重庆市 2022-2023学年高二数学下学期第一次月考试题（Word版附解析）

高2024届高二（下）月考数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､班级､学校在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟.一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.等于（）A.B.C.D.2.的展开式的第3项的系数为（）A.-40B.40C.-80D.803.以“课程涵养人生，教育向美而行”为主题的第4届课程博览会开幕了，4名同学从餐桌上的科学､重庆古迹遗址寻踪､高中生职业生涯规划三门选修课程中选择一门课程学习，每人限选其中的一门课程，有（）种不同的选法.A.9B.24C.64D.814.已知为递减等比数列，，则（）A.B.C.D.5.央视评价重庆是“最宠游客的城市.”现有甲､乙两位游客慕名来到重庆旅游，准备从洪崖洞､磁器口､长江三峡､大足石刻和天生三桥五个著名旅游景点中随机选择一个景点游玩，记事件A为“甲和乙至少一人选择洪崖洞”，事件B为“甲和乙选择的景点不同”，则（）A.B.C.D.6.2022年男足世界杯于2022年11月21日至2022年12月17日在卡塔尔举行.现要安排甲､乙等6名志愿者去四个足球场服务，要求每个足球场都有人去，每人都只能去一个足球场，则甲､乙两人被分在同一个足球场的安排方法种数为（）A.120B.240C.360D.4807.已知为椭圆的左､右焦点，点在椭圆上，且的延长线与椭圆交于点，若，则该椭圆离心率为（）A.B.C.D. 8.不等式对任意都成立，则实数的最大值为（）A.B.C.D.-1二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知数列的前项和为，若，则下列说法正确的是（）A.是递增数列B.数列中的最小项为C.数列是等差数列D.成等差数列10.袋中有6个大小相同的小球，4个红球，2个黑球，则（）A.从袋中随机摸出一个球是黑球的概率为；B.从袋中随机一次摸出2个球，则2个球都是黑球的概率为；C.从袋中随机一次摸出2个球，则2个球是1红1黑的概率为；D.从袋中随机依次一个一个不放回的取球，则前两次都是黑球的概率为11.已知函数且，则下列说法正确的是（）A.当时，函数在处的切线方程是；B.当时，恒成立；C.当有1个零点时，的取值范围为；D.当时，有2个零点.12.已知分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为.若双曲线的离心率，则下列说法正确的是（）A.以为直径的圆与直线相切B.C.在直线上D.的范围是三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数为的导函数，则__________.14.的展开式各项系数的和是-1，则__________. 15.六名同学站成一排照相，其中甲､乙相邻，丙与甲乙都不相邻，则不同站法的种数是__________（结果用数字表示）16.已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，线段的垂直平分线与轴的交点为，则__________.四､解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.设是函数的一个极值点，曲线在处的切线斜率为8.（1）求的单调区间；（2）若在闭区间上的最大值为10，求的值.18.等差数列的前项和为，其中成等比数列，且数列为非常数数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和记为，求.19.如图，在圆柱中，是圆柱的一条母线，是底面圆的内接四边形，是圆的直径，为上一点.（1）求证：；（2）若是的中点，求二面角的余弦值.20.袋中装有4个大小相同的小球，编号为，现从袋中有放回地取球2次.（1）求2次都取得3号球的概率；（2）记这两次取得球的号码的最大值为，求的分布列.21.如图所示，已知分别为双曲线的左､右顶点，为直线上的动点，若直线与的另一交点为，直线与的另一交点为点. （1）设直线的斜率分别是，求证：为定值；（2）求证：直线恒过定点，并求出定点坐标.22.已知函数.（1）若，（i）求的极值.（ii）设，证明：.（2）证明：当时，有唯一的极小值点，且.高2024届高二（下）月考数学参考答案一､单选题12345678CBDACBDA1.C，所以选C2.B由二项式展开式的通项公式得：，所以第3项系数为40.3.D因为每人限报一门课程，所以每人有3种选择，按照分步计数原理，共有种.4.A设递减等比数列的公比为，因为，故，可得，则公比，故，故5.C由题意知事件：“甲和乙至少一人选择洪崖洞”包含种情况，事件：“甲和乙选择的景点不同，且至少一人选择洪崖洞”包含种情况，所以. 6.B将6人按分成四组，且甲､乙在同一组的安排方法有种，将6人按分成四组，且甲､乙在同一组的安排方法有种，则甲､乙两人被分在同一个足球场的安排方法种数为.7.D如图所示：由题意可知，，设，则，由椭圆定义可得，，所以，在中，由勾股定理有，即8.A不等式，设，即求的最小值，，其中恒成立，时，在单减，单增，，所以选二､多选题9101112ACBCDABDABC9.AC是公差为2的等差数列，，所以是递增数列，故选.时，最小，故错误； 是等差数列，故选；，故D错误.10.BCD对于A：概率为，所以错误；对于B：概率为，所以正确；对于C：概率为，所以正确；对于D：概率为，所以正确.11.ABD对于A：当时，，又，所以在处的切线方程是，A正确；对于B：，，B正确设，则，令在单调递增，在单调递减，时，时，的大致图象如下：当或或时，有1个零点，这样错误；当时，有2个零点，这样正确； 12.ABC设，其中.设.对于，过分别作的垂线，垂足分别为，所以由切线长定理有，则，又因为，所以.又，所以，同理可得.则在直线上，故正确；对于，过作的垂线，垂足为因为，则，设的中点分别为，则，且，所以，到距离为故正确.对于，因平分平分，则.在中，.由射影定理可得，，故正确；对于，设直线方程为，将其与双曲线联立有：，消去得：，则，.又两点在双曲线右支，则.设，又由对称性设直线的倾斜角为，其中.则.又由分析知， 则，所以，得，则，，所以，又在上单调递增，则.故错误.三､填空题131415161-214413..14.-2令，则的展开式各项系数的和是，所以.15.144甲乙看作一个整体，丙与他们去插空，所以共有种不同的站法.16.设，则的垂直平分线为，则点，则.四､解答题 17.【答案】（1），由已知得，得，解得.经验证可知符合题意，于是，由，得或，由，得，所以的单调递增区间是和，单调递减区间是.（2）由（1）知，因为在区间上是单调递减函数，在上是单调递增函数，又所以其最大值为，解得.18.【答案】解：（1）因为成等比数列，所以，即，又解得或（舍去），所以.（2），19.【答案】（1）证明：因为是圆柱的一条母线，平面，因为平面，所以.因为是圆的直径，所以.又平面，所以平面.因为平面，所以.（2）解：因为底面，以点为原点，分别为轴､轴､轴正方向，建立如下图所示空间直角坐标系， 因为，所以.因为，所以，所以是等边三角形，所以.则，因为是的中点，则，，因为底面，易知平面的一个法向量为，设平面的法向量为，由，取，可得，因为，由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为20.【答案】解析：（1）2次都取得3号球的概率（2）随机变量的取值为，则，，所以的分布列为：1234 21.【答案】（1）设，为定值.（2）设，则，由（1）得：又，所以设直线，，则，，将代入上式，化简得：或当时，此时直线为，经过定点与点重合，显然不成立，舍去；当时，此时直线为，所以直线过定点.22.【详解】（1）（i）若，则，由，得.当时，；当时，.的单调递减区间为，单调递增区间为. 故的极小值为无极大值.（ii）由（1）可知，的极值点为在上单调递减，在上单调递增，当时，.又不妨设，则若，则，设，则.设，则为增函数，则.，则在上为增函数，，即.，又在上单调递减，，即.（2），记，，当时，，当在单调递减，当在单调递增，，在单调递增，即在单调递增，使 当在单调递减，当在单调递增，所以当时，有唯一的极小值点，且令，在单调递减，即.