四川省射洪中学2023-2024学年高二数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

射洪中学高2022级高二（上）第一次学月质量检测数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，将答题卡交回．第I卷（选择题）一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.圆心为，半径的圆的标准方程为（　　）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据圆的标准方程的形式，由题中条件，可直接得出结果.【详解】根据题意，圆心，半径圆的标准方程为；故选：B．2.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数的代数形式的乘法运算化简，求出其在复平面内对应点的坐标，即可得到答案． 【详解】，则在复平面内对应点的坐标为，所以位于第四象限．故选：D．【点睛】本题主要考查复数的乘法运算及复数的几何意义，属于基础题．3.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据空间点关于面的对称点的坐标关系求解.【详解】由空间直角坐标系中任一点关于平面的对称点为，可得点关于平面的对称点的坐标为.故选：B．4.在平行六面体中，M为与交点，，，，则下列向量中与相等的向量是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】分析】利用空间向量的线性运算进行求解．【详解】．故选：A．5.已知点，点B在直线上，则AB的最小值为（）A.B.C.D.4 【答案】C【解析】【分析】根据点和直线的位置关系，易知当与直线垂直时满足题意，求出点到直线的距离即可.【详解】如下图所示：易知当与直线垂直，且为垂足时，的值最小；此时的最小值为点到直线的距离，即.故选：C6.从甲、乙、丙、丁、戊五名同学中选2人参加普法知识竞赛，则甲被选中的概率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用古典概型的概率求解.【详解】从甲、乙、丙、丁、戊五名同学中选2人的基本事件有：（甲、乙），（甲、丙），（甲、丁），（甲、戊），（乙、丙），（乙、丁），（乙、戊），（丙、丁），（丙、戊），（丁、戊），共10种，甲被选中的基本事件有：（甲、乙），（甲、丙），（甲、丁），（甲、戊），共4种，所以甲被选中的概率为，故选：B.7. 台球运动中反弹球技法是常见的技巧，其中无旋转反弹球是最简单的技法，主球撞击目标球后，目标球撞击台边之后按照光线反射的方向弹出，想要让目标球沿着理想的方向反弹，就要事先根据需要确认台边的撞击点，同时做到用力适当，方向精确，这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中．如图，现有一目标球从点无旋转射入，经过直线（桌边）上的点反弹后，经过点，则点的坐标为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求得点关于的对称点坐标，由此可得直线方程，将方程与联立即可求得点坐标.【详解】点关于对称的点为，直线的方程为：，即，由得：，点的坐标为.故选：B.8.已知直线：，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据直线的方程确定直线所过的定点，利用斜率公式求得直线和 的斜率，根据过定点的直线与线段总有交点分析运算即可得解.【详解】解：如上图，由题意，直线方程可化为：，由解得：，∴直线过定点.又∵，∴，，∴由直线与线段总有公共点知直线的斜率满足或，∴直线的倾斜角满足或，即直线的倾斜角范围为.故选：C.二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多个项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9.经过点P（1，1），且在两轴上的截距相等的直线可以是（）A.y=xB.x+y-2=0C.x+2y-3=0D.3x-y-2=0【答案】AB【解析】【分析】分直线在两坐标轴的截距为，不为的两种情况，即可得出答案.【详解】当直线在两坐标轴上的截距为时，设直线方程为：， 则，所以；当直线在两坐标轴上的截距不为时，设直线方程为：，把P（1，1）代入直线方程得：，解得：,所以直线方程为：.故满足条件的直线方程为：或.故选：AB.10.下列选项正确的是（）A.若直线的一个方向向量是，则直线的倾斜角是B.“”是“直线与直线垂直”的充要条件C.“”是“直线与直线平行”的充要条件D.直线的倾斜角的取值范围是【答案】ACD【解析】【分析】A项，通过求直线的斜率，即可得出直线的倾斜角；B项，讨论时直线与直线是否垂直，以及直线与直线垂直时的值，即可得出结论；C项，讨论时直线与直线是否平行，以及直线与直线平行时的值，即可得出结论；D项，通过求出直线的斜率，即可求出倾斜角的取值范围.【详解】对于A项，在直线中，一个方向向量是，则直线的斜率为∴直线的倾斜角是，A正确；对于B项，当时，直线与直线变为：与显然垂直，充分性成立. 当直线与直线垂直时，解得：或，必要性不成立，故B错误；对于C项，当时，直线与直线化为：与即与，两直线平行，充分性满足要求.若直线与直线平行，解得：，必要性成立，故C正确；对于D项，在直线中，该直线的斜率为故倾斜角范围为.故D正确.故选：ACD.11.随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数.设事件“第一次为偶数”，“第二次为奇数”，“两次点数之和为偶数”，则（）AA与B互斥B.C.A与C相互独立D.【答案】BCD【解析】【分析】利用古典概型的概率公式求出、，即可判断B；根据互斥事件的定义即可判断A；根据相互独立事件的定义即可判断C；根据事件表示第一次为偶数或第二次为奇数，求出此事件的对立事件的概率即可求出，即可判断D.【详解】解：由题意可得，，所以，故B正确；因为事件、可以同时发生或都不发生，故两事件不是互斥事件，故A错误；因为事件、互不影响，所以、为相互独立事件，则， 因为事件表示第一次为偶数且第二次为偶数，所以，又，所以与相互独立，故C正确；事件表示第一次为偶数或第二次为奇数，它的对立事件为第一次奇数且第二次都是偶数，所以，故D正确.故选：BCD.12.如图，在直三棱柱中，，，为的中点，过的截面与棱，分别交于点F，G（G，E，F可能共线），则下列说法中正确的是（）A.存在点F，使得B.线段长度的取值范围是C.四棱锥的体积为2时，点F只能与点B重合D.设截面，，的面积分别为，，，则的最小值为4【答案】BCD【解析】【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点、，其中，，利用空间向量垂直的坐标表示可判断A选项；求出与的关系式，利用反比例函数的基本性质可判断B选项；利用等积法可判断C选项；利用基本不等式可判断D选项. 【详解】因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、，设点、，其中，.对于A选项，若存在点，使得，且，，，解得，不合乎题意，A错；对于B选项，设，其中、，即，即，可得，，则，所以，，B对；对于C选项，，其中，故，又，故即，故点F只能与点B重合，C对；对于D选项，，，则点到直线的距离为， ，则点到直线的距离为，所以，，故，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，D对.故选：BCD.【点睛】关键点睛：建立空间直角坐标系，运用空间向量的性质是解题的关键.第II卷（非选择题）三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13.平行直线与之间的距离为_________．【答案】##0.3【解析】【分析】根据平行线间的距离公式即可求得答案.【详解】由题意得即则平行直线与之间的距离为，故答案为：14.已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为__________．【答案】##【解析】【分析】根据复数的除法运算以及虚部的概念求解.【详解】由题可得，，所以虚部为, 故答案为:.15.在空间直角坐标系中，若，，且，则_____.【答案】【解析】【分析】根据列方程得到，然后求模即可.【详解】因为，所以，解得，所以，.故答案为：.16.已知直线：，：，直线垂直于，，且垂足分别为A，B，若，，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】根据条件设出直线的方程为，求出点，坐标，用表示出，再借助几何意义即可计算得解．【详解】由直线垂直于，，则设的方程为，由，得，由，得，由，，得，表示动点到定点与的距离的和，动点在直线上，点与在直线两侧，则有，当且仅当是直线与线段的交点，即原点时取“”，此时，所以取最小值，则的最小值为． 故答案为：．四、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知三角形的三个顶点，，．（1）求AC边所在直线的一般方程；（2）求AC边上的高所在直线方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据直线的两点式方程，求出直线AC的方程即可；（2）求出直线AC的斜率，得到AC边上高线的斜率，点斜式求AC边上的高所在直线方程.【小问1详解】三角形的三个顶点，，．则直线AC的方程为，化为一般方程是；【小问2详解】AC边所在直线的斜率为，则有AC边上的高所在直线的斜率为，所以AC边上的高所在直线的方程为，即．18.分别根据下列条件，求圆的方程：（1）过点，，且圆心直线上；（2）过、、三点．【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）设圆心坐标为，由，解出，可求得圆心和半径，得到圆的方程；（2）设直线的一般式方程，代入、、三点，求出系数即可.【小问1详解】圆心在直线上，设圆心坐标为，圆过点，，则有即，解得，可得圆心坐标为，圆的半径，所以圆的方程为.【小问2详解】设过、、三点的圆的方程为，则有，解得，故所求圆的方程为.19.俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升．燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查，现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示：（1）求的值及样本数据的第50百分位数；（2）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率．【答案】（1），第50百分位数为； （2）【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图所有小矩形面积和为1计算求解，根据频率分布直方图和第50百分位数定义计算；（2）利用分层抽样的概念和古典概型计算公式计算即可．【小问1详解】依题意，，；前三组的频率之和，前四组的频率之和样本数据的第50百分位数落在第四组，且第50百分位数为；【小问2详解】与两组的频率之比为1：2，现从与两组中用分层抽样的方法抽取6人，则组抽取2人，记为，组抽取4人，记为．从这6人中随机抽取2人，所有可能的情况为：，共15种，其中至少有1人的年龄在的情况有，共9种，记“抽取的2人中至少有1人的年龄在组”为事件A，则.20.如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，AC与BD交于点O，底面ABCD，F为BE的中点，． （1）求证：平面ACF；（2）求AF与平面EBD所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解答（2）【解析】【分析】（1）通过证明，得证平面ACF；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值.【小问1详解】证明：如图，连接，因为底面是菱形，与交于点，可得点为的中点，又为的中点，所以为的中位线，可得，又平面，平面，可得平面；【小问2详解】以，所在直线为，轴，过作的垂线所在直线为轴，建立如图所示的坐标系，因为ABCD是菱形，，为等边三角形，不妨设，则，，，，， 可得，，设平面的一个法向量为，可得，不妨取，则，可得.又，可得与平面所成角的正弦值为：.21.过直线与的交点作直线分别与轴正半轴交于点．（1）若与直线平行，求直线的方程；（2）对于最小，面积最小，若选择_____作为条件，求直线的方程．【答案】（1）（2）若选，直线的方程为；若选，直线的方程为【解析】【分析】（1）联立方程组求出点坐标，由与直线平行，设直线的方程为，代入点坐标，即可求直线的方程；（2）若选，利用基本不等式求最小时的条件，可求直线的方程；若选，利用基本不等式求面积最小时的条件，可求直线的方程.【小问1详解】，解得，即，若与直线平行，设直线的方程为，代入，解得，直线的方程为.【小问2详解】设，，则直线的方程为， 代入点可得.若选：，当且仅当，即时等号成立，有最小值，此时直线l的斜率所以直线l的方程为，即.若选：由，可得，当且仅当时等号成立，所以，即面积最小为4，此时直线l的斜率，所以直线l的方程为，即.22.如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为.（1）求证：平面；（2）若点为棱的中点，求点到平面的距离；（3）若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2） （3）【解析】【分析】（1）法一：利用线面垂直、面面垂直的性质定理与判定定理可证；法二：建立空间直角坐标系，利用数量积为0，可证，从而得证；法三：如法二建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，证明其与平行，从而得证；（2）利用空间向量法求点到面的距离；（3）利用空间向量求出二面角的余弦值，再借助函数性质求值域.【小问1详解】法一：连结，因为为等边三角形，为中点，，又平面，平面，平面平面，又平面，由题设知四边形为菱形，，分别为中点，，又平面平面.法二：由平面，平面，又为等边三角形，为中点，，则以为坐标原点，所在直线为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则又平面平面.法三：（同法二建系）设平面的一个法向量为 ，即不妨取，则，则所以平面的一个法向量为，，，平面【小问2详解】由（1）坐标法得，平面的一个法向量为（或）点到F到平面的距离=【小问3详解】设，则，；由（1）知：平面平面的一个法向量（或者由（1）中待定系数法求出法向量）；设平面的法向量， 则，令，则；，令，则；，即锐二面角的余弦值的取值范围为.