四川省兴文第二中学2023-2024学年高三数学（理）上学期10月月考试题（Word版附解析）

兴文二中高2021级高三10月考试数学（理工类）本试卷共23小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合N={x|x2-x-2≤0}，M={-2,0,1}，则M∩N=（）A.[-1，2]B.[-2，1]C.D.【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再利用集合的交运算即可求解.【详解】由，M={-2，0，1}，则M∩N=.故选：D【点睛】本题考查了集合的交运算、一元二次不等式的解法，考查了基本运算能力，属于基础题.2.已知是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的代数形式的几何意义得到对应点的坐标，进而判定.【详解】复数对应的点的坐标为,为第四象限的点，故选:D.3.某学校共有学生人，其中高一年级人，高二年级与高三年级人数相等，学校为了了解学生在寒假期间每天的读书时间，按照分层抽样的方法从全校学生中抽取人，则应从高二年级抽取的人数为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】设高二年级应抽取人，根据分层抽样的含义列出方程，解出即可.【详解】由题意知，高二年级有600人，设高二年级应抽取人，则，得，故选：B.4.已知均为单位向量，若，则与的夹角为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先根据题意得，再根据向量夹角公式即可得答案.【详解】解：由，均为单位向量，得，所以，故与的夹角为.故选：B.【点睛】本题考查向量夹角的计算公式，向量模的计算，考查运算能力，是基础题.5.已知，，，则a，b，c的大小关系（）A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.b>a>c【答案】D【解析】【分析】利用指数、对数的运算和指数函数的单调性判断.【详解】因为，，，所以b>a>c 故选：D【点睛】本题主要考查指数、对数和幂的大小比较，属于基础题.6.已知和是两个互相垂直的单位向量，，则是和夹角为的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】计算出，利用向量夹角公式求出，根据充分不必要条件的判定即可得到答案.【详解】，，，，令，解得，则和夹角为，，则可得到和夹角为，故是和夹角为的充分不必要条件.故选：A.7.已知函数，则的图象大致为（）AB.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据给定的函数，由时的单调性排除两个选项，当时，利用导数探讨函数的单调性、极值判断作答. 【详解】函数的定义域为，当时，，因为函数在上递增，函数在上递减，因此函数在上递增，BD错误；当时，，求导得：在上递增，，，而，即有，则存在，使得，当时，，当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，C选项不满足，A选项符合要求.故选：A8.设函数是定义在R上的奇函数，且，若，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据是奇函数，可得，即可求出，进而可求.【详解】是奇函数，，即，即，，，.故选：C.9.已知，，则下列选项正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】构造函数，，由其单调性结合图象得出大小关系.【详解】构造函数，，，，易知函数，增函数.函数，与函数的图象，如下图所示：由图可知，.又，，所以.综上，.故选：B10.锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据余弦定理和正弦定理化简得，再求出的范围即可.【详解】由，得，由余弦定理得，∴，即，由正弦定理得，∵，∴，即.∵，∴，∴， 又为锐角三角形，∴，∴，解得，又，，，∴，∴.故选：B.11.在中，为的中点．将沿翻折，得到三棱锥，当二面角为时，三棱锥的外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意得该三棱锥的面，是边长为1的正三角形，平面，将三棱锥补形成正三棱柱，三棱锥的外接球球心就是正三棱柱的外接球球心，求出其半径可得解.【详解】由题意，，二面角的平面角是，，又，是边长为1的正三角形，平面，将三棱锥补形成正三棱柱，三棱锥的外接球球心就是正三棱柱的外接球球心，取外接圆的圆心，外接圆的圆心，根据对称性知正三棱柱的外接球球心是的中点，，，又是边长为1的正三角形，点是其外心，，在中，，即，三棱锥的外接球的表面积为. 故选：C.12.已知函数，，对任意，，都有不等式成立，则a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】将问题转化为，利用导数求在上的最小值、在上的最小值，即可得结果.【详解】对任意，，都有不等式成立，，，，则在区间上单调递增，∴，，，，则在上单调递增，，，则在上单调递减，，，故，综上，.故选：C第II卷非选择题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.已知，满足，则目标函数的最大值是________.【答案】【解析】【分析】作出不等式组所表示的区域，转化为直线在轴上的截距最大值问题即可.【详解】根据题意，作出所表示的可行域，如图：由，得，作出的平行直线簇，结合图像可知当经过点时，截距取得最大值，即取得最大值，联立，解得，即，所以.故答案为：5.14.若周期为的函数，在其定义域内是偶函数，则函数的一个解析式为________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据奇偶性和周期性直接构造即可.【详解】为偶函数，若其最小正周期为，则，一个满足题意的解析式为.故答案为：（答案不唯一）. 15.已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则______.【答案】##【解析】【分析】根据三角函数的定义和二倍角公式可得答案.【详解】根据三角函数的定义可知，，由二倍角公式得.故答案为：.16.，其最大值和最小值的和为____________．【答案】0【解析】【分析】证明函数是奇函数即得解.【详解】由题得函数的定义域为，关于原点对称.所以是奇函数，故其最大值和最小值的和为0．故答案为：0三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知函数在与处都取得极值.（1）求，的值；（2）若方程有三个实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，由给定的极值点列出方程，求解验证作答.（2）求出函数的极大值和极小值，再根据三次函数的图象特征列不等式即可求解作答.【小问1详解】由求导得：，依题意，，解得，此时，，当或时，，当时，，即，是函数的极值点，所以.【小问2详解】由（1）知，，令，，由（1）知，在，上单调递增，在上单调递减，当时，取极大值，当时，取极小值，因方程有三个实数根，则函数有三个零点，于是得，解得，所以实数的取值范围是. 18.已知函数的两个相邻的对称中心的距离为．（1）求在上的单调递增区间；（2）当时，关于x的方程有两个不相等的实数根，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角正弦公式、降幂公式、辅助角公式化简函数的解析式，结合正弦型函数的对称性和单调性进行求解即可；（2）根据正弦函数的对称性，结合两角和的余弦公式进行求解即可,【小问1详解】，由题意知，的最小正周期为，所以，解得，∴，令，解得取，则取，则，所以在上单调递增区间为．【小问2详解】 由（1）知，当时，，由的对称性可知，解得，所以19.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求B；（2）若，当取最大值时，求外接圆的半径．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用切化弦、和差角的正弦和正弦定理化简已知等式即得解；（2）由题得，平方得，再利用基本不等式求出，由余弦定理和勾股定理求出，再利用正弦定理求出三角形外接圆半径.【小问1详解】，即，，即，则，又，．【小问2详解】 由题得,所以，所以，所以，所以（当且仅当时取等）所以.由余弦定理得.所以，所以.所以设外接圆的半径为,所以所以外接圆的半径为.20.如图，在三棱锥中，是等边三角形，，是边的中点.（1）求证：；（2），，平面与平面所成二面角为，求直线与平面 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）.【解析】【分析】（1）连接，根据题意证得，结合线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得；（2）过作的垂线，由平面，以为原点建立空间直角坐标系，根据题意求得平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：如图所示，连接，因为是等边三角形，所以在和中，因为，，所以，所以，又因为是边的中点，所以，.因为，平面，平面，所以平面，又因为平面，所以.【小问2详解】解：在中，过作的垂线，交与点，由（1）可得平面，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示，又由，且平面与平面所成二面角为，因为，，所以为平面与平面所成二面角的平面角，即，所以，可得，，，，，设平面的法向量为，且，则，令，则，，所以 又因为，设直线与平面所成角为，则，可得，即直线与平面所成角的余弦值为.21.已知函数，.（1）当时，求的单调区间；（2）当，讨论的零点个数；【答案】（1）单调递减区间，；单调递增区间为，；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性，只研究在上单调性，利用导数根据其函数值的正负，即可求得函数的单调区间；（2）对参数进行分类讨论，根据函数的单调性以及最值，即可求得函数的零点个数.【详解】∵∴为偶函数，只需先研究,,,当，，当，， 所以在单调递增，在，单调递减,所以根据偶函数图象关于轴对称，得在单调递增，在单调递减，故单调递减区间为：，；单调递增区间为：，.（2）,①时，在恒成立,∴在单调递增又，所以在上无零点②时，，使得，即.又在单调递减，所以，，，所以，单调递增，，单调递减，又，（i），即时在上无零点，又为偶函数，所以在上无零点，（ii），即.在上有1个零点，又为偶函数，所以在上有2个零点，综上所述，当时，在上有2个零点， 当时，在上无零点.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及零点个数，属综合中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）射线：与曲线交于点A，射线：与曲线交于点B．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系；（1）直接写出曲线、射线的极坐标方程．（2）求△AOB的面积．【答案】（1）曲线的极坐标方程为，射线的极坐标方程为（2）【解析】【分析】（1）曲线表示单位圆，直接写出极坐标方程，射线表示轴非负半轴，即可求极坐标方程；（2）首先求点的极坐标，再求的面积.【小问1详解】曲线的极坐标方程为，射线的极坐标方程为；注：没有注明也是正确的．【小问2详解】的极坐标方程为，射线的极坐标方程． 由得点A的一个极坐标为．由，得点B的一个极坐标为．∴．选修4-5：不等式选讲23.已知函数，记的最小值为m.（1）求m；（2）若，求的最小值.【答案】（1）1;（2）.【解析】【分析】（1）将写成分段函数的形式，求出分段函数的最小值，即可得到结果；（2）由（1）可知，再利柯西不等式求出最小值.【小问1详解】当时，；当时，；当时，；综上，，故．【小问2详解】， ，即当且仅当时，即时等号成立，的最小值为．