2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测第48讲椭圆及其性质（讲）（Word版附解析）

第48讲椭圆及其性质（讲）思维导图知识梳理1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a＞|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点.2．椭圆的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．3．椭圆的几何性质标准方程＋＝1(a＞b＞0)＋＝1(a＞b＞0)范围|x|≤a，|y|≤b|x|≤b，|y|≤a对称性关于x轴，y轴对称，关于原点中心对称顶点坐标　(a,0)，(－a,0)，　(0，b)，(0，－b)　(b,0)，(－b,0)，　(0，a)，(0，－a)焦点坐标(c,0)，(－c,0)(0，c)，(0，－c)半轴长长半轴长为a，短半轴长为b，a＞b离心率e＝ a，b，c的关系a2＝b2＋c2题型归纳题型1椭圆的定义及其应用【例1-1】（2019秋•盐田区校级期中）已知F1（﹣3，0），F2（3，0）动点M满足|MF1|+|MF2|＝10，则动点M的轨迹方程　　．【分析】依据动点M满足的条件及椭圆的定义可得：动点M的轨迹是：以F1，F2为焦点的椭圆，即可得出结论．【解答】解：根据椭圆的定义知，到两定点F1，F2的距离之和为10＞|F1F2|＝6，动点M的轨迹是：以F1，F2为焦点的椭圆，且a＝5，c＝3，b＝4，∴动点M的轨迹方程是＝1．故答案为＝1．【例1-2】（2019•新课标Ⅲ）设F1，F2为椭圆C：+＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为　　．【分析】设M（m，n），m，n＞0，求得椭圆的a，b，c，e，由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF1|＞|MF2|，△MF1F2为等腰三角形，可能|MF1|＝2c或|MF2|＝2c，运用椭圆的焦半径公式，可得所求点的坐标．【解答】解：设M（m，n），m，n＞0，椭圆C：+＝1的a＝6，b＝2，c＝4，e＝＝，由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF1|＞|MF2|，△MF1F2为等腰三角形，可能|MF1|＝2c或|MF2|＝2c，即有6+m＝8，即m＝3，n＝；6﹣m＝8，即m＝﹣3＜0，舍去．可得M（3，）．故答案为：（3，）．【跟踪训练1-1】（2019秋•龙岗区期末）已知△ABC的周长为20，且顶点B（0，﹣4），C（0，4），则顶 点A的轨迹方程是（　　）A．（x≠0）B．（x≠0）C．（x≠0）D．（x≠0）【分析】根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．【解答】解：∵△ABC的周长为20，顶点B（0，﹣4），C（0，4），∴BC＝8，AB+AC＝20﹣8＝12，∵12＞8∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，∵a＝6，c＝4∴b2＝20，∴椭圆的方程是故选：B．【跟踪训练1-2】（2019秋•广东期末）已知椭圆+＝1上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为　　．【分析】椭圆的长轴长为10，根据椭圆的定义，利用椭圆上的点P到一个焦点的距离为3，即可得到P到另一个焦点的距离．【解答】解：椭圆的长轴长为10根据椭圆的定义，∵椭圆上的点P到一个焦点的距离为3∴P到另一个焦点的距离为10﹣3＝7故答案为：7【名师指导】椭圆定义的应用技巧椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余 弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等．题型2椭圆的标准方程【例2-1】（2020春•黄浦区校级期末）如图，已知椭圆C的中心为原点O，为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝4，则椭圆C的标准方程为　　．【分析】设椭圆的方程为（a＞b＞0），由题可知，c＝，根据|OP|＝|OF|且|PF|＝4可求出点P的坐标，将其代入椭圆方程，并结合a2＝b2+c2解出a2和b2的值即可．【解答】解：由题可知，c＝，过点P作PM垂直x轴于M，设|OM|＝t，则|FM|＝﹣t，由勾股定理知，|PM|2＝|OP|2﹣|OM|2＝|PF|2﹣|FM|2，即，解得，∴，∴点P的坐标为（﹣，），设椭圆的方程为（a＞b＞0），则，化简得，又a2＝b2+c2＝b2+20，∴a2＝36，b2＝16，∴椭圆的标准方程为．故答案为：． 【例2-2】（2019秋•伊春区校级期中）过点（，﹣），且与椭圆+＝1有相同的焦点的椭圆的标准方程　　．【分析】求出椭圆+＝1的焦点，即c＝4，可设所求椭圆方程，由a，b，c的关系，和点在椭圆上得到a，b的方程组，解出a，b，进而得到所求椭圆方程．【解答】解：椭圆+＝1的焦点为（0，±4），则所求椭圆的c＝4，可设椭圆方程为＝1（a＞b＞0），则有a2﹣b2＝16，①再代入点（，﹣），得，＝1，②由①②解得，a2＝20，b2＝4．则所求椭圆方程为＝1．故答案为：＝1．【例2-3】（2019秋•南通期末）椭圆以坐标轴为对称轴，经过点（3，0），且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为（　　）A．B．C．或D．或【分析】根据题意，按椭圆的焦点位置分2种情况讨论，求出对应的椭圆方程，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，要求椭圆经过点（3，0），且长轴长是短轴长的2倍，分2种情况讨论：①，椭圆的焦点在x轴上，则a＝3，b＝，此时椭圆的方程为+＝1，②，椭圆的焦点在y轴上，则b＝3，则a＝6，此时椭圆的方程为+＝1；故椭圆的方程为+＝1或+＝1； 故选：C．【跟踪训练2-1】（2019秋•广东期末）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝3|BF2|，|BF1|＝5|BF2|，则椭圆C的方程为（　　）A．B．C．D．【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a，再由隐含条件求得b，则椭圆的方程可求．【解答】解：∵|BF1|＝5|BF2|，且|BF1|+|BF2|＝2a，∴|BF2|＝，|BF1|＝，∵|AF2|＝3|BF2|，∴|AF2|＝a，∵|AF1|+|AF2|＝2a，∴|AF1|＝a，∴|AF1|＝|AF2|，则A在y轴上．在Rt△AF2O中，cos∠AF2O＝，在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1＝＝，根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1＝0，可得，解得a2＝2，∴b2＝a2﹣c2＝1．∴椭圆C的方程为：．故选：A．【跟踪训练2-2】（2019秋•天心区校级期末）若直线x﹣2y+2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（　　） A．+y2＝1B．+＝1C．+y2＝1或+＝1D．以上答案都不对【分析】利用椭圆的简单性质求解，题中没有明确焦点在x轴还是在y轴上，所以分情况讨论．【解答】解：设焦点在x轴上，椭圆的标准方程为∴焦点坐标为（﹣c，0），（c，0），顶点坐标为（0，b），（0，﹣b）；椭圆的a，b，c关系：；a2﹣b2＝c2∵直线x﹣2y+2＝0恒过定点（0，1）∴直线x﹣2y+2＝0必经过椭圆的焦点（﹣c，0），和顶点（0，b）带入直线方程：解得：c＝2，b＝1，a＝∴焦点在x轴上，椭圆的标准方程为；当设焦点在y轴，椭圆的标准方程为∴焦点坐标为（0，﹣c），（0，c），顶点坐标为（﹣b，0），（b，0）；椭圆的a，b，c关系：a2﹣b2＝c2∵直线x﹣2y+2＝0恒过定点（0，1）∴直线x﹣2y+2＝0必经过椭圆的焦点（0，c），和顶点（﹣b，0）带入直线方程解得：c＝1，b＝2，a＝∴焦点在y轴上，椭圆的标准方程为．故选：C．【跟踪训练2-3】（2019秋•阳泉期末）经过两点A（0，2）、B（，）的椭圆的标准方程为　　． 【分析】本题先设椭圆的方程为+＝1，然后将两点A（0，2）、B（，）代入椭圆的方程，解关于m、n的二元一次方程组，即可得到椭圆的标准方程．【解答】解：由题意，设椭圆的方程为+＝1，则，解得．∴椭圆的标准方程为x2+＝1．故答案为：x2+＝1．【名师指导】根据条件求椭圆方程的2种方法定义法根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程待定系数法待定系数法是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，再用待定系数法求出m，n的值即可题型3椭圆的几何性质【例3-1】（2020•邵阳三模）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，，线段MF2的延长线交椭圆C于点N，若|MF1|，|MN|，|NF1|成等差数列，则椭圆C的离心率为（　　）A．B．C．D．【分析】设|MF2|＝m，根据等差数列的性质和椭圆的定义可得|MN|＝a，再根据向量的垂直可得a＝m，即可求出离心率．【解答】解：设|MF2|＝m，∵|MF1|，|MN|，|NF1|成等差数列，∴2|MN|＝|MF1|+|NF1|， ∴|MN|＝|MF2|+|NF2|＝2a﹣|MF1|+2a﹣|NF1|＝4a﹣2|MN|，∴|MN|＝a，∴|NF2|＝a﹣m，∴|NF1|＝2a﹣（a﹣m）＝a+m，∵，∴MF1⊥MF2，∴Rt△F1MN中，|NF1|2＝|MN|2+|MF1|2，∴（2a﹣m）2+（a）2＝（a+m）2，整理可得m＝a，∴|MF2|＝a，|MF1|＝a，∴|F2F1|2＝|MF2|2+|MF1|2，∴4c2＝2a2，∴e＝＝，故选：A．【例3-2】（2020•襄州区校级四模）已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点（异于左、右顶点），若存在以为半径的圆内切于△PF1F2，则椭圆的离心率的取值范围是（　　）A．B．C．D．【分析】利用已知条件列出三角形的面积，推出不等式，然后推出椭圆的离心率的范围．【解答】解：F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点（异于左、右顶点），若存在以为半径的圆内切于△PF1F2，可得：，∴，∴，∴（a+c）2≤2b2，则0≤a2﹣2ac﹣3c2， ∵（a+c）（a﹣3c）≥0，∴a≥3c，∴．故选：D．【例3-3】（2019秋•和平区校级期末）已知F1，F2椭圆的左右焦点，|F1F2|＝4，点在椭圆C上，P是椭圆C上的动点，则的最大值为（　　）A．4B．C．5D．【分析】由题意求出椭圆的方程，可得左焦点F1的坐标，求出数量积的表达式，再由P的纵坐标的范围及二次函数的性质可得所求的结果．【解答】解：由题意可得：c＝2，＝1，a2＝b2+c2，解得a2＝8，b2＝4，所以椭圆的方程为：＝1，可得F1（﹣2，0），设P（x，y）则：＝1，所以可得：x2＝8﹣2y2，则＝（2﹣x，﹣y）（﹣2﹣x，﹣y）＝x2﹣4+y2﹣＝﹣y2﹣+4＝﹣（y）+，当且仅当y＝∈[﹣2，2]，时，则的最大值为：，故选：B．【跟踪训练3-1】（2020•丹东二模）已知O为椭圆C的中心，F为C的一个焦点，点M在C外，＝3，经过M的直线l与C的一个交点为N，△MNF是有一个内角为120°的等腰三角形，则C的离心率为（　　）A．B．C．﹣1D．【分析】不妨设F（c，0），计算M的坐标，根据等腰三角形得到N点坐标，代入椭圆方程化简即可求出离心率．【解答】解：不妨设F（c，0），，则M（﹣3c，0），易知△MNF中只能∠MNF＝120°，△MNF是有一个内角为120°的等腰三角形，则N（﹣c，c），将N代入椭圆方程得到，即， 解得或e2＝3（舍去），故e＝，故选：B．【跟踪训练3-2】（2020春•湖北期末）设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，若在x轴上方的C上存在两个不同的点M，N满足∠F1MF2＝∠F1NF2＝，则椭圆C离心率的取值范围是（　　）A．B．C．D．【分析】当点M在上顶点A时，∠F1MF2最大，要使在x轴上方的C上存在两个不同的点M，N满足∠F1MF2＝∠F1NF2＝，只需∠F1AF2＞，即tan，即可求解．【解答】解：如图，当点M在上顶点A时，∠F1MF2最大，要使在x轴上方的C上存在两个不同的点M，N满足∠F1MF2＝∠F1NF2＝，只需∠F1AF2＞，即∠AF2F1＜∴tan，⇒3b2＜c2⇒3（a2﹣c2）＜c2，⇒3a2＜4c2，e，则椭圆C离心率的取值范围是：（，1），故选：C．【跟踪训练3-3】（2020•武侯区校级模拟）已知P是椭圆上一动点，A（﹣2，1），B（2，1），则的最大值是（　　） A．B．C．D．【分析】过点P作PH⊥AB，垂足为H，设P（x，y），可得，由正切的和角公式可得，通过换元令t＝1﹣y∈[0，2]，结合基本不等式可得当时cos∠APB最大，由此得解．【解答】解：过点P作PH⊥AB，垂足为H，设P（x，y），则，∴＝，令t＝1﹣y∈[0，2]，当t＝0时，tan∠APB＝0，∠APB＝π，cos∠APB＝﹣1；当t∈（0，2]时，，当且仅当，即时取等号，此时cos∠APB最大，且．故选：A．【名师指导】一、求椭圆离心率的三种方法1．直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．2．构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．3．通过取特殊值或特殊位置，求出离心率． 二、与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法1．利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围．2．利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围．3．利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．4．利用一元二次方程的根的判别式求最值或取值范围．