2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测第52讲圆锥曲线的综合应用-定点、定值问题（讲）（Word版附解析）

第52讲圆锥曲线的综合应用——定点、定值问题思维导图知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程．例：由消去y，得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则：Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．弦长公式设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝·或|AB|＝·|y1－y2|＝·.3．定点问题(1)参数法：参数法解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中的核心变量(此处设为k)；②利用条件找到k与过定点的曲线F(x，y)＝0之间的关系，得到关于k与x，y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，找到定点．(2)由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.4.定值问题(1)直接消参求定值：常见定值问题的处理方法：①确定一个(或两个)变量为核心变量， 其余量均利用条件用核心变量进行表示；②将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数．(2)从特殊到一般求定值：常用处理技巧：①在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；②巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算.题型归纳题型1“设参→用参→消参”三步解决圆锥曲线中的定点问题【例1-1】已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线OA，OB的斜率之积为－，求证：直线AB过x轴上一定点．[解]　(1)因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为F(1，0)，所以＝1，所以p＝2.所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)证明：①当直线AB的斜率不存在时，设A，B.因为直线OA，OB的斜率之积为－，所以·＝－，化简得t2＝32.所以A(8，t)，B(8，－t)，此时直线AB的方程为x＝8.②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋b，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立消去x，化简得ky2－4y＋4b＝0.所以yAyB＝，因为直线OA，OB的斜率之积为－，所以·＝－，整理得xAxB＋2yAyB＝0.即·＋2yAyB＝0，解得yAyB＝0(舍去)或yAyB＝－32. 所以yAyB＝＝－32，即b＝－8k，所以y＝kx－8k，即y＝k(x－8)．综上所述，直线AB过定点(8,0)．【跟踪训练1-1】已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F(，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设不经过点B(0,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，若点B在以线段MN为直径的圆上，证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【解】(1)由题意得，c＝，＝2，a2＝b2＋c2，∴a＝2，b＝1，∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．联立消去y，可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.∴Δ＝16(4k2＋1－m2)＞0，x1＋x2＝，x1x2＝.∵点B在以线段MN为直径的圆上，∴·＝0.∵·＝(x1，kx1＋m－1)·(x2，kx2＋m－1)＝(k2＋1)x1x2＋k(m－1)(x1＋x2)＋(m－1)2＝0，∴(k2＋1)＋k(m－1)＋(m－1)2＝0，整理，得5m2－2m－3＝0，解得m＝－或m＝1(舍去)．∴直线l的方程为y＝kx－.易知当直线l的斜率不存在时，不符合题意．故直线l过定点，且该定点的坐标为.【名师指导】定点问题实质及求解步骤 解析几何中的定点问题实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动．这类问题的求解一般可分为以下三步：题型2“设参→用参→消参”三步解决圆锥曲线中的定值问题【例2-1】设O为坐标原点，动点M在椭圆＋＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝.(1)求点P的轨迹E的方程；(2)过F(1,0)的直线l1与点P的轨迹交于A，B两点，过F(1,0)作与l1垂直的直线l2与点P的轨迹交于C，D两点，求证：＋为定值．[解]　(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)．∵＝，∴(x－x0，y)＝(0，y0)，∴x0＝x，y0＝.又点M在椭圆上，∴＋＝1，即＋＝1.∴点P的轨迹E的方程为＋＝1.(2)证明：由(1)知F为椭圆＋＝1的右焦点，当直线l1与x轴重合时，|AB|＝6，|CD|＝＝， ∴＋＝.当直线l1与x轴垂直时，|AB|＝，|CD|＝6，∴＋＝.当直线l1与x轴不垂直也不重合时，可设直线l1的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，则直线l2的方程为y＝－(x－1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y，得(8＋9k2)x2－18k2x＋9k2－72＝0，则Δ＝(－18k2)2－4(8＋9k2)(9k2－72)＝2304(k2＋1)>0，x1＋x2＝，x1x2＝，∴|AB|＝·＝.同理可得|CD|＝.∴＋＝＋＝.综上可得＋为定值．【跟踪训练2-1】已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2，0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)如图所示，点D为x轴上一点，过点D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过点D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为定值，并求出该定值．【解】(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，由题意得解得所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)法一：设D(x0,0)，M(x0，y0)，N(x0，－y0)，－2<x0<2，所以kAM＝，因为AM⊥DE，所以kDE＝－，所以直线DE的方程为y＝－(x－x0)．因为kBN＝－，所以直线BN的方程为y＝－(x－2)．由解得E，所以＝＝＝.故△BDE与△BDN的面积之比为定值.法二：设M(2cosθ，sinθ)(θ≠kπ，k∈Z)，则D(2cosθ，0)，N(2cosθ，－sinθ)，设＝λ，则＝＋＝＋λ＝(2－2cosθ，0)＋λ(2cosθ－2，－sinθ)＝(2－2cosθ＋2λcosθ－2λ，－λsinθ)．又＝(2cosθ＋2，sinθ)，由⊥，得·＝0，从而[(2－2cosθ)＋λ(2cosθ－2)](2cosθ＋2)－λsin2θ＝0，整理得4sin2θ－4λsin2θ－λsin2θ＝0，即5λsin2θ＝4sin2θ.所以λ＝，所以＝＝. 故△BDE与△BDN的面积之比为定值.【名师指导】定值问题实质及求解步骤定值问题一般是指在求解解析几何问题的过程中，探究某些几何量(斜率、距离、面积、比值等)与变量(斜率、点的坐标等)无关的问题．其求解步骤一般为：