天津市滨海新区大港第一中学2023-2024学年高三数学上学期第一次月考试题（Word版附解析）

大港一中2024届高三年级第一次形成性检测数学试卷一､选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内.1.已知全集，集合，则集合（）A.B.C.D.2.有一组样本数据如下：56，62，63，63，65，66，68，70，71，74，则其75%分位数为（）A.68B.69C.70D.713.是函数在单调递减的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要4.函数的图像大致为（）A.B.C.D.5.已知随机变量服从正态分布，若，则等于（）A0.484B.0.439C.0.878D.0.9396.已知，则的大小关系为（）A.B.C.D. 大港一中2024届高三年级第一次形成性检测数学试卷一､选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内.1.已知全集，集合，则集合（）A.B.C.D.2.有一组样本数据如下：56，62，63，63，65，66，68，70，71，74，则其75%分位数为（）A.68B.69C.70D.713.是函数在单调递减的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要4.函数的图像大致为（）A.B.C.D.5.已知随机变量服从正态分布，若，则等于（）A0.484B.0.439C.0.878D.0.9396.已知，则的大小关系为（）A.B.C.D. 7.为研究高中生爱好某项运动是否与性别有关，某校研究性学习小组采取简单随机抽样的方法调查了200名高中生，依据独立性检验，经计算得到，参照下表，得到的正确结论是（）P（≥）0.10.050.010.0050.0012.7063.84166357.87910.828A.有99%的高中生爱好该项运动B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C.在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D.在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”8.在三个地区暴发了流感，这三个地区分别有的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一人，则这个人患流感的概率为（）A.B.C.D.9.设函数，其中向量，，，则下列选项错误的是（）A.直线是函数的一条对称轴B.点是函数的一个对称中心C.在区间上单调递增D.图象上所有点的横坐标向左平移个单位长度得到的函数是偶函数10.设实数满足，则的最小值为（）A.B.C.D.11.已知函数有最大值，则实数取值范围为（）A.B.C.D. 12.已知函数（其中a∈R），若的四个零点从小到大依次为，则的值是（）A.16B.13C.12D.10二､填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.13.是虚数单位，计算__________.14.的展开式中，的系数为__________．15__________.16.小明上学途中共有4个红绿灯，且小明遇到每个红灯的概率均为，记某次小明上学途中遇到红灯的次数为，则小明上学途中恰好遇到两个红灯的概率为__________，__________.17.新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献.某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下表：研发投入（亿元）12345产品收益（亿元）3791011用最小二乘法求得关于的经验回归直线方程是，当研发投入亿元时，相应的产品收益估计值为__________.18.某校高三1班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，恰有一名女生参加劳动学习的概率则为__________；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，都是女生参加劳动学习的概率______________．19.设函数（A，，是常数，，）．若在区间上具有单调性，且，则______．20.如图，在平行四边形中，，点分别在边 上，且，若点为的中点，且满足，则________；当点在线段上运动时，的取值范围为________．三､解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.21.已知.（1）求值；（2）求的值；（3）当是第四象限角时，求的值.22.在中，角的对边分别为，已知.（1）求的值；（2）若，且，求边长及的面积.（3）若，求的值.23.已知函数（其中）.（1）若，求在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）若恒成立，求实数的取值范围.24.已知函数，.（1）证明：对任意，；（2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围； （3）是的导函数，若函数，证明：，. 大港一中2024届高三年级第一次形成性检测数学试卷一､选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内.1.已知全集，集合，则集合（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意，根据补集的概念和运算可得，结合交集的概念和运算即可求解.【详解】由，得或，所以.故选：C2.有一组样本数据如下：56，62，63，63，65，66，68，70，71，74，则其75%分位数为（）A.68B.69C.70D.71【答案】C【解析】【分析】根据百分位数的定义计算即可.【详解】已知数据是按照从小到大的顺序排列，因为，所以75%分位数为第个数据，即为.故选：C.3.是函数在单调递减的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】先化简函数，可得函数的单调递减区间为，进而结 合充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】，显然函数的单调递减区间为，所以时，函数在单调递减；若函数单调递减，则，所以是函数在单调递减的充分不必要条件.故选：A.4.函数的图像大致为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用函数的定义域，奇偶性及其他性质判断即可.【详解】的定义域为且，因为，所以为奇函数，排除A，D，当时，，B错误，故选：C.5.已知随机变量服从正态分布，若，则等于（） A.0.484B.0.439C.0.878D.0.939【答案】B【解析】【分析】先根据求解，再根据正态分布的对称性即可求解.【详解】因为，所以.故选：B.6.已知，则的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据对数函数的单调性和不等式的性质可得，进而得，结合对数的运算性质可得，即可求解.【详解】由，得，即，又，所以.，所以.故选：A.7.为研究高中生爱好某项运动是否与性别有关，某校研究性学习小组采取简单随机抽样的方法调查了200名高中生，依据独立性检验，经计算得到，参照下表，得到的正确结论是（）P（≥）0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A.有99%的高中生爱好该项运动 B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C.在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D.在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”【答案】C【解析】【分析】比较观测值与参照值大小，根据独立检验的基本思想确定结论即可.【详解】由，即在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”.故选：C8.在三个地区暴发了流感，这三个地区分别有的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一人，则这个人患流感的概率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】考虑患流感的这个人可能来至于哪个地区，结合互斥事件的概率计算可得答案.【详解】由题意得，从这三个地区中任意选取一人，则这个人可能来至于三个地区中患流感的人当中，故这个人患流感的概率为，故选：D9.设函数，其中向量，，，则下列选项错误的是（）A.直线是函数的一条对称轴B.点是函数的一个对称中心C.在区间上单调递增D.图象上所有点的横坐标向左平移个单位长度得到的函数是偶函数【答案】C 【解析】【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断AB选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；利用三角函数图象变换可判断D选项.【详解】由已知可得，对于A选项，因为，所以，直线是函数的一条对称轴，A对；对于B选项，因为，故点是函数一个对称中心，B对；对于C选项，当时，，此时，函数在区间上不单调，C错；对于D选项，图象上所有点的横坐标向左平移个单位长度得到的函数的图象，该函数为偶函数，D对.故选：C.10.设实数满足，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由，结合基本不等式求解即可.【详解】因为，则， 当且仅当，即时取等，所以的最小值为.故选：B.11.已知函数有最大值，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由当时，，根据时，函数值的范围不超过列不等式求解即可.【详解】因为当时，，要使有最大值，则时，函数值的范围不超过可得解得.故选：A.12.已知函数（其中a∈R），若的四个零点从小到大依次为，则的值是（）A.16B.13C.12D.10【答案】C【解析】【分析】根据零点的定义，通过转化法、数形结合思想进行求解即可.【详解】令， 设，图象如下图所示：所以有，且，因此可得，所以，故选：C二､填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.13.是虚数单位，计算__________.【答案】【解析】【分析】根据复数的乘、除法运算可得，结合复数的几何意义即可求解.【详解】，.故答案为：.14.的展开式中，的系数为__________．【答案】【解析】【详解】,由得,所以的系数为点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.15.__________.【答案】【解析】【分析】由对数的运算性质求解即可.【详解】原式.故答案为：.16.小明上学途中共有4个红绿灯，且小明遇到每个红灯的概率均为，记某次小明上学途中遇到红灯的次数为，则小明上学途中恰好遇到两个红灯的概率为__________，__________.【答案】①.②.【解析】【分析】结合题设有，再应用二项分布的期望公式求.【详解】由题设，小明上学途中恰好遇到两个红灯的概率为：，又，由二项分布期望的求法可得.故答案为：；.17.新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献.某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下表：研发投入（亿元）12345产品收益（亿元）37910 11用最小二乘法求得关于的经验回归直线方程是，当研发投入亿元时，相应的产品收益估计值为__________.【答案】亿元【解析】【分析】将样本中心点的坐标代入回归直线方程，求出的值，可得出回归直线方程，再将代入回归直线方程，可得结果.【详解】由表格中的数据可得，，将样本中心点代入回归直线方程可得，解得，所以，回归直线方程为，当时，（亿元），因此，当研发投入亿元时，相应的产品收益估计值为亿元.故答案为：亿元.18.某校高三1班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，恰有一名女生参加劳动学习的概率则为__________；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，都是女生参加劳动学习的概率______________．【答案】①.②.【解析】【分析】设表示事件“恰有一名女生参加学习”，表示事件“至少有一名女生参加劳动学习”，设表示事件“都是女生参加劳动学习”,结合组合数公式和条件概率公式，可分别求得.【详解】设表示事件“恰有一名女生参加学习”，表示事件“至少有一名女生参加劳动学习”，设表示事件“都是女生参加劳动学习”，则 所以故答案为：；.19.设函数（A，，是常数，，）．若在区间上具有单调性，且，则______．【答案】2【解析】【分析】根据函数在区间上具有单调性可得；再根据可知其图象的一条对称轴为，和其相邻的一个对称中心为，即可求得.【详解】由函数在区间上具有单调性可知，解得；又，且，所以函数关于直线对称，由可得函数的一个对称中心为，即其图象关于成中心对称；所以，解得.故答案为：220.如图，在平行四边形中，，点分别在边 上，且，若点为的中点，且满足，则________；当点在线段上运动时，的取值范围为________．【答案】①.##②.【解析】【分析】若点为的中点，根据平面向量的加减法的三角形法则表示，从而可求解，进而可求得；当点在线段上运动时，设，利用，表示出和，再表示出，根据的范围，即可得出结果.【详解】若点为的中点，则.所以，则；当点在线段上运动时，设，，又，， 又，则，.故答案为：；三､解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.21.已知.（1）求的值；（2）求的值；（3）当是第四象限角时，求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用已知条件求出，再结合差角的正切公式，即可求解.（2）利用诱导公式化简式子即可求解.（3）由（1）知，，结合是第四象限角可求出的值，再利用和角的余弦公式，即可求解.【小问1详解】若，则，显然不满足，∴则，∴则，∴. 【小问2详解】由（1）知，∴.【小问3详解】由（1）知，又∵是第四象限角，∴解得，∴.22.在中，角的对边分别为，已知.（1）求的值；（2）若，且，求边长及的面积.（3）若，求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由题意，根据正弦定理和二倍角的正弦公式化简计算即可求解；（2）由（1），根据余弦定理求出c，利用同角三角函数的关系求出sinA，结合三角形的面积公式计算即可求解； （3）由（1）（2）和二倍角的正、余弦公式求出cos2B、sin2B，结合两角差的正弦公式计算即可求解.【小问1详解】，由正弦定理得，则，由，得，又，所以；【小问2详解】由，得，由（1）知，又，得，即，由解得；又，所以；【小问3详解】由（1）（2）知，，则，由，得，所以，，所以.23.已知函数（其中）.（1）若，求在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1） （2）答案见解析（3）【解析】【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程；（2）分、两种情况讨论，分析导数符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；（3）由参变量分离法可得，利用导数求出函数的最大值，即可求得实数的取值范围.【小问1详解】解：当时，，则，所以，，，所以，当时，在处的切线方程为，即.【小问2详解】解：函数定义域为，.当时，对任意的，，此时函数的增区间为，无减区间；当时，由可得，由可得，此时，函数的增区间为，减区间为.综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间；当时，函数的增区间为，减区间为.【小问3详解】解：由可得，令，其中，则，由可得，由可得，所以，函数的增区间为，减区间为， 所以，，则，解得，因此，实数的取值范围是.24.已知函数，.（1）证明：对任意，；（2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；（3）是的导函数，若函数，证明：，.【答案】（1）证明见解析（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）令，利用导数证明出，即可证得结论成立；（2）由题意可知，在上恒成立，结合参变量分离可求得实数的取值范围；（3）先证明出，然后再证，结合不等式的基本性质可证得原不等式成立.【小问1详解】证明：令，其中，则，由可得，由可得，所以，函数的减区间为，增区间为，所以，，故对任意的，.【小问2详解】解：函数在上为减函数， 故在上恒成立，因为，，当时，，可得，令，其中，则，因为，当时，即当时，，当时，即当时，，所以，函数在上单调递增，在上单调递减，所以，，则，则，所以，.【小问3详解】证明：，令，其中，则且不恒为零，所以，函数在上为增函数，所以，当时，，即，要证当时，，先证，令，其中，则，所以，函数在上为增函数，即，所以，，故原不等式得证.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.