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安徽省九师联盟2023-2024学年高三数学上学期10月期中试题(Word版附解析)

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高三数学考生注意:1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分,考试时间120分钟.2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时,请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围:集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数、三角函数、三角恒等变换、解三角形、平面向量、复数.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足,则()A.B.2C.D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法求出复数,再利用复数模的公式计算.【详解】复数满足,则,.故选:A2.设集合,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先化简集合,再利用集合的交并补运算求解即可,【详解】由题意得,,则,则,故A错误;,或,则,故B正确; 又,,故C错误;,故D错误.故选:B.3.已知是角的终边上一点,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由三角函数的定义可得,进而由商数关系可求.【详解】因为是角的终边上一点,所以,则,故选:B.4.已知平面向量和实数,则“”是“与共线”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据平面向量共线的判定定理结合充分、必要条件分析判断.【详解】若,则与共线,可知充分性成立;若与共线,例如,则不成立,可知必要性不成立;所以“”是“与共线”的充分不必要条件.故选:A.5.扇子是引风用品,夏令必备之物.我国传统扇文化源远流长,是中华文化的一个组成部分.历史上最早的扇子是一种礼仪工具,后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品.扇子的种类较多,受大众喜爱的有团扇和折扇.如图1 是一把折扇,是用竹木做扇骨,用特殊纸或绫绢做扇面而制成的.完全打开后的折扇为扇形(如图2),若图2中分别在上,的长为,则该折扇的扇面的面积为()图1图2A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由扇形弧长公式求半径,利用扇形面积公式求得大扇形与小扇形面积,再作差即可求扇面面积.【详解】由弧长公式可得,,所以,则,所以该折扇的扇面面积为,故选:D.6.已知,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据指、对数函数单调性结合中间值“1”分析判断.【详解】因为,可知,且在定义域内单调递减,则,即,所以.故选:C. 7.如图,已知两个单位向量和向量与夹角为,且与的夹角为,若,则()A.B.C.1D.【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐标系结合三角函数的定义及恒等变换得B、C坐标,再利用平面向量的坐标表示计算即可.【详解】如图所示,建立平面直角坐标系,则,又,结合三角函数的定义易得,而,,所以,故,即.故选:D 8.已知函数有三个零点,且,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】令,将方程转化为,设,且,由导数得出的单调性与值域,并画出简图,设,则,得,分类讨论的范围,即可得出的范围.【详解】令,得,当时,,即或,只有2个零点,不合题意,故,又, 所以,设,且,则,令,解得,且,当时,,则单调递减,当时,,则单调递减,当时,,则单调递增,则在的最小值为,画出简图,如图所示,所以当时,,当时,,设,则,变形为,记,令,则,画出简图,如图所示, ①当时,只有一个根,则只有一个根,不合题意;②当时,有两个根,则有一个根,有两个根,符合题意;③当时,有两个根,则有一个根,有一个根,不合题意;综上所述,,即,故选:D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知函数为的两个极值点,且的最小值为,直线为图象的一条对称轴,将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象,则()A.B. C.的图象关于点对称D.的图象关于点对称【答案】BD【解析】【分析】选项A,由的最小值为可得周期,进而解得;选项B,由对称轴代入函数可得最值,解即可;选项C,代入验证知C项错误;选项D可证明.【详解】选项A,因为为的两个极值点,且的最小值为,所以的周期,所以,故A错误;则,选项B,由为图象的一条对称轴,所以,即,因为,所以,故B正确;则,将的图象向左平移个单位长度,得,选项C,若的图象关于点对称,则,但,故C错误;选项D,由,得,即的图象关于点对称,故D正确. 故选:BD.10.下列式子中最小值为4的是()A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】对于ABC:利用基本不等式运算求解;对于D:取特值代入检验.【详解】对于选项A:因为,则,当且仅当,即时等号成立,但,所以的最小值不为4,故A错误;对于选项B:因为,则,当且仅当,即时,等号成立,所以的最小值为4,故B正确;对于选项C:因为,则,当且仅当,即时,等号成立,故C成立;对于选项D:令,可得,所以4不是的最小值,故D错误;故选:BC.11.已知函数的定义域为,其导函数为,且为奇函数,若,则()A.B.4为一个周期C.D. 【答案】ABD【解析】【分析】选项A,由为奇函数,得,赋值可解;选项B,由已知关系式变形可得,则得周期为;选项CD,借助原函数满足的等量关系两边求导,探究性质,再结合周期性与赋值法可判断.【详解】因为为奇函数,所以,选项A,令,可得,故A正确;选项B,由,得,又已知,则,即,所以,即函数的一个周期为,故B正确;选项C,由,两边求导得,令,得,故C错误;选项D,由,两边求导得,令,得,由,两边求导得,故的一个周期为,,故D正确.故选:ABD.12.在中,内角的对边分别为为内一点,则下列命题正确的是()A.若,则的面积与的面积之比是B.若,则满足条件的三角形有两个C.若,则为等腰三角形 D.若点是的重心,且,则为直角三角形【答案】ACD【解析】【分析】由奔驰定理及,即可判断A;由余弦定理即可判断B;由向量数量积的定义,诱导公式即可判断C;由三角形重心的性质和平面向量基本定理,即可判断D.【详解】对于A,如图,点为内任意一点,延长交于点,则,则,所以所以,所以,即,又,所以,故A正确;对于B,由余弦定理得,即,解得或(舍去),所以满足条件的三角形只有一个,故B错误;对于C,由得,, 所以,因为,所以,即,所以为等腰三角形,故C正确;对于D,因为点是的重心,所以,即,所以,即,所以,解得,因为,所以,所以为直角三角形,故D正确;故选:ACD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知函数,则曲线在点处的切线方程为______.【答案】【解析】【分析】求导,根据导数的几何意义运算求解.【详解】因为,则,可得,即切点坐标为,斜率,所以曲线在点处的切线方程为,即.故答案为:.14.______.【答案】【解析】【分析】由两角和与差的正弦和余弦公式即可化简求值. 【详解】.故.故答案为:.15.函数的值域为______.【答案】【解析】【分析】设,求出的取值范围,利用同角三角函数的平方关系得出,将函数解析式化简,利用判断原函数的单调性可得出该函数的值域.【详解】设,因为,则,可知,可得函数,则对任意恒成立,所以在上单调递增,且, 所以该函数的值域为.故答案为:.16.函数的最大值为,最小值为,若,则______.【答案】1【解析】【分析】将函数解析式边形为,设,则,记,由奇函数的定义得出为奇函数,得出在的最值,结合,即可求出.【详解】,设,则,记,因为,所以是在上的奇函数,最大值为,最小值为,所以,又因为,所以,故答案:1.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量,函数.(1)求的最小正周期和单调递减区间;(2)在中,,求边的长.【答案】(1); (2)【解析】【分析】(1)由数量积的坐标表示得到的解析式,化简得,由周期公式可解得,利用整体角的范围求解单调减区间即可;(2)由整体角范围解三角方程可得,再由已知条件,结合正弦定理可求.【小问1详解】由题意得,所以的最小正周期,令,解得,所以的单调递减区间为【小问2详解】由(1)知,,则,由,得,则,解得,又由,得,已知,则由正弦定理,得.18.已知,且是偶函数. (1)求的值;(2)若关于的不等式在上有解,求实数的最大整数值.【答案】(1)(2)5【解析】【分析】(1)函数为偶函数,利用求的值;(2)设,依题意有,求函数最小值,可得实数的最大整数值.【小问1详解】函数定义域为R,由函数为偶函数,有,即,则有,即,得,所以.【小问2详解】由(1)可知,,则,设,依题意有,由基本不等式,,当且仅当,即时等号成立,令,则,有,由二次函数的性质可知在上单调递减,在上单调递增,,则有,得,所以实数的最大整数值为5. 19.已知是方程的根.(1)求的值;(2)若是第四象限角,,求值.【答案】(1)当在第三象限时,值为;当在第四象限时,值为.(2)【解析】【分析】(1)解方程得的值,利用诱导公式和同角三角函数的关系,化简算式并求值;(2),利用同角三角函数的关系与两角和的正弦公式计算.【小问1详解】方程,解得,,由,得,当在第三象限时,可得;当在第四象限时,可得,,所以,当在第三象限时,;当在第四象限时,, 【小问2详解】若是第四象限角,则,,由,则,所以.20.南京玄武湖号称“金陵明珠”,是我国仅存的皇家园林湖泊.在玄武湖的一角有大片的荷花,每到夏季,荷花飘香,令人陶醉.夏天的一个傍晚,小胡和朋友游玄武湖,发现观赏荷花只能在岸边,无法深入其中,影响观赏荷花的乐趣,于是他便有了一个愿景:若在玄武湖一个盛开荷花的一角(该处岸边近似半圆形,如图所示)设计一些栈道和一个观景台,观景台在半圆形的中轴线上(图中与直径垂直,与不重合),通过栈道把连接起来,使人行在其中,犹如置身花海之感.已知,栈道总长度为函数.(1)求;(2)若栈道的造价为每米5万元,试确定观景台的位置,使实现该愿景的建造费用最小(观景台的建造费用忽略不计),并求出实现该愿景的建造费用的最小值.【答案】(1)(2)答案见解析【解析】 【分析】(1)在直角三角形中,由边角关系分别表达,进而求出,则可得栈道总长度;(2)利用导数研究函数单调性求最值即可.【小问1详解】由题意知,,,则,,所以.所以栈道总长度为【小问2详解】建造栈道的费用为,则,令,得,又,解得,当时,,当时,,则在单调递减,在单调递增,故,此时,故观景台位于离岸边半圆弧中点的距离为米时,建造费用最小,最小费用为万元. 21.在锐角中,角的对边分别为为的面积,且.(1)求的值;(2)若,证明:.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】(1)已知,利用面积公式和余弦定理化简,结合同角三角函数的平方关系,解出与,可求的值;(2)由正弦定理和三角变换可得,根据角的范围,转化为求三角函数值域问题.【小问1详解】在锐角中,,已知,即,得,在中,由余弦定理得,则有,由,得,又,且,解得,,所以.【小问2详解】,,,由正弦定理,则有,,,, ,其中,,,,,则有,,即,锐角中,,所以,则,即,有,又,则,所以,即.22.已知函数为其导函数.(1)求在上极值点的个数;(2)若对恒成立,求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用指数函数的单调性与三角函数有界性分段讨论的符号,由此得函数的单调性与极值;(2)先探求恒成立的必要条件,再证明其充分性.充分性的证明先构造函数,再利用导函数研究函数单调性,结合(1)结论可证.【小问1详解】 ①当时,,所以,,则,所以在单调递增;②当时,则,设,则,且,,则,所以在单调递减,又,故存在,使得,即,且在上,,在上,,所以在上单调递增,在上单调递减;③当时,则,所以,又,所以,故在上单调递减;④当时,则,所以,又, 所以,当且仅当时取等号,所以在上单调递增;⑤当时,则,,所以,在上单调递增;综上所述,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.所以在上仅有个极值点.【小问2详解】当时,恒成立,即.令,若对恒成立,由,,所以当时,取得最小值.由,则为函数的极小值点,故,解得.下面证明:当时,为函数最小值点,,令,由(1)可知,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.又,且,所以当时,的最小值为,则恒成立,即在上恒成立, 所以即在上单调递增,又,所以当时,,当时,,所以函数在单调递减,在上单调递增,所以,即恒成立,符合题意.综上所述,.【点睛】方法点睛:处理有关三角函数与导数综合问题的主要手段有:(1)分段处理:结合三角函数的有界性与各不同区间的值域分段判断导函数符号;(2)高阶导数的应用:讨论端点(特殊点)与单调性的关系,注意高阶导数的应用,能清楚判断所讨论区间的单调性是关键;(3)关注三角函数的有界性与常用不等式放缩,如等.

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2023-11-19 17:10:02 页数:24
价格:¥3 大小:1.28 MB
文章作者:随遇而安

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