安徽省徽师联盟2023-2024学年高三数学上学期10月质量检测试题（Word版附解析）

高三·数学10月质量检测卷考生请注意：1.考试时间：120分钟满分：150分2.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.3.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整､笔迹清晰.4.请按照题序在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸､试题卷上的答题无效.5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则集合A∩B=（）AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据每个集合中对元素的描述，可转化为直线求交点问题，从而得解.【详解】由题意可得，集合表示时线段上的点，集合表示时线段上的点，则表示两条线段的交点坐标，联立，解得，满足条件，所以.故选：C.2.“，”为真命题的一个充分不必要条件是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】先计算出，为真命题的充要条件，从而得到答案.【详解】，，只需在上的最大值小于等于，其中，故，解得，因为，但，所以是“，”为真命题的一个充分不必要条件，C正确；其他三个选项均不是充分不必要条件.故选：D3.不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】将所求不等式变形为，利用分式不等式的解法解原不等式，可得其解集.【详解】由可得，解得，故不等式的解集为.故选：D.4.若函数的定义域为，则函数的定义域为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用函数有意义并结合抽象函数的定义域求解作答.【详解】由函数的定义域为，即，得， 因此由函数有意义，得，解得，所以函数的定义域为.故选：D5.已知，若恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分析可知不等式对任意的恒成立，可得出，即可解得的取值范围.【详解】由可得，由题意可知，不等式对任意的恒成立，则，解得.故选：B.6.已知函数，则下列说法正确是（）A.的图象关于直线对称B.的图象关于点对称C.的最小正周期为D.若将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得函数的图象【答案】D【解析】【分析】利用代入检验法判断AB；直接求最小正周期判断C；利用三角函数的变换性质判断D. 【详解】因为，所以，，故AB错误；显然的最小正周期为，故C错误．将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得函数的图象，D正确．故选：D.7.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出函数的导数和在处的切线斜率，再由与直线垂直斜率乘积为可得答案．【详解】，切线的斜率为，因为切线与直线垂直，所以，解得．故选：D．8.已知正数，，满足，则，，的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】将看成常数，然后根据题意表示出，再结合导数证明恒不等式，从而作差比较出大小即可得解.【详解】由，得，则，得，则由得，故， 令，则，所以函数在上单调递增，则，所以，即，又，所以，综上，.故选：A．二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在中，角所对的边分别为，那么在下列给出的各组条件中，能确定三角形有唯一解的是（）A.，，B.，，C.，，D.，，【答案】BD【解析】【分析】用与点A到边BC的距离及的长比较大小可判断A，B，C；求三角形各边及角可判断D.【详解】选项A，点A到边BC的距离是1，∵，∴三角形有两解；选项B，点A到边BC的距离是2与b相等，∴三角形是直角三角形，有唯一解；选项C，点A到边BC的距离是，三角形无解；选项D，根据已知可解出，，∴三角形有唯一解.故选：BD.10.下列命题中，真命题的是（）A.，都有B.，使得.C.任意非零实数，都有D.函数最小值为2【答案】AB【解析】 【分析】对于选项A，作差比较可知A正确；对于选项B，当时，可知B正确；对于选项C，当异号时，可知C错误；对于选项D，根据基本不等式取等的条件不成立可知D错误.【详解】对于选项A，，所以对，都有，故选项A正确；对于选项B，当时，，故选项B正确；对于选项C，若异号，则0，故选项C错误；对于选项D，，当且仅当，此时，此式无解，所以函数的最小值不为2，故选项D错误.故选：AB11.已知，若方程在上恰有3个不同实根，则当取最小值时，下列结论正确的有（）A.B.C.的图象关于直线对称D.【答案】ACD【解析】【分析】对于A、B：根据题意结合正弦函数性质求；对于C、D：可得，进而以为整体，结合正弦函数的对称性判断.【详解】由题意可得：的最小正周期，解答， 且，则，解得，所以，故A正确；此时，因为，则，又因为，则，所以，解答，故B错误；由，得为最大值，故的图象关于直线对称，故C正确；由，，可得，，且，则，可得，，所以，D正确；故选：ACD.12.已知是自然对数的底，若，则的值可以是（）A.1B.C.2D.【答案】AC【解析】【分析】设，结合单调性可得，从而，令，利用导数求得的范围即可判断. 【详解】设，则在R上单调递增，∵，∴，即，∴，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，∴，从而，故AC符合.故选：AC.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若是偶函数且在上单调递增，又，则不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】结合函数的奇偶性和函数的单调性求解即可；【详解】因为是偶函数，所以所以，又因为在上单调递增，所以，解得：，故答案为：.14.若，为真命题，则实数最小值为_______.【答案】【解析】【分析】，为真命题，即，求出的最小值即可得解.【详解】若，为真命题， 则，由，得，所以，所以实数的最小值为.故答案为：.15.若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】先求的导函数，再将函数在区间上存在单调递减区间转化为在区间上有解，再根据参数分离，构造函数，结合函数在区间的单调性即可求解实数的范围．【详解】，则，函数在区间上存在减区间，只需在区间上有解，即在区间上有解，又，则，所以在区间上有解，所以，，令，，则，令，则在区间恒成立， 所以在上单调递减，所以，即，所以，所以实数的取值范围是．故答案为：．16.已知函数，若不等式恒成立，则a的最小值为______.【答案】##【解析】【分析】变形给定函数，构造函数，探讨函数的性质，再脱去给定不等式中的法则“f”，构造函数并借助导数求解恒成立的不等式作答.【详解】依题意，，，在R上单调递增，且，为奇函数，，令，求导得，函数在上单调递增，当时，有，于是，当时，显然成立，因此，即，令，求导得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，因此当时，，则，而，有， 所以a的最小值为.故答案为：【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知集合或，．（1）若，求和；（2）若是的必要条件，求实数a的取值范围.【答案】（1），或（2）或【解析】【分析】（1）根据集合交集和并集的定义进行求解即可；（2）根据必要条件的性质进行求解即可.【小问1详解】∵，∴，∴，或；【小问2详解】∵是的必要条件，∴∴当时，则有，解得．满足题意．当时，有，或，由不等式组可得，不等式组无解．综上所述，实数a的取值范围是或.18.已知向量，，函数（1）求的单调递增区间； （2）若不等式对都成立，求实数m的最大值．【答案】（1）（2）0【解析】【分析】（1）化简得，，令，求解即可；（2）由得，根据正弦函数的性质可得，从而可得，进而可求得的最大值.【小问1详解】由，得所以的单调增区间是小问2详解】因为，所以，所以，所以所以，即m的最大值为0.19.的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用正余弦定理边化角结合和角的正弦求解作答.（2）由正弦定理用角的三角函数表示出三角形面积，再借助三角函数性质求解作答.【小问1详解】在中，由及正弦定理得，即，而，即，因此，所以.【小问2详解】在锐角中，，则，又，由正弦定理得，即而，即，则，，因此，于是面积，所以面积的取值范围是.20.已知函数.（1）当时，求关于x的不等式的解集；（2）求关于x的不等式的解集；（3）若在区间上恒成立，求实数a的范围.【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）. 【解析】【分析】（1）把代入可构造不等式，解对应的方程，进而根据二次不等式“大于看两边”得到原不等式的解集.（2）根据函数，分类讨论可得不等式的解集.（3）若在区间上恒成立，即在区间上恒成立，利用换元法，结合基本不等式，求出函数的最值，可得实数a的范围.【小问1详解】当时，则，由，得，原不等式的解集为；【小问2详解】由，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.【小问3详解】由即在上恒成立，得.令，则，当且仅当，即时取等号.则，.故实数a的范围是21.已知定义域为的函数是奇函数.（1）求的值. （2）判断的单调性（不必证明）.（3）若存在，使成立，求的取值范围.【答案】（1），（2）函数在上是减函数（3）【解析】【分析】（1）首先由是奇函数可知，得出，后面再根据当时，有恒等式成立即可求出.（2）将表达式变形为，根据复合函数单调性即可判断（或者由定义也可以判断）.（3）结合函数奇偶性、单调性将不等式转换为，由题意问题等价于，由此即可得解.【小问1详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，所以，又因为，所以，将代入，整理得，当时，有，即，又因为当时，有，所以，所以.经检验符合题意，所以，.【小问2详解】由（1）知：函数，函数在上是减函数.【小问3详解】因为存在，使成立，又因为函数是定义在上的奇函数，所以不等式可转化为，又因为函数在上是减函数，所以，所以，令， 由题意可知：问题等价转化为，又因为，所以.22.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若在上单调递增，求实数的取值范围；（3）当时，判断在零点的个数，并说明理由．【答案】（1）（2）（3）仅有一个零点，理由见解析；【解析】【分析】（1）利用导函数的几何意义，求出在处的导数值，再由直线的点斜式方程即可求得切线方程；（2）根据导函数与原函数的关系可知，在上恒成立，构造函数并求出其最小值即可求得实数的取值范围；（3）利用函数与方程的思想，求出方程的根的个数即可，在同一坐标系下画出函数和的图象，利用切线方程位置可求出结果.【小问1详解】由可得，此时切线斜率为，而；所以切线方程为，即；即曲线在点处的切线方程为；【小问2详解】根据题意，若在上单调递增，即可得在上恒成立，即恒成立；令，则； 显然在上满足，而恒成立，所以在上恒成立；即在单调递增，所以；所以即可；因此实数的取值范围为.【小问3详解】令，即可得；构造函数，，易知在上恒成立，即在上单调递增，如下图中实曲线所示：又函数恒过，且，易知，所以函数在处的切线方程为；又，所以（图中虚线）在范围内恒在（图中实直线）的上方；所以由图易知与在范围内仅有一个交点，即函数在内仅有一个零点.