2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测第50讲双曲线（讲）（Word版附解析）

第50讲双曲线思维导图知识梳理1．双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2.双曲线的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．3．双曲线的几何性质标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称性对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b焦距|F1F2|＝2c 离心率e＝＝∈(1，＋∞)e是表示双曲线开口大小的一个量，e越大开口越大.渐近线y＝±xy＝±xa，b，c的关系a2＝c2－b2题型归纳题型1双曲线的标准方程【例1-1】已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C的标准方程为(　　)A.－＝1　　　　　　　　B.－＝1C.－＝1D.－＝1【解析】选B　由题意得＝，c2＝a2＋b2＝25，所以a＝4，b＝3，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.【例1-2】与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线标准方程是(　　)A.－y2＝1B.－y2＝1C.－＝1D．x2－＝1【解析】选B　法一：椭圆＋y2＝1的焦点坐标是(±，0)．设双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)，因为双曲线过点P(2,1)，所以－＝1，又a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线标准方程是－y2＝1. 法二：设所求双曲线标准方程为＋＝1(1<λ<4)，将点P(2,1)的坐标代入可得＋＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线标准方程为－y2＝1.【例1-3】经过点P(3,2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为____________．【解析】设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，因为所求双曲线经过点P(3,2)，Q(－6，7)，所以解得故所求双曲线标准方程为－＝1.【答案】－＝1【跟踪训练1-1】焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________．【解析】设所求双曲线的标准方程为－x2＝－λ(λ>0)，即－＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.【答案】－＝1【跟踪训练1-2】过双曲线C：－＝1(a＞b＞0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为________________．【解析】因为渐近线y＝x与直线x＝a交于点A(a，b)，c＝4且＝4，解得a2＝4，b2＝12，因此双曲线的标准方程为－＝1.【答案】－＝1【名师指导】求双曲线标准方程的2种方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c 的值．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．题型2双曲线的定义及其应用【例2-1】(1)(2019·河南安阳三模)设双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C交于M，N两点，其中M在左支上，N在右支上．若∠F2MN＝∠F2NM，则|MN|＝(　　)A．8B．4C．8D．4(2)(2019·河北廊坊省级示范校三联)设F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线交双曲线C的左支于A，B两点，且|AF2|＝3，|BF2|＝5，|AB|＝4，则△BF1F2的面积为________．(3)已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．【解析】　(1)由∠F2MN＝∠F2NM可知，|F2M|＝|F2N|，由双曲线定义可知，|MF2|－|MF1|＝4，|NF1|－|NF2|＝4，两式相加得，|NF1|－|MF1|＝|MN|＝8.(2)∵|AF2|＝3，|BF2|＝5，|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，∴|AF2|＋|BF2|－|AB|＝4a＝3＋5－4＝4，∴a＝1，∴|BF1|＝3，又|AF2|2＋|AB|2＝|BF2|2，∴∠F2AB＝90°，∴sinB＝，∴S△BF1F2＝×5×3×sinB＝×5×3×＝.(3)因为F是双曲线－＝1的左焦点，所以F(－4,0)，设其右焦点为H(4,0)，则由双曲线的定义可得|PF|＋|PA|＝2a＋|PH|＋|PA|≥2a＋|AH|＝4＋＝4＋5＝9.【答案】　(1)C　(2)　(3)9【跟踪训练2-1】已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC内切圆的圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程是(　　) A.－＝1(x＞2)B.－＝1(y＞2)C.－＝1D.－＝1【解析】选A　如图，△ABC与内切圆的切点分别为G，E，F.|AG|＝|AE|＝7，|BF|＝|BG|＝3，|CE|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝7－3＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，方程为－＝1(x>2)．【跟踪训练2-2】已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.【解析】由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝2a＝2，|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，则cos∠F1PF2＝＝＝.【答案】【名师指导】双曲线定义的应用策略(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．(3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a<|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．题型3双曲线的简单几何性质【例3-1】(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则C的离心率为________．【解析】　法一：双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x， ∵·＝0，∴F1B⊥F2B，∴点B在⊙O：x2＋y2＝c2上，如图所示，不妨设点B在第一象限，由∵＝，∴点A为线段F1B的中点，∴A，将其代入y＝－x得＝×.解得c＝2a，故e＝＝2.法二：如图，由＝知A为线段F1B的中点，∵O为线段F1F2的中点，∴OA∥F2B，∵·＝0，∴F1B⊥F2B，∴OA⊥F1A且∠F1OA＝∠OF2B，∵∠BOF2＝∠AOF1，∴∠BOF2＝∠OF2B，又易知|OB|＝|OF2|＝c，∴△OBF2为正三角形，可知＝tan60°＝，∴e＝＝＝2.法三：如图，设∠AOy＝α，则∠BOy＝α，∵＝，∴A为线段F1B的中点，又∵O为线段F1F2的中点，∴OA∥BF2，∴∠OBF2＝2α.过B作BH⊥OF2，垂足为H，则BH∥y轴，则有∠OBH＝α，∴∠HBF2＝α，易得△OBH≌△F2BH，∴|OB|＝|BF2|，∵·＝0，∴BF1⊥BF2，又O为F1F2的中点，∴|OB|＝|OF2|＝c，∴△OBF2为正三角形．∴∠BOF2＝60°，则＝tan60°＝， ∴e＝＝＝2.【答案】　2【例3-2】(2019·武汉调研)已知双曲线C：－＝1(m＞0，n＞0)的离心率与椭圆＋＝1的离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为(　　)A．4x±3y＝0B．3x±4y＝0C．4x±3y＝0或3x±4y＝0D．4x±5y＝0或5x±4y＝0【解析】　由题意知，椭圆中a＝5，b＝4，∴椭圆的离心率e＝＝，∴双曲线的离心率为＝，∴＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即4x±3y＝0.故选A.【答案】　A【例3-3】(2020·广东湛江一模)设F为双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，过E的右顶点作x轴的垂线与E的渐近线相交于A，B两点，O为坐标原点，四边形OAFB为菱形，圆x2＋y2＝c2(c2＝a2＋b2)与E在第一象限的交点是P，且|PF|＝－1，则双曲线E的方程是(　　)A.－＝1B.－＝1C.－y2＝1D．x2－＝1【解析】　双曲线E：－＝1的渐近线方程为y＝±x，∵四边形OAFB为菱形，∴对角线互相垂直平分，∴c＝2a，∠AOF＝60°，∴＝.则有 解得P.∵|PF|＝－1，∴2＋2＝(－1)2，解得a＝1，则b＝，故双曲线E的方程为x2－＝1.故选D.【答案】　D【跟踪训练3-1】(2020·福建厦门一模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若|MN|＝2，△ABF的面积为8，则C的渐近线方程为(　　)A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±2xD．y＝±x【解析】选B　设双曲线的另一个焦点为F′，由双曲线的对称性，可得四边形AFBF′是矩形，∴S△ABF＝S△ABF′，即bc＝8，由可得y＝±，则|MN|＝＝2，即b2＝c，∴b＝2，c＝4，∴a＝＝2，∴C的渐近线方程为y＝±x，故选B.【跟踪训练3-2】(2019·天津高考)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为(　　)A.　　　　　　　　　B.C．2D.【解析】选D　由已知易得，抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线l：x＝－1，所以|OF|＝1.又双曲线的两条渐近线的方程为y＝±x，不妨设点A，B，所以|AB|＝＝4|OF|＝4，所以＝2 ，即b＝2a，所以b2＝4a2.又双曲线方程中c2＝a2＋b2，所以c2＝5a2，所以e＝＝.故选D.【跟踪训练3-3】已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是________．【解析】由题意知a＝，b＝1，c＝，设F1(－，0)，F2(，0)，则＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)．∵·<0，∴(－－x0)(－x0)＋y<0，即x－3＋y<0.∵点M(x0，y0)在双曲线C上，∴－y＝1，即x＝2＋2y，∴2＋2y－3＋y<0，∴－<y0<.【答案】【名师指导】1.求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)；2.求渐近线时，利用c2＝a2＋b2转化为关于a，b的方程．双曲线渐近线的斜率与离心率的关系：k＝±＝±＝±＝±；3.求双曲线的方程时，将已知条件中的双曲线的几何性质和几何关系转化为关于a，b，c的关系式，结合c2＝a2＋b2，列出未知参数的方程，解方程后即可求出双曲线方程.4.求解双曲线的几何性质问题，其通用的方法是利用方程思想解题，其思维流程是：