2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测第24讲两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式（达标检测）（Word版附解析）

第24讲两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式（达标检测）[A组]—应知应会1．（2020春•梅州期末）cos75°＝（　　）A．6-22B．6+22C．6-24D．6+24【分析】将75°看成30°与45°的和，然后利用两角和的余弦公式求解．【解答】解：cos75°＝cos（30°+45°）＝cos30°cos45°﹣sin30°sin45°=32×22-12×22=6-24．故选：C．2．（2020春•成都期末）已知sinα=1010，则cos2α＝（　　）A．45B．-45C．31010D．-31010【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式即可求解．【解答】解：∵sinα=1010，∴cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×（1010）2=45．故选：A．3．（2020春•辽宁期末）已知sinα=14，sin2α＜0，则tanα＝（　　）A．15B．1515C．-15D．-1515【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα的值，进而即可求解tanα的值．【解答】解：∵sinα=14＞0，sin2α＝2sinαcosα＜0，∴cosα＜0，可得cosα=-1-sin2α=-1-116=-154，∴tanα=sinαcosα=-1515．故选：D． 4．（2020春•泸州期末）已知tanα，tanβ是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两实根，则tan（α+β）＝（　　）A．13B．-12C．12D．-13【分析】直接利用一元二次方程根和系数关系式的应用和和角公式的运用求出结果．【解答】解：tanα，tanβ是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两实根，则：tanα+tanβ＝﹣2，tanα•tanβ＝﹣5，故tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-13．故选：D．5．（2020春•内江期末）设a＝sin18°cos44°+cos18°sin44°，b＝2sin29°cos29°，c＝cos30°，则有（　　）A．c＜a＜bB．b＜c＜aC．a＜b＜cD．b＜a＜c【分析】利用两角和差的正弦公式，倍角公式以及三角函数的单调性进行比较大小即可．【解答】解：a＝sin18°cos44°+cos18°sin44°＝sin（18°+44°）＝sin62°，b＝2sin29°cos29°＝sin58°，c＝cos30°＝sin60°，∵y＝sinx在[45°，90°]上为增函数，∴sin62°＞sin60°＞sin58°，即a＞c＞b，故选：B．6．（2020春•沈阳期末）已知sin（α-π6）=23，则sin（2α-5π6）＝（　　）A．459B．-459C．19D．-19【分析】利用诱导公式化简已知可得cos（2π3-α）=23，进而利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求即可计算得解．【解答】解：∵sin（α-π6）＝cos[π2-（α-π6）]＝cos（2π3-α）=23，∴sin（2α-5π6）＝cos[π2-（2α-5π6）]＝cos（4π3-2α）＝2cos2（2π3-α）﹣1＝2×（23）2﹣1=-19．故选：D．7．（2020春•聊城期末）已知α为第二象限角，sinα+cosα=15，则tan2α＝（　　） A．-247B．247C．2425D．43【分析】将已知等式平方可得2cosαsinα的值，从而可求得cosα﹣sinα，结合已知条件求得cosα，sinα的值，求得tanα的值，利用二倍角的正切函数公式可求tan2α的值．【解答】解：∵sinα+cosα=15，①∴平方可得：sin2α+cos2α+2sinαcosα=125，可得：1+2sinαcosα=125，可得2cosαsinα=-2425，从而cosα﹣sinα=-(cosα-sinα)2=-1-2sinαcosα=-75，②∴①②联立解得：cosα=-35，sinα=45，可得tanα=-43，∴tan2α=2tanα1-tan2α=2×(-43)1-(-43)2=247．故选：B．8．（2019秋•辽源期末）已知tan（α+β）＝3，tan（α﹣β）＝5，则tan2a的值为（　　）A．-47B．47C．18D．-18【分析】由关系式2α＝（α+β）+（α﹣β）及两角和的正切公式代入已知即可求值．【解答】解：∵tan（α+β）＝3，tan（α﹣β）＝5，∴tan（2α）＝tan[（α+β）+（α﹣β）]=tan(α+β)+tan(α-β)1-tan(α+β)tan(α-β)=3+51-3×5=-47，故选：A．9．（2020•郑州二模）若α∈（π2，π），则2cos2α＝sin（π4-α），则sin2α的值为（　　）A．18B．-78C．1D．78【分析】由条件利用两角和的正弦公式、二倍角公式求得，cosα﹣sinα，或cosα+sinα的值，由此求得sin2α的值．【解答】解：法1：∵α∈（π2，π），且2cos2α＝sin（π4-α），∴2（cos2α﹣sin2α）=22（sinα﹣cosα）， ∴cosα+sinα=-24，或cosα﹣sinα＝0（根据角的取值范围，此等式不成立排除）．∵cosα+sinα=-24，则有1+sin2α=18，sin2α=-78；故选：B．法2：∵α∈（π2，π），∴2α∈（π，2π），∴sin2α＜0，综合选项，故选：B．10．（2020春•宣城期末）已知tanαtanβ＝m，cos（α﹣β）＝n，则cos（α+β）＝（　　）A．2n(1-m)m+1B．n(1-m)m+1C．6n(1-m)m+1D．n(m-1)m+1【分析】根据同角的三角函数关系，结合两角和差的余弦公式建立方程，求出sinαsinβ，cosαcosβ的值即可．【解答】解：∵tanαtanβ＝m，∴sinαsinβcosαcosβ=m，即sinαsinβ＝mcosαcosβ，∵cos（α﹣β）＝n，∴cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝n，得cosαcosβ+mcosαcosβ＝n，得cosαcosβ=n1+m，sinαsinβ=mn1+m，则cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ=n1+m-mn1+m=n(1-m)1+m，故选：B．11．（多选）（2020春•南京期末）下列四个等式其中正确的是（　　）A．tan25°+tan35°+3tan25°tan35°=3B．tan22.5°1-tan222.5°=1C．cos2π8-sin2π8=12D．1sin10°-3cos10°=4【分析】利用三角恒等变换逐项判断即可．【解答】解：对①：tan60°＝tan（25°+35°）=tan25°+tan35°1-tan25°tan35°=3，故tan25°+tan35°+3tan25°tan35°=3，故正确； 对②：tan22.5°1-tan222.5°=12tan45°＝1，故tan22.5°1-tan222.5°=12，故错误；对③：cos2π8-sin2π8=cosπ4=22，故错误；对④：1sin10°-3cos10°=cos10°-3sin10°sin10°cos10°=2cos(60°+10°)12sin20°=2sin20°12sin20°=4，故正确．故选：AD．12．（多选）（2020春•徐州月考）下列各式中，值为32的是（　　）A．2sin15°cos15°B．1+tan15°2(1-tan15°)C．1﹣2sin215°D．3tan15°1-tan215°【分析】利用二倍角公式结合三角函数的值逐一求解四个选项得答案．【解答】解：2sin15°cos15°＝sin30°=12；1+tan15°2(1-tan15°)=tan45°+tan15°2(1-tan45°tan15°)=12tan(45°+15°)=12tan60°=32；1﹣2sin215°＝cos30°=32；3tan15°1-tan215°=32⋅2tan15°1-tan215°=32⋅tan30°=32．∴值为32的是BCD．故选：BCD．13．（2020春•泸州期末）已知sin（π2-α）=13，则cos2α＝　　．【分析】由已知利用诱导公式可求cosα=13，进而根据二倍角的余弦函数公式即可求解．【解答】解：∵sin（π2-α）＝cosα=13，∴cos2α＝2cos2α﹣1＝2×（13）2﹣1=-79．故答案为：-79．14．（2020春•安徽期末）已知α为锐角，sin（π3-α）=33，则cosα＝　．【分析】先利用同角关系式求出余弦值，结合两角和差的余弦公式进行拆角转化即可．【解答】解：∵α为锐角，∴0＜α＜π2，则-π2＜-α＜0，-π6＜π3-α＜π3， ∵sin（π3-α）=33，∴cos（π3-α）=1-(33)2=69=63，则cosα＝cos（﹣α）＝cos[（π3-α）-π3]＝cos（π3-α）cosπ3+sin（π3-α）sinπ3=63×12+33×32=12+66，故答案为：12+6615．（2020春•静安区期末）已知sinα+cosα=15，且π2≤α≤3π4，则cos2α＝　．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，求得结果．【解答】解：∵已知sinα+cosα=15，且π2≤α≤3π4，∴1+sin2α=125，且π＜2α＜3π2，∴sin2α=-2425则cos2α=-1-sin22α=-725，故答案为：-725．16．（2020春•镇江期末）已知α∈（π2，π），tan2α=34，则sin2α+cos2α＝　　．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式的，以及三角函数在各个象限中的符号，先求出tanα的值，可得要求式子的值．【解答】解：已知α∈（π2，π），tan2α=34，∴2α∈（π，3π2），∴α∈（π2，3π4），且2tanα1-tan2α=34，∴tanα＝﹣3，或tanα=13（不合题意，舍去）．则sin2α+cos2α=2sinαcosα+cos2αsin2α+cos2α=2tanα+1tan2α+1=-12，故答案为：-12．17．（2020春•海安市校级期末）已知sinαsin（π2-β）﹣sin（π2+α）sinβ＝1，则tanα-β2=　　．【分析】由已知利用诱导公式，两角差的正弦函数公式可得sin（α﹣β）＝1，可求α-β2=kπ+π4，k∈Z，利用诱导公式即可求解tanα-β2的值．【解答】解：∵sinαsin（π2-β）﹣sin（π2+α）sinβ＝1，∴sinαcosβ﹣cosαsinβ＝sin（α﹣β）＝1， ∴α﹣β＝2kπ+π2，k∈Z，可得α-β2=kπ+π4，k∈Z，∴tanα-β2=tan（kπ+π4）＝tanπ4=1．故答案为：1．18．（2020春•宣城期末）已知锐角θ满足cos（θ+π6）=-23，则sin（θ+5π12）＝　　．【分析】根据同角三角函数关系，以及诱导公式，结合两角和差的正弦公式进行转化求解即可．【解答】解：∵锐角θ满足cos（θ+π6）=-23，∴π6＜θ+π6＜2π3，则sin（θ+π6）=1-(-23)2=73，∵θ+5π12-（θ+π6）=π4，∴θ+5π12=（θ+π6）+π4，则sin（θ+5π12）＝sin[（θ+π6）+π4]＝sin（θ+π6）cosπ4+cos（θ+π6）sinπ4=73×22-23×22=14-26，故答案为：14-2619．（2020春•包头期末）已知sinα=45，α∈（π2，π），cosβ=-53，β是第三象限角．（1）求cos（α+β）的值；（2）求tan（α﹣β）的值．【分析】（1）直接利用三角函数的定义和和角公式的运用求出结果．（2）利用切化弦思想和差角公式的应用求出结果．【解答】解：（1）已知sinα=45，α∈（π2，π），所以cosα=-35，由于cosβ=-53，β是第三象限角．所以sinβ=-23．故：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=35×53+45×23=8+3515． （2）由于tanα=sinαcosα=-43，tanβ=sinβcosβ=25，故tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ=145-12920．（2020春•上饶期末）已知α为锐角，求下列各式的值：（1）sinα=35，求sin(α+π6)的值；（2）cos(α+π3)=13，求sinα的值．【分析】（1）由α为锐角及α的正弦值可得α的余弦值，将sin(α+π6)按两角和的正弦公式展开，即可求出其值；（2）由α为锐角及cos(α+π3)=13＞0，可得α+π3∈（π3，π2），进而求出α+π3的正弦值，由sinα＝sin[（α+π3）-π3]将其按两角差的正弦公式展开可得其值．【解答】解：（1）因为α为锐角，sinα=35，所以cosα═1-sin2α=45，所以sin(α+π6)=sinαcosπ6+cosαsinπ6=35⋅32+45⋅12=33+410；（2）因为α为锐角，cos(α+π3)=13＞0，α+π3∈（π3，π2），可得sin（α+π3）=1-cos2(α+π3)=223，所以sinα＝sin[（α+π3）-π3]＝sin（α+π3）cosπ3-cos（α+π3）sinπ3=223⋅12-13⋅32=22-36．21．（2020春•徐州期末）已知0＜α＜π2，cos(π4+α)=13．（1）求cosα的值；（2）求sin2α的值．【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，求得cosα的值．（2）由题意利用诱导公式、二倍角公式，求得结果．【解答】解：（1）因为0＜α＜π2，所以，π4＜π4+α＜3π4，所以，sin(π4+α)＞0．由cos(π4+α)=13，所以，sin(π4+α)=1-cos2(π4+α)=223，所以cosα=cos[(π4+α)-π4]=cos(π4+α)cosπ4+sin(π4+α)sinπ4=13×22+223×22=4+26．（2）sin2α=-cos(π2+2α)=-cos[2(π4+α)]=1-2cos2(π4+α)=1-29=79． 22．（2020春•利通区校级期末）已知sin（π﹣α）=437，cos（α﹣β）=1314，0＜β＜α＜π2．（1）求sin（α+π3）的值；（2）求角β的大小．【分析】（1）直接利用三角函数的诱导公式的应用和同角三角函数的变换的应用求出结果．（2）利用三角函数的角的变换的应用求出结果．【解答】解：（1）已知sin（π﹣α）＝sinα=437，由于0＜α＜π2．所以cosα=1-sin2α=17，故sin(α+π3)=sinαcosπ3+cosαsinπ3=437×12+17×32=5314．（2）0＜β＜α＜π2．所以0＜α-β＜π2，由于cos（α﹣β）=1314，所以sin(α-β)=3314，故：cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cosβcos（α﹣β）+sinβsin（α﹣β）=17×1314+437×3314=12．由于0＜β＜π2．所以β=π3．23．（2020春•金凤区校级期末）已知tanα＝2，其中α∈（0，π2）．（1）求2sin2α1+cos2α的值；（2）求cos（α+π4）的值．【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式化简化简求解．（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，sinα的值，进而根据两角和的余弦函数公式即可求解cos（α+π4）．【解答】解：（1）由于tanα＝2，其中α∈（0，π2）， 所以：2sin2α1+cos2α=2sin2α2cos2α+sin2α=2tan2α2+tan2α=2×222+22=86=43；（2）由于tanα＝2，其中α∈（0，π2），可得：cosα=11+tan2α=11+22=55，sinα=1-cos2α=255，cos（α+π4）=22cosα-22sinα=22×55-22×255=-1010．[B组]—强基必备1．（2020•福州模拟）已知α，β是函数f（x）＝sinx+cosx-13在[0，2π）上的两个零点，则cos（α﹣β）＝（　　）A．﹣1B．-89C．-22D．0【分析】利用函数与方程之间的关系，结合三角函数的诱导公式，同角的三角函数的关系以及两角和差的三角公式分别进行转化求解即可．【解答】解：解法一：依题意，f（α）＝f（β）＝0，故sinα+cosα=13，由sinα+cosα=13sin2α+cos2α=1，得9sin2α﹣3sinα﹣4＝0，9cos2α﹣3cosα﹣4＝0且sinα≠cosα，所以sinα，cosα是方程9x2﹣3x﹣4＝0（*）的两个异根．同理可证，sinβ，cosβ为方程（*）的两个异根．可以得到sinα≠sinβ，理由如下：假设sinα＝sinβ，则cosα＝cosβ，又α，β∈[0，2π），则α＝β，这与已知相悖，故sinα≠sinβ．从而sinα，sinβ为方程（*）的两个异根，故sinαsinβ=-49．同理可求cosαcosβ=-49，所以cos（α﹣β）＝cosαcosα+sinαsinβ=-89．解法二：令f（x）＝0，得sinx+cosx=13．令g（x）＝sinx+cosx，即g(x)=2sin(x+π4)，则α，β即为g（x）与直线y=13在[0，2π）上交点的横坐标，由图象可知，α+β2=5π4，故β=5π2-α，又2sin(α+π4)=13，所以cos（α﹣β）=cos(2α-5π2)=cos[2(α+π4)-3π]=-cos2(α+π4)=-1+2sin2(α+π4)=-89． 解法三：依题意，不妨设0≤β＜α＜2π，则点A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ）为直线x+y-13=0与单位圆的两个交点，如图所示．取AB中点为H，则OH⊥AB，记∠AOH＝θ．则α﹣β＝2π﹣2θ，所以，cos（α﹣β）＝cos（2π﹣2θ）＝cos2θ＝2cos2θ﹣1．另一方面，OH=|0+0-13|12+12=26，OA＝1，故cosθ=26，从而cos(α-β)=2×(26)2-1=-89．故选：B．2．（2020•榆林模拟）已知sinα﹣2cosα＝1，α∈（π，3π2），则1-tanα21+tanα2=（　　）A．-12B．﹣2C．12D．2【分析】推导出α2∈（π2，3π4），tanα2∈（﹣1，0），1-tanα21+tanα2=1-sinαcosα，由此利用sinα﹣2cosα＝1，α∈（π，3π2），能求出1-tanα21+tanα2的值．【解答】解：∵α∈（π，3π2），∴α2∈（π2，3π4），∴tanα2∈（﹣1，0），∴1-tanα21+tanα2=(1-tanα2)2(1+tanα2)(1-tanα2)=1+tan2α2-2tanα21-tan2α2 =cos2α2+sin2α2-2sinα2cosα2cos2α2-sin2α2=1-sinαcosα，∵sinα﹣2cosα＝1，α∈（π，3π2），∴1-tanα21+tanα2=1-sinαcosα=-2．故选：B．3．（2019秋•福建月考）已知α，β∈（0，π2），tanα=cos2β1-sin2β，则α﹣β＝（　　）A．π2B．π4C．3π4D．π【分析】利用三角函数的和数关系与商数关系，可以将tanα=cos2β1-sin2β化简为tan（β+π4），即可求解．【解答】解：由tanα=cos2β1-sin2β=cos2β-sin2βcos2β-2sinβcosβ+sin2β=(cosβ-sinβ)(cosβ+sinβ)(cosβ-sinβ)2=cosβ+sinβcosβ-sinβ=1+tanβ1-tanβ=tanπ4+tanβ1-tanπ4tanβ=tan（β+π4），∵α，β∈（0，π2），∴α=β+π4；∴α-β=π4．故选：B．4．（2020春•冷水滩区校级月考）已知2sin2α+2sinαcosα1+tanα=k（0＜α＜π2）．试用k表示sinα﹣cosα的值．【分析】利用倍角公式及切化弦可把原式化为2sinαcosα＝k．分0＜α＜π4，π4≤α＜π2两种情况通过求（sinα﹣cosα）2可得答案．【解答】解：2sin2α+2sinαcosα1+tanα=2sinα(sinα+cosα)1+sinαcosα=2sinαcosα(sinα+cosα)sinα+cosα＝2sinαcosα＝k． 当0＜α＜π4时，sinα＜cosα，此时sinα﹣cosα＜0，∴sinα﹣cosα=-(sinα-cosα)2=-1-2sinαcosα=-1-k．当π4≤α＜π2时，sinα≥cosα，此时sinα﹣cosα≥0，