重庆市渝北中学2023-2024学年高三数学上学期9月月考试题（Word版附解析）

渝北中学2023-2024学年高三9月月考质量监测数学试题（全卷共四大题22小题，总分150分，考试时长120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必将姓名、班级填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清晰.3.请按题号顺序在答题卡的相应区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在试卷和草稿纸上答题无效.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式可得集合B，然后由交集定义可得.【详解】集合，解不等式可得集合，所以.故选：B2.=（）A.B.C.D.1【答案】B【解析】【分析】根据诱导公式与两角和的正弦公式化简求值.【详解】 故选：B3.已知直线是曲线的切线，则（）A.B.1C.D.2【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求解作答.【详解】函数，求导得，令直线与曲线相切的切点为，于是且，所以.故选：B4.设命题甲：，是真命题；命题乙：函数在上单调递减是真命题，那么甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别求出命题甲和命题乙对应的的范围，然后根据充分性和必要性的概念求解即可.【详解】对于命题甲：因为是开口向上的二次函数，所以对于，是真命题，则与轴无交点，从而，解得；对于命题乙：函数在上单调递减是真命题， 由对数函数单调性可知，，解得，因为，所以甲是乙的必要不充分条件.故选：B.5.函数的部分图象大致是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分析函数的定义域、奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对于函数，有，可得，所以，函数的定义域为，，，所以，函数为偶函数，排除AB选项；当时，，则，此时，排除D选项.故选：C.6.已知，且，则（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据倍角公式可得，进而可得，利用诱导公式逐项分析判断.【详解】因为，可得，解得或，又因为，则，可得.对于选项A：，故A错误；对于选项B：，故B错误；对于选项C：，故C错误；对于选项D：，故D正确；故选：D.7.李明开发的小程序经过t天后，用户人数，其中k为常数.已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（）（取）A.31B.32C.33D.34【答案】D【解析】【分析】依题意知，从而求得，再令，结合对数运算可求得结果.【详解】∵经过t天后，用户人数，又∵小程序发布经过10天后有2000名用户，∴，即，可得，∴① 当用户超过50000名时有，即，可得，∴②联立①和②可得，即，故，∴用户超过50000名至少经过的天数为34天.故选：D.8.设，，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】要比较的大小只需比较与的大小，故考虑构造函数，利用函数的单调性比较其大小，要比较的大小，只需比较与的大小，故考虑构造函数，利用导数判断函数的单调性，利用单调性比较大小即可.【详解】因为，又由函数，，可得，所以函数在上为减函数，所以，所以，故，所以，因为，， 故要比较的大小只需比较与的大小，故只需比较与的大小，故考虑构造函数，其中，由求导可得，所以函数在上单调递增，所以，所以，所以，即，所以，即，所以，故选：A.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于观察被比较的数的结构特征，确定两者的结构上的共性，考虑构造函数，利用函数的单调性确定被比较的数的大小.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知函数，则（）A.函数的最小正周期为B.直线是函数图象的一条对称轴C.函数是偶函数D.函数的递减区间为 【答案】ABD【解析】【分析】根据题意，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.详解】由函数，对于A中，由三角函数的性质，可得的最小正周期为，所以A正确；对于B中，当时，可得，所以是函数图象的一条对称轴，所以B正确；对于C中，由，此时函数为奇函数，所以C错误；对于D中，令，解得，即函数的递减区间为，所以D正确.故选：ABD.10.下列命题中的真命题有（）A.当时，的最小值是3B.的最小值是2C.当时，的最大值是5D.若关于的不等式的解集为，则【答案】AC【解析】【分析】对于A、C：根据基本不等式分析判断；对于B：根据对勾函数分析判断；对于D：根据三个二次之间的关系分析判断. 【详解】对于选项A：因为，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，故选项A正确；对于选项B：因为，等号成立的条件是，所以等号不成立，不能使用基本不等式，令，则在上单调递增，所以时取得最小值，故选项B错误；对于选项C：因为，则所以，当且仅当，即时，等号成立，故选项C正确；对于选项D：因为关于的不等式的解集为，所以的根为2,3，则，解得，所以，故选项D错误.故选：AC.11.已知函数，下列说法正确的是（）A.在处的切线方程为B.C.若函数的图象与的图象关于坐标原点对称，则D.有唯一零点【答案】ABD 【解析】【分析】利用导数的几何意义求出切线方程判断A；计算即可判断B；利用对称关系求出解析式判断C；利用导数探讨单调性结合零点存在性定理判断D作答.【详解】对于A，函数，求导得，有，所以在处的切线方程为，即，A正确；对于B，函数，有，而，所以，B正确；对于C，函数，函数的图象与的图象关于坐标原点对称，所以，C错误；对于D，函数的定义域为R，求导得，令，，当时，当时，，则函数在上递增，在上递减，于是，函数在上单调递增，而，由零点存在性定理知在内存在唯一零点，所以有唯一零点，D正确.故选：ABD12.已知函数，的定义域均为，且满足对任意实数，，，若是偶函数，，则（）A.是周期为2的周期函数B.为奇函数C.是周期为4的周期函数D.【答案】BCD【解析】【分析】根据函数的奇偶性、周期性进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，①，②， 以替换②中的得③，由①③得④，令得，A选项错误.由④得⑤，以替换⑤中的得，所以为奇函数，B选项正确，且，以替换②中的得⑥，由①⑥得⑦，以替换⑦中的得，所以，所以是周期为4的周期函数，所以C选项正确.由，令，得，令，得，由，令，得，令，得，所以，所以，所以D选项正确.故选：BCD【点睛】求解抽象函数奇偶性、周期性等题目，关键点就是牢牢把握函数的性质进行分析，记住一些常见的结论是最好的办法，如这是对称性，并且是轴对称；这也是对称性，且是中心对称.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13.设函数，则_____________.【答案】【解析】【分析】根据导数的运算法则，求得，代入即可求解.【详解】由导数的运算法则，可得，所以.故答案为：.14.已知，则______.【答案】##-0.8【解析】【分析】根据正切的差角公式得出，再结合同角三角函数的平方关系，构造齐次式化简弦为切计算即可.【详解】由，又，代入得.故答案为：15.已知函数的图象经过定点，若为正整数，那么使得不等式在区间上有解的的最大值是__________.【答案】【解析】 【分析】由可得出，由已知不等式结合参变量分离法可得出，令，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围，即可得解.【详解】由已知可得，则，解得，故，由得，因为，则，可得，令，，则函数在上单调递减，所以，，.因此，正整数的最大值为.故答案为：.16.已知函数，若函数有两个极值点，，且，则实数的取值范围为_____.【答案】【解析】【分析】对函数求导，函数有两个极值点，，则，化简得到，利用换元法令，则，构造函数，利用导数求出，结合将参数分离出来，构造函数，即可得出.【详解】 所以，令，所以令，则令，则所以在上单调递减，所以所以在上单调递减，所以令，则恒成立所以在上单调递增，即【点睛】已知函数有零点，求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式;再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法:先将参数分离，转化成求函数值城问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.设函数.（1）求函数的最小正周期；（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数，求在上的最大值.【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）化简函数，得到，进而求得函数的最小正周期；（2）根据三角函数的图象变换，得到，结合三角函数的性质，即可求解.【小问1详解】解：由函数，则，所以该函数的最小正周期;【小问2详解】解：将函数的图象向右平移个单位长度可得函数，由，可得，所以当，即时，函数取得最大值，最大值为.18.某校组织在校学生观看学习“天宫课堂”，并对其中1000名学生进行了一次“飞天宇航梦”的调查，得到如下的两个等高条形图，其中被调查的男女学生比例为.（1）求m，n的值（结果用分数表示）； （2）完成以下表格，并根据表格数据，依据小概率值的独立性检验，能否判断学生性别和是否有飞天宇航梦有关？有飞天宇航梦无飞天宇航梦合计男女合计（3）在抽取的样本女生中，按有无飞天宇航梦用分层抽样的方法抽取5人.若从这5人中随机抽取3人进一步调查，求抽到有飞天宇航梦的女生人数X的分布列及数学期望.附临界值表及参考公式：0.100.050.010.0050.00127063.8416.6357.87910.828，.【答案】（1），；（2）列联表见解析，不能（3）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据得到被调查的男女上的人数，以及有飞天宇航梦和无飞天宇航梦的男生和女生的认识，进而求得的值；（2）根据（1）中的数据列出的列联表，求得的值，结合题意，即可得到结论；（3）根据题意，得到随机变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解.【小问1详解】解：由题可知被调查的男女学生分别为600人，400人，男生有飞天宇航梦的学生有人，无飞天宇航梦的学生有人， 女生有飞天宇航梦的学生有人，无飞天宇航梦的学生有人，所以，.【小问2详解】解：根据（1）中数据填表，有飞天宇航梦无飞天宇航梦合计男420180600女240160400合计6603401000可得根据小概率的独立性检验，所以没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即不能判断学生性别和是否有飞天宇航梦有关.【小问3详解】解：根据题意，在抽取的5名女生中，有3名女生有飞天宇航梦，2名女生无飞天宇航梦，则X的可能取值为1，2，3，可得，，，故随机变量的分布列为123所以的数学期望.19.已知函数的图象关于直线对称，且图象相邻两个最高点的距离为.（1）求和的值； （2）若，求的值.【答案】（1），；（2）．【解析】【分析】（1）根据对称轴和周期可求和的值．（2）由题设可得，利用同角的三角函数的基本关系式可得，利用诱导公式和两角和的正弦可求的值．【详解】（1）因为图象相邻两个最高点的距离为，故周期为，所以，故．又图象关于直线，故，所以，因为，故．（2）由（1）得，因为，故，因为，故，故．又．【点睛】方法点睛：三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.20.某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y（百斤）与使用某种液体肥料x（千克）之间对应数据为如图所示的折线图．（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请计算相关系数r并加以说明（精确到0.01）；（若则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X限制，并有如表关系：周光照量x（单位：小时）光照控制仪最多可运台数321若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元：若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．以过去50周的周光照量的频率作为周光照量发生的概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？附：相关系数公式，参考数据．【答案】（1），可用线性回归模型拟合与的关系；（2）为使商家周利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪．【解析】【分析】（1）由题意求出，，，，代入公式求值，从而得到回归直线方程；（2）记商家周总利润为元，由条件可知至少需要安装1台，最多安装3台光照控制仪，安装1 台光照控制仪可获得周总利润3000元；安装2台或3台光照控制仪的情况，分别列出分布列算出期望，然后作比较可得答案.【详解】（1）由已知数据可得，，因，，，所以相关系数，因为，所以可用线性回归模型拟合与的关系．（2）记商家周总利润为元，由条件可知至少需要安装1台，最多安装3台光照控制仪．①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元②安装2台光照控制仪的情形当时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润元，当时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润元，故的分布列为：200060000.20.8所以元．③安装3台光照控制仪的情形当时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润元，当时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润元，当时，3台光照控制仪都运行，此时周总利润元，故的分布列为：9000500010000.10.70.2 所以元．综上可知，为使商家周利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪．【点睛】本题考查了线性回归方程的求法及应用，分布列的求法，利润的计算，属于中档题．21.已知函数，.（1）若在处取得极值，求的的单调区间；（2）若在上没有零点，求的取值范围.【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）.【解析】【分析】（1）若在处取得极值，则，求出，再代入求单调区间；（2）因为，所以只需证明在满足，对进行分类讨论即可.【详解】（1）的定义域，，，，递增区间为，，递减区间，所以递增区间为，递减区间为.（2），，因为，所以只需证明在满足.当时，在恒成立，在上递减，，得，与矛盾；②当时，，递减， ，递增，，所以③，在恒成立，在上递增，，满足题意，综上有，.【点睛】考查求函数的单调区间以及根据函数的零点情况求参数的范围，函数的零点情况转化为研究函数的值域，进一步确定参数范围；属于较难题.22.（1）求证：当时，；（2）若关于的方程在内有解，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）对函数求导后，再构造函数，求导后在上为增函数，再由，得在上为增函数，从而可证得结论；（2）先证得，则令，原问题等价于在内有零点，由（1）可知当时，函数没有零点，当时，连续两次求导结合零点存在性定理求出的单调区间，再判断函数的零点，从而可求得结果.【详解】（1）证明：令，则，令，则，因为，所以，即在上为增函数，所以，故在上为增函数，所以，即成立 （2）解：设，由于，则，所以在上为增函数，所以，即.方程等价于.令，原问题等价于在内有零点，由，得.由（1）知当时，，此时，当时，函数没有零点，不合题意，故舍去.当时，因为，所以，令，则.当时，恒成立，所以单调递增.当时，令，则.因为，，所以，所以单调递增.又，，因此在上存在唯一的零点，且.当时，，所以单调递减；当时，，所以单调递增.又，，，因此在上存在唯一的零点，且.当时，，所以单调递减；当时，，所以单调递增. 又，，由（1）知，所以，所以在上没有零点，在上存在唯一零点，因此在上有唯一零点.综上，的取值范围是.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数证明不等式，考查利用导数解决函数零点问题，第（2）问解题有关键是对方程化简变形后构造函数，将原问题转化为在内有零点，然后利用导数和零点存在性定理求解，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.