值范围为B.的取值范围是C.的取值范围是D.的取值范围是【答案】ABC【解析】【分析】利用不等式的性质判断AB；求得，然后利用不等式的性质判断CD；【详解】由，两式相加得，即，故A正确；由，得，又，两式相加得，即，故B正确；设，所以，解得，则， 因为，所以，又因为，所以，所以，即，故C正确，D错误.故选：ABC.12.若，，且，下列结论正确的是（）A.的最大值为B.的最小值为6C.的最小值为D.的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】选项A，可通过直接使用基本不等式去求解mn的最大值；选项B，可使用“1”的代换，从而构造出乘积为定值的两项和的关系，然后再使用基本不等式求解；选项C，首先先将扩大，然后再让式子乘以两个分式分母组成的和，构造出乘积为定值的两项和的关系，然后再使用基本不等式求解，选项D，可直接求解出该式子的最小值，从而完成判断求解.【详解】选项A，因为，，所以，当且仅当，即时等号成立，故该选项正确；选项B，因为，，当且仅当，即时等号成立，故该选项不正确；选项C，，当且仅当，即时等号成立，故该选项正确； 选项D，，当且仅当，即时等号成立，故该选项正确；故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知，则______.【答案】【解析】【分析】在中，将x换成x-1,代入即得f(x).【详解】在中，将x换成x-1，可得，故答案为：【点睛】本题考查了函数解析式的求法，考查了学生综合分析问题的能力，属于基础题.14.已知集合，，且，则___________．【答案】3或【解析】【分析】根据集合的交集的含义结合集合元素的互异性性质，即可求得答案.【详解】因为，，故，又，若，若，则；当时，，，符合题意；当时，，，不合题意，当时，，，符合题意，故或，故答案为：或 15.命题“对任意的，总存在唯一的，使得”成立的充要条件是______.【答案】【解析】【分析】方程变形为，转化为函数与与有且仅有一个交点，依据，，分类讨论，数形结合，求解a的范围即可【详解】由得：；当时，，则，解得：,∵，，满足题意；当时，；若存在唯一的，使得成立，则与有且仅有一个交点，在平面直角坐标系中作出在上的图象如下图所示，由图象可知：当时，与有且仅有一个交点，∴，解得：，则；当时，,结合图象可得：，解得：，则；综上所述：原命题成立的充要条件为，故答案为：-1<a<1.16.定义为与x距离最近的整数（当x为两相邻整数算术平均数时，取较大整数），令函数，如：，，，，则______.【答案】 【解析】【分析】首先确定各相邻整数算术平均数在中哪两个数之间，再根据函数新定义判断的对应值，进而求目标式的值.【详解】，，，，，，，，，所以，，，，，，，，，，所以.故答案为：【点睛】关键点点睛：找到各相邻整数算术平均数在中的位置为关键.四、解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合，.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）解一元二次不等式化简集合A，再把代入，利用补集、交集定义求解作答.（2）由已知可得，再利用集合的包含关系分类求解作答.【小问1详解】解不等式，得，即，当时，，，所以.【小问2详解】由（1）知，，由，得，当，即时，，满足，因此；当，即时，，即有，则，解得，因此，所以实数取值范围.18.要设计一张矩形广告，该广告含有左､右全等的两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为200，四周空白的宽度为2，两栏之间的中缝空白的宽度为4.请设计广告的长与宽的尺寸，使矩形广告面积最小，并求出最小值.【答案】广告的长为28，长为14时，可使广告的面积最小，最小值为392【解析】【分析】 先设一个矩形栏目的长为和广告的面积为S，接着用表示出栏目的宽、广告的长、广告的宽；再建立函数关系，接着由基本不等式求面积的最小值；最后判断等号成立的条件并作答.【详解】解：设一个矩形栏目的长为x，广告的面积为S.则两栏的面积之和为200，得宽为，广告的长为，宽为，其中广告的面积，当且仅当即时，等号成立，此时广告的宽为，高为，S取得最小值392.答：广告的长为28，长为14时，可使广告的面积最小，最小值为392【点睛】本题考查根据实际问题建立函数关系、利用基本不等式求最值，是基础题.19.（1）已知，，试比较与的大小并证明；（2）如果x，，比较与的大小并证明.【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析.【解析】【分析】（1）（2）应用作差法比较代数式的大小关系即可.【详解】（1），证明如下：，若，则，故，即；若，则；若，则，故，即； 综上，.（2），证明如下：，当且仅当时等号成立，故.20.设．（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；（2）解关于的不等式．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）讨论和两种情况，按开口方向和判别式列不等式组，解出实数的取值范围；（2）按，和三种情况分类讨论，当，比较和1的大小，分情况写出不等式的解集．【小问1详解】由得，恒成立，当时，不等式可化为，不满足题意；当时，满足，即，解得；故实数的取值范围是．【小问2详解】不等式，等价于．当时，不等式可化为，所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为，此时，所以不等式的解集为；当时，不等式可化为，①当时，，不等式的解集为；②当时，，不等式的解集为或；③当时，，不等式的解集为或.综上：当时，等式的解集为或当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.21.已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为1.8元/千克，每次购买配料需支付运费236元，每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7天以内（含7天），无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付．（1）当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用是多少元？（2）设该厂天购买一次配料，求该厂在这天中用于配料的总费用（元）关于的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？【答案】（1）88元；（2），天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少；【解析】【分析】（1）首先求出第天、第天剩余配料的重量，再根据题意计算可得；（2）分和，两种情况讨论，分别求出函数解析式，设该厂天购买一次配料平均每天支付的费用为元，即可得到的解析式，再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：（1）第8天剩余配料（千克），第9天剩余配料（千克），当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用（元，即当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用是88元．（2）①当且时，；②当且时，，．所以，设该厂天购买一次配料平均每天支付的费用为元，当且时，，当且时，，当且时，当且仅当时，有最小值（元，当且时，当且仅当即时取等号，当时有最小值393元，即天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少；22.如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”.已知函数的定义域为且.（Ⅰ）若，，求的定义域；（Ⅱ）当时，若为“同域函数”，求实数的值；（Ⅲ）若存在实数且，使得为“同域函数”，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】 【分析】（Ⅰ）当，时，解出不等式组即可；（Ⅱ）当时，，分、两种情况讨论即可；（Ⅲ）分、且、且三种情况讨论即可.【详解】（Ⅰ）当，时，由题意知：，解得：.∴的定义域为；（Ⅱ）当时，，（1）当，即时，的定义域为，值域为，∴时，不是“同域函数”.（2）当，即时，当且仅当时，为“同域函数”.∴.综上所述，的值为.（Ⅲ）设的定义域为，值域为.（1）当时，，此时，，，从而，∴不是“同域函数”.（2）当，即，设，则的定义域.①当，即时，的值域.若为“同域函数”，则，从而，，又∵，∴的取值范围为. ②当，即时，的值域.若为“同域函数”，则，从而，此时，由，可知不成立.综上所述，的取值范围为