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浙江省金华第一中学2023-2024学年高一数学上学期10月月考试题(Word版附解析)
浙江省金华第一中学2023-2024学年高一数学上学期10月月考试题(Word版附解析)
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金华一中2023学年高一十月月考试卷数学一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求.1.已知集合,,,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由补集和交集的定义求解即可.【详解】由题可得,则.故选:C2.给出下列关系式,错误的是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据元素与集合的关系,以及集合与集合之间的关系,逐项判定,即可求解.【详解】A中,根据元素与集合间的关系,可得,所以A正确;B中,根据空集是任何集合的子集,可得,所以B正确;C中,根据集合与集合间的关系,可得,所以不正确;D中,根据集合的定义,可得,所以D正确.故选:C.3.函数的定义域是()A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】依题意可得,求解即可.【详解】依题意可得,解得,所以函数的定义域是.故选:B.4.“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先解分式不等式,再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解:因为,所以,,,或,当时,或一定成立,所以“”是“”的充分条件;当或时,不一定成立,所以“”是“”的不必要条件.所以“”是“”的充分不必要条件.故选:A5.已知关于x的不等式的解集是,则关于x的不等式的解集是()AB.C.D.【答案】A【解析】【分析】由一元一次不等式求得,且;由此化简二次不等式并求出解集.【详解】由关于x的不等式的解集是, 得且,则关于x的不等式可化为,即,解得:或,所求不等式的解集为:.故选:A.【点睛】本小题主要考查一元一次不等式、一元二次不等式的解法,属于基础题.6.用一架两臂不等长的天平称黄金,先将的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将的砝码放在天平右盘中,再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡,则两次共称得的黄金()A.大于B.等于C.小于D.无法确定【答案】A【解析】【分析】由杠杆原理与基本不等式求解【详解】设左右两臂的长度为,两次取的黄金重量为克,显然,则,化简得,由基本不等式得故选:A7.对任意,,都有,则实数的最大值为A.B.C.4D.【答案】B【解析】【分析】原不等式化为,换元得到恒成立,结合二次函数图像的性质列式求解即可.【详解】∵,,∴令,∴,不妨设 ∴或,解得:或综上:,∴的最大值为故答案为B.【点睛】本题主要考查学生对于齐二次不等式(或方程)的处理方法,将多变量问题转化成单变量问题,进而利用二次函数或者基本不等式进行求解.8.若,且,则的最小值为()A.3B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先把转化为,再将,根据基本不等式即可求出.【详解】,且,,,,,当且仅当,即,时取等号, 故的最小值为,故选:D.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.若,则()A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】利用不等式的性质及基本不等式一一判定即可.【详解】对于A项,,因为,所以,即A正确;对于B项,,由上可知,即B正确;对于C项,,即C错误;对于D项,,当且仅当时取得等号,又,所以,即D正确.故选:ABD10.下列命题正确的是()A.命题“,”的否定是“,”B.与是同一个函数C.函数的值域为D.若函数的定义域为,则函数的定义域为【答案】AD【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题可判断A;求出两个函数的定义域可判断B;利用换元法令,求出的值域可判断C;根据抽象函数定义域的求法可判断D..【详解】对于A,命题“,”的否定是“,”,故A正确;对于B,函数的定义域为,函数的定义域为,两个函数的定义域不一样,所以两个函数不是同一个函数,故B错误;对于C,函数的定义域为,函数,令,则,所以,所以函数的值域为,故C错误;对于D,若函数的定义域为,可得,则函数的定义域为,故D正确.故选:AD.11.若实数a,b满足,则下列说法正确的有()A.的取值范围为B.的取值范围是C.的取值范围是D.的取值范围是【答案】ABC【解析】【分析】利用不等式的性质判断AB;求得,然后利用不等式的性质判断CD;【详解】由,两式相加得,即,故A正确;由,得,又,两式相加得,即,故B正确;设,所以,解得,则, 因为,所以,又因为,所以,所以,即,故C正确,D错误.故选:ABC.12.若,,且,下列结论正确的是()A.的最大值为B.的最小值为6C.的最小值为D.的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】选项A,可通过直接使用基本不等式去求解mn的最大值;选项B,可使用“1”的代换,从而构造出乘积为定值的两项和的关系,然后再使用基本不等式求解;选项C,首先先将扩大,然后再让式子乘以两个分式分母组成的和,构造出乘积为定值的两项和的关系,然后再使用基本不等式求解,选项D,可直接求解出该式子的最小值,从而完成判断求解.【详解】选项A,因为,,所以,当且仅当,即时等号成立,故该选项正确;选项B,因为,,当且仅当,即时等号成立,故该选项不正确;选项C,,当且仅当,即时等号成立,故该选项正确; 选项D,,当且仅当,即时等号成立,故该选项正确;故选:ACD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13已知,则______.【答案】【解析】【分析】在中,将x换成x-1,代入即得f(x).【详解】在中,将x换成x-1,可得,故答案为:【点睛】本题考查了函数解析式的求法,考查了学生综合分析问题的能力,属于基础题.14.已知集合,,且,则___________.【答案】3或【解析】【分析】根据集合的交集的含义结合集合元素的互异性性质,即可求得答案.【详解】因为,,故,又,若,若,则;当时,,,符合题意;当时,,,不合题意,当时,,,符合题意,故或,故答案为:或 15.命题“对任意的,总存在唯一的,使得”成立的充要条件是______.【答案】【解析】【分析】方程变形为,转化为函数与与有且仅有一个交点,依据,,分类讨论,数形结合,求解a的范围即可【详解】由得:;当时,,则,解得:,∵,,满足题意;当时,;若存在唯一的,使得成立,则与有且仅有一个交点,在平面直角坐标系中作出在上的图象如下图所示,由图象可知:当时,与有且仅有一个交点,∴,解得:,则;当时,,结合图象可得:,解得:,则;综上所述:原命题成立的充要条件为,故答案为:-1<a<1.16.定义为与x距离最近的整数(当x为两相邻整数算术平均数时,取较大整数),令函数,如:,,,,则______.【答案】 【解析】【分析】首先确定各相邻整数算术平均数在中哪两个数之间,再根据函数新定义判断的对应值,进而求目标式的值.【详解】,,,,,,,,,所以,,,,,,,,,,所以.故答案为:【点睛】关键点点睛:找到各相邻整数算术平均数在中的位置为关键.四、解答题:本小题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合,.(1)当时,求;(2)若,求实数的取值范围. 【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)解一元二次不等式化简集合A,再把代入,利用补集、交集定义求解作答.(2)由已知可得,再利用集合的包含关系分类求解作答.【小问1详解】解不等式,得,即,当时,,,所以.【小问2详解】由(1)知,,由,得,当,即时,,满足,因此;当,即时,,即有,则,解得,因此,所以实数取值范围.18.要设计一张矩形广告,该广告含有左、右全等的两个矩形栏目(即图中阴影部分),这两栏的面积之和为200,四周空白的宽度为2,两栏之间的中缝空白的宽度为4.请设计广告的长与宽的尺寸,使矩形广告面积最小,并求出最小值.【答案】广告的长为28,长为14时,可使广告的面积最小,最小值为392【解析】【分析】 先设一个矩形栏目的长为和广告的面积为S,接着用表示出栏目的宽、广告的长、广告的宽;再建立函数关系,接着由基本不等式求面积的最小值;最后判断等号成立的条件并作答.【详解】解:设一个矩形栏目的长为x,广告的面积为S.则两栏的面积之和为200,得宽为,广告的长为,宽为,其中广告的面积,当且仅当即时,等号成立,此时广告的宽为,高为,S取得最小值392.答:广告的长为28,长为14时,可使广告的面积最小,最小值为392【点睛】本题考查根据实际问题建立函数关系、利用基本不等式求最值,是基础题.19.(1)已知,,试比较与的大小并证明;(2)如果x,,比较与的大小并证明.【答案】(1),证明见解析;(2),证明见解析.【解析】【分析】(1)(2)应用作差法比较代数式的大小关系即可.【详解】(1),证明如下:,若,则,故,即;若,则;若,则,故,即; 综上,.(2),证明如下:,当且仅当时等号成立,故.20.设.(1)若不等式对一切实数恒成立,求实数的取值范围;(2)解关于的不等式.【答案】(1)(2)答案见解析【解析】【分析】(1)讨论和两种情况,按开口方向和判别式列不等式组,解出实数的取值范围;(2)按,和三种情况分类讨论,当,比较和1的大小,分情况写出不等式的解集.【小问1详解】由得,恒成立,当时,不等式可化为,不满足题意;当时,满足,即,解得;故实数的取值范围是.【小问2详解】不等式,等价于.当时,不等式可化为,所以不等式的解集为; 当时,不等式可化为,此时,所以不等式的解集为;当时,不等式可化为,①当时,,不等式的解集为;②当时,,不等式的解集为或;③当时,,不等式的解集为或.综上:当时,等式的解集为或当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为或;当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为.21.已知某食品厂需要定期购买食品配料,该厂每天需要食品配料200千克,配料的价格为1.8元/千克,每次购买配料需支付运费236元,每次购买来的配料还需支付保管费用,其标准如下:7天以内(含7天),无论重量多少,均按10元/天支付;超出7天以外的天数,根据实际剩余配料的重量,以每天0.03元/千克支付.(1)当9天购买一次配料时,求该厂用于配料的保管费用是多少元?(2)设该厂天购买一次配料,求该厂在这天中用于配料的总费用(元)关于的函数关系式,并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少?【答案】(1)88元;(2),天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少;【解析】【分析】(1)首先求出第天、第天剩余配料的重量,再根据题意计算可得;(2)分和,两种情况讨论,分别求出函数解析式,设该厂天购买一次配料平均每天支付的费用为元,即可得到的解析式,再利用基本不等式计算可得; 【详解】解:(1)第8天剩余配料(千克),第9天剩余配料(千克),当9天购买一次时,该厂用于配料的保管费用(元,即当9天购买一次配料时,求该厂用于配料的保管费用是88元.(2)①当且时,;②当且时,,.所以,设该厂天购买一次配料平均每天支付的费用为元,当且时,,当且时,,当且时,当且仅当时,有最小值(元,当且时,当且仅当即时取等号,当时有最小值393元,即天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少;22.如果一个函数的值域与其定义域相同,则称该函数为“同域函数”.已知函数的定义域为且.(Ⅰ)若,,求的定义域;(Ⅱ)当时,若为“同域函数”,求实数的值;(Ⅲ)若存在实数且,使得为“同域函数”,求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ).【解析】 【分析】(Ⅰ)当,时,解出不等式组即可;(Ⅱ)当时,,分、两种情况讨论即可;(Ⅲ)分、且、且三种情况讨论即可.【详解】(Ⅰ)当,时,由题意知:,解得:.∴的定义域为;(Ⅱ)当时,,(1)当,即时,的定义域为,值域为,∴时,不是“同域函数”.(2)当,即时,当且仅当时,为“同域函数”.∴.综上所述,的值为.(Ⅲ)设的定义域为,值域为.(1)当时,,此时,,,从而,∴不是“同域函数”.(2)当,即,设,则的定义域.①当,即时,的值域.若为“同域函数”,则,从而,,又∵,∴的取值范围为. ②当,即时,的值域.若为“同域函数”,则,从而,此时,由,可知不成立.综上所述,的取值范围为
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