重庆市荣昌中学2022-2023学年高二数学下学期第一次月考试题（Word版附解析）

荣昌中学2022—2023学年度第二学期第一次月考高二数学试题注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.考试结束后，将答题卷交回.第I卷（选择题共60分）一、单选题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案请涂写在机读卡上.1.已知等差数列中，，，则（）A.0B.-2C.-4D.-6【答案】B【解析】【分析】应用等差数列的基本量运算即可.【详解】等差数列，设公差为，，，则.故选：B2.已知3，，27三个数成等比数列，则（）A.9B.-9C.9或-9D.0【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的知识列方程，从而求得.【详解】由于成等比数列，所以，解得或.故选：C3.函数在点处切线的斜率为（）A.-1B.-3C.1D.0【答案】D【解析】 【分析】利用导数求得正确答案.【详解】由于，所以.故选：D4.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至起，接下来依次是小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏,小满、芒种共十二个节气，其日影长依次成等差数列，其中大寒、惊蛰、谷雨三个节气的日影长之和为25.5尺，且前九个节气日影长之和为85.5尺，则立春的日影长为（）A.10.5尺B.11尺C.11.5尺D.12尺【答案】A【解析】【分析】结合等差数列的知识求得正确答案.【详解】设等差数列的首项为，公差为，依题意，，即，解得，所以尺.故选：A5.记正项等比数列的前n项和为，若，，则（）A.2B.－21C.32D.63【答案】D【解析】【分析】先设正项等比数列公比为，根据题中条件，列出方程求出首项和公比，再由求和公式，即可得出结果.【详解】设正项等比数列的公比为，因为，，所以，即，解得，所以. 故选：D.6.设数列满足，，则（）A.2B.C.D.-3【答案】C【解析】【分析】利用周期性求得【详解】，，，，所以数列是周期为的周期数列，，所以.故选：C7.已知公差不为0的等差数列的前23项的和等于前8项的和．若，则k等于（）A.22B.23C.24D.25【答案】C【解析】【分析】根据题意可得，代入即可求出.【详解】设等差数列公差为，，则由题可得，即，整理得，，，即，，，. 故选：C.8.已知F1，F2分别为双曲线C:的左右焦点，过点F1且斜率存在的直线L与双曲线C的渐近线相交于AB两点，且点AB在x轴的上方，AB两个点到x轴的距离之和为，若，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据得到为直角三角形，进而根据点差法得中点弦的性质即可求.【详解】设,，设的中点为，由于，故,因此为直角三角形，故，由于，所以，进而可得，故或，由在双曲线渐近线上，所以，进而，当时，,，所以，当时，,，所以不符合题意，舍去， 综上：故离心率为.故选：A二、多选题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设等差数列的前项和为．若，，则（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前项和公式【详解】解：设等差数列的公差为，因为，，所以，解得，所以，，故选：BC10.等差数列中，前项和为，若，则下列命题中真命题的是（） A.公差B.C.是各项中最大的项D.是中最大的值【答案】ABD【解析】【分析】由得：，进而结合等差数列的性质逐个判断即可【详解】因，所以，所以公差成立，所以A正确，因为公差，所以等差数列为递减数列，所以各项中是最大的项，C错误，因为，所以，B成立.设等差数列的前项的和最大，则，故，又等差数列为递减数列，且，所以，即是中最大的值，D正确.故选：ABD.11.已知等比数列公比为，前项和为，且满足，则下列说法正确的是（）A.为单调递增数列B.C.，，成等比数列D.【答案】BD【解析】【分析】根据利用等比数列的性质建立关系求出，然后结合等比数列的求和公式，逐项判断选项可得答案．【详解】由，可得，则，当首项时，可得为单调递减数列，故错误； 由，故正确；假设，，成等比数列，可得，即不成立，显然，，不成等比数列，故错误；由公比为等比数列，可得，故正确；故选：．【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用求得，同时需要熟练掌握等比数列的求和公式.12.数列依次为：1，，，，，，，，，，，，，，，，，，…，其中第一项为，接下来三项均为，再接下来五项均为，依此类推.记的前项和为，则（）A.B.存在正整数，使得C.D.数列是递减数列【答案】ACD【解析】【分析】根据数列的规律即可求出，即可判断A选项；求出数列的通项公式，做差法推出矛盾即可说明B选项；求出数列的前n项和公式，做差法即可说明C选项；根据数列单调性的概念，比较即可判断D选项.【详解】A：由数列可知占了数列的项，且相对应的项的和为1，，，所以，故，故A正确；B：若，则，故，即，与 矛盾，故B错误；C：若，则，而，若，则，故；若，则，故，即，因为，故，即，即，综上：，故C正确；D：因为，则，所以，则，所以，故数列是递减数列，故D正确.故选：ACD.【点睛】数列求和的方法技巧：（1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．（2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．（3 ）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和，或者奇偶项通项公式不同的数列，或者周期性数列．（4）裂项相消.第II卷（非选择题共90分）三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在题中的横线上.13.在公比为的等比数列中，已知，，则__________.【答案】【解析】【分析】根据等比数列的知识求得正确答案.【详解】.故答案为：14.已知函数，则____________.【答案】【解析】【分析】根据，可以先将原函数求导，此时得到的导函数中有，故将代入可以求出，求出函数解析式后，求函数值.【详解】因为，所以，当时，，解得，所以，所以.故答案为：15.对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，第四层比第三层多5个，以此类推，则第20层货物的个数为________.【答案】230【解析】【分析】由题意可得，，利用累加法即可求.【详解】解：由题意可知，，，，，累加可得 .故答案为：23016.已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且，n，则＝_______；若＝2，则＝_______．【答案】①.4②.220【解析】分析】当时，利用，即可得到，取即可.利用已知递推公式，结合首项可以求得，进一步做差可以得出的奇数项和偶数项分别成等差数列，分组后利用等差数列求和公式即可.【详解】根据①，得②，①﹣②得，又时，，可得故；当＝2，，可得，即可求得．故答案为：4；220【点睛】本题主要考查了与的关系，数列的递推关系式，以及等差数列的定义和通项，属于中档题.四、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列满足，且.（1）求；（2）证明：数列是等差数列，并求. 【答案】（1）（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）根据递推关系式求得.（2）根据等差数列的定义进行证明，进而求得.【小问1详解】因为，所以.【小问2详解】因为，所以，则，故，又，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列.所以，则.18.已知等差数列的前n项和为，其中，；等比数列的前n项和为，其中 ，．（1）求数列，的通公式；（2）记，求数列的前n项和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】(1)根据条件分别求出等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，再利用数列的通项公式即可求解；(2)利用等比数列和等差数列的前项和公式进行分组求和即可得出结果.【小问1详解】记等差数列公差为d，等比数列的公比为q，由题意得，，解得，∴，∴．∵，∴，∴．【小问2详解】由（1）得，，，∴，∴ ∴．19.已知数列的前n项和为，且.（1）求与；（2）记，求数列的前n项和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用求得，进而求得.（2）利用错位相减求和法求得正确答案.【小问1详解】由，得，当时，，得；当时，，得，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.所以.【小问2详解】由（1）可得，则，， 两式相减得，所以.20.如图，在正六边形中，将沿直线翻折至，使得平面平面，O，H分别为和的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】(1)要证平面.，用线面平行的判定定理，在面内找一条直线与平行；(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值．【详解】（1）如图，取的中点G，连结.又因为H是的中点，所以，. 又因为正六边形中，，，所以同，.又O为的中点，所以，，所以四边形为平行四边形，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）由条件可知.分别以为x轴正方向､为y轴正方向､为z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.设正六边形的边长为2，则，，，，，所以，，，.设平面的法向量为，由得取，可得.设平面的法向量为，由得取，可得.设平面与平面所成锐二面角的大小为，则， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算．21.已知数列{}满足（1）求数列{}的通项公式；（2）设，数列{}的前n项和为Tn，若，求m.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由前项和与通项的关系，当时，得，两式作差得,再验证首项是否满足上式；（2）将代入得，裂项相消法可得，再解方程得.【小问1详解】因为①，则当时，则，当时，得②，则①②得，则，又满足上式， 所以数列{}的通项公式为【小问2详解】所以化简得：，解得.22.已知椭圆与直线有且只有一个交点，点为椭圆上任一点，，，若的最小值为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于不同两点，点为坐标原点，且，当的面积最大时，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设点，根据题意，得到，根据向量数量积的坐标表示，得到，根据其最小值，求出，即可得出椭圆方程；（2）设，，，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，由弦长公式，以及点到直线距离公式，求出的面积的最值，得到；得出点的轨迹为椭圆，且点为椭圆的左、右焦点，记，则，得到，根据导数的方法求出最值. 【详解】（1）设点，由题意知，，则，当时，取得最小值，即，故椭圆的标准方程为；（2）设，，，则由得，，则点到直线的距离，取得最大值，当且仅当即，①此时，，即，代入①式整理得，即点的轨迹为椭圆，且点为椭圆的左、右焦点，即，记，则，从而，则， 令可得，即在在单调递减，在单调递增，且，故的取值范围为.