重庆市荣昌中学2022-2023学年高二数学下学期第二次月考试题（Word版附解析）

荣昌中学高2024级高二（下）第二次月考数学试卷第I卷（选择题共60分）一、单项选择题（共40分）1.在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系.该运动员在t=1s时的瞬时速度（单位：m/s）为（）A.10.9B.-10.9C.5D.-5【答案】D【解析】【分析】先对函数求导，然后把代入即可求解．【详解】解：因为，所以，令，得瞬时速度为．故选：D.2.已知，，则等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据条件概率公式计算．【详解】由，可得.故选：C.3.离散型随机变量的分布列为下表，则常数的值为（）01 A.B.C.或D.以上都不对【答案】B【解析】【分析】根据概率之和为1，简单计算可得结果.【详解】由题可知：故选：B【点睛】本题考查对离散型随机变量分布列的认识，熟知所有概率之和为1，重在计算，属基础题.4.在的展开式中的系数为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求出展开式的通项为，展开式中的项有和，系数相加即可求解.【详解】展开式的通项为，展开式中项为和，所以的展开式中的系数为，故选：C5.等差数列、中的前项和分别为、，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】利用等差数列的性质及其前项和公式可得，将代入即可求解.【详解】∵等差数列、中的前项和分别为、，，∴.故选：B.【点睛】本题考查了等差数列的性质及其前项和公式，需熟记公式，属于基础题.6.2020年疫情的到来给我们生活学习等各方面带来种种困难.为了顺利迎接高考，省里制定了周密的毕业年级复学计划.为了确保安全开学，全省组织毕业年级学生进行核酸检测的筛查.学生先到医务室进行咽拭子检验，检验呈阳性者需到防疫部门做进一步检测.已知随机抽一人检验呈阳性的概率为0.2%，且每个人检验是否呈阳性相互独立，若该疾病患病率为0.1%，且患病者检验呈阳性的概率为99%.若某人检验呈阳性，则他确实患病的概率（）A.0.99%B.99%C.49.5%.D.36.5%【答案】C【解析】【分析】利用条件概率可求某人检验呈阳性时他确实患病的概率.【详解】设为“某人检验呈阳性”，为“此人患病”.则“某人检验呈阳性时他确实患病”为，又，故选：C.【点睛】本题考查条件概率的计算及其应用，此题需将题设的各个条件合理转化为事件的概率或条件概率.7.如图，洛书古称龟书，是阴阳五行术数之源在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数若从四个阴数和五个阳数中随机选取个数，则选取的个数之和为偶数的方法数为（） A.60B.61C.5D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知，阴数为，，，，阳数为，，，、，由条件可知个数都为偶数，或是个奇数，个偶数，或是个数都为奇数，列式即得答案.【详解】由题意可知，阴数为，，，，阳数为，，，、.若选取得个数的和为偶数，①个数都为偶数，共有种方法，②个奇数，个偶数，共有种方法，③个数都为奇数，共有种方法，综上共有种方法.故选：D8.已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A.[–1，0）B.[0，+∞）C.[–1，+∞）D.[1，+∞）【答案】C【解析】【详解】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动， 可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.二、多项选择题（共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.设随机变量的分布列为，则A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】由题意结合离散型随机变量分布列的性质可得，即可判断A、D；由即可判断B；由即可判断C；即可得解.【详解】随机变量的分布列为, ，解得，故A正确；，故B正确；，故C正确；，故D错误.故答案为：A、B、C.【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列的性质与应用，考查了运算求解能力，属于基础题.10.一箱产品共有16件，其中有14件合格品，2件次品，从这16件产品中任意抽取3件，则抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法表述正确的是（）．A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】有3种抽法，第一种方法分为两类，3件中有1件次品或2件次品；第二种方法，考虑间接抽法，用16件产品任抽3件的总情况数减去不含次品的情况数；第三种方法，先任抽一件次品，再从剩下的15件产品中随机抽2件，但有2件次品的情况算了两次，故需减去多余的抽法数.据此可得答案.【详解】由题，当3件产品中有1件次品时，情况数为，当3件产品中有两件次品时，情况数为，则抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法数为；16件产品任抽3件的总情况数为，3件产品中不含次品的抽法数为，则抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法数为；从产品中任取1件次品的情况数为，在从剩下产品中任抽2件的情况数为，则两步的总情况数为，又有2件次品的情况算了两次，则抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法数为.故选：ABD 11.（多选）甲罐中有个红球、个白球和个黑球，乙罐中有个红球、个白球和个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以事件、、表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球，再从乙罐中随机取出一个球，以事件表示由乙罐取出的球是红球，下列结论正确的是（）A.事件与事件不相互独立B.、、是两两互斥的事件C.D.【答案】ABD【解析】【分析】利用事件独立性的定义可判断A选项的正误；利用互斥事件的定义可判断B选项的正误；利用全概率公式可判断C选项的正误；利用条件概率公式可判断D选项的正误.【详解】对于A，由题意可知，事件发生与否影响事件的发生，故事件与事件不相互独立，故A正确;对于B，、、两两不可能同时发生，故B正确；对于C，，故C不正确；对于D，已知从甲罐中取出一个红球放入乙罐，这时乙罐中有个球，其中红球有个，因此，在事件发生的条件下，事件发生的概率为，故D正确.故选：ABD.12.已知函数，下列结论正确的是（）A.在处的切线方程为B.在区间单调递减，在区间单调递增C.设，若对任意，都存在，使成立，则D.【答案】ACD【解析】【分析】求导得到函数的单调区间，计算切线得到A正确，根据定义域排除B，分别计算最值得到C正确，根据幂函数单调性和单调性计算得到D正确，得到答案. 【详解】，则，，当和时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.对选项A：，，故切线方程，正确；对选项B：函数定义域为，错误；对选项C：当时，，，故，正确；对选项D：根据幂函数的单调性知，，，即，故，即，故，正确.故选：ACD第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.在正项等比数列中，，是，的等差中项，则____.【答案】54【解析】【分析】由题可得，进而可得数列的公比，即可求．【详解】设数列的公比为q，则，由是，的等差中项，则，∴，解得，或舍去，∴．故答案为：54．14.把一枚骰子连续抛掷两次，记事件为“两次所得点数均为奇数”，为“至少有一次点数是5”，则______. 【答案】【解析】【分析】列出所有可能的基本事件，进而求出事件M发生的基本事件数，以及在此条件下发生的事件N的基本事件数.【详解】连抛掷一枚骰子两次，所有可能的结果如下表：骰子1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(42)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(66)其中发生事件M的结果有9种，在事件M的条件下发生事件N的结果有5种，所有.故答案为：.15.为了加强新型冠状病毒疫情防控，某社区派遣甲､乙､丙､丁､戊五名志愿者参加三个小区的防疫工作，每人只去1个小区，每个小区至少去1人，且甲､乙两人约定去同一个小区，则不同的派遣方案共有_____（用数字作答）.【答案】36【解析】【分析】分与分配进行选派，结合分类与分步计数原理、排列组合知识计算即可.【详解】不同的派遣方案可分两类：人可分与进行派遣.若按照分三组再进行分配，第一步：甲乙两人从其余人中再选人合成一组，剩余两人一人一组，有种方案； 第二步：三组人员分配到三个小区，有种方案；则由分步计数原理共有种不同的方案；若按照分三组再进行分配，第一步：甲乙两人是一组，再从其余人中选人一组，剩余一人为一组，有种方案；第二步：三组人员分配到三个小区，有种方案；则由分步计数原理共有种不同的方案；所以由分类计数原理共有种派遣方案.故答案为：.16.数列中，，（），则________【答案】454【解析】【分析】由，结合等比数列的定义和通项公式可求出，结合二项式定理可求出的值.【详解】解：因为，所以以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，则又，，所以原式，故答案为：454.【点睛】关键点睛：本题的关键是求出数列通项公式后，结合二项式定理对所求式子进行合理变形，减少 计算量.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知函数，的图象在点处的切线为．（1）求a，b的值;（2）设，求最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求导，利用切线的斜率以及经过的点即可求解，（2）求导得单调性，即可求解最值.【小问1详解】，，由已知，得，解得，∴函数的解析式为．【小问2详解】，则，令，则，当时，，此时单调递减当时，，此时单调递增，∴．18.已知，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）. 【答案】（1）－2（2）1093（3）2187【解析】【分析】运用赋值法结合二项式定理求二项展开式中部分项的系数之和．【小问1详解】当时，；当时，；故；【小问2详解】当时，；由（1）知，所以；【小问3详解】由展开式可知均为负值，均为正值，结合（1）（2）可知，故.19.两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．（1）求任意取出1个零件是合格品的概率；（2）如果任意取出的1个零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．【答案】（1）（2）0.25【解析】【分析】（1）设表示“第i台机床加工的零件”（i＝1，2）；B表示“出现废品”；C表示“出现合格品”，再 根据概率的公式求解即可；（2）同（1），结合条件概率的公式求解即可.【小问1详解】设表示“第i台机床加工的零件”（i＝1，2）；B表示“出现废品”；C表示“出现合格品”．．【小问2详解】．20.已知数列的各项均为正数，其前项和满足．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据与之间的关系进行求解即可；（2）运用裂项相消法进行求解即可,小问1详解】在中，令，得，当时，由，于是有， 因为数列的各项均为正数，所以由，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以有，显然适合，因此；【小问2详解】由（1）可知：，所以，.21.设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球．（1）记随机变量表示从甲盒取出的红球个数，求期望的值；（2）求从乙盒取出2个红球的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据超几何分布概率求解；（2）根据甲盒任取2球放入乙盒的不同情况，分类讨论，利用超几何分布概率模型求解.【小问1详解】由题可知，随机变量可能的取值有，所以分布列如下：012 所以.【小问2详解】(i)若，则此时甲盒取出来了2个白球放入乙盒，此时乙盒有6个白球，1个红球，所以从乙盒取出2个红球的概率为0；(ii)若，则此时甲盒取出来了1个白球，1个红球放入乙盒，此时乙盒有5个白球，2个红球，所以从乙盒取出2个红球的概率为；(iii)若，则此时甲盒取出来了2个红球放入乙盒，此时乙盒有4个白球，3个红球，所以从乙盒取出2个红球的概率为；所以从乙盒取出2个红球的概率为.22.已知函数．（1）当时，求在区间上的零点个数（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围．【答案】（1）一个（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，再由，即可判断；（2）当时对任意的，，设，利用导数说明函数的单调性，从而说明，当时利用导数说明函数的单调性，即可判断不能恒成立，即可得解.【小问1详解】当时，，当时，，，所以，所以在上单调递增，所以，所以在上只有一个零点. 【小问2详解】①当时，对任意的，，设，则，所以在上单调递增，又，所以，因为，所以，满足题意；②当时，，令，则，所以在上单调递增，又，，所以在上有唯一的零点，且当时，，所以在上单调递减，又，所以当时，，从而不能恒成立，不合题意，舍去；综上所述，实数的取值范围为.