广东省东莞市 、东华松山湖高级中学2023-2024学年高二数学上学期10月联考试题（Word版附答案）

东华高级中学东华松山湖高级中学2023—2024学年第一学期高二年级10月联考数学试题一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知复数在复平面上对应的点为，则（）A.B.C.D.是纯虚数2.设是两个不共线的向量，且与共线，则实数λ＝（）A.－1B.3C.D.3.在平面内，已知直线方向向量为，则该直线的斜率为（）A.B.C.D.4.设直线l的斜率为k，且，直线l的倾斜角α的取值范围为（　　）A.B.C.D.5.在中，，，则（    ）A.B.C.D.6若，，，且，，共面，则（）A.1B.-1C.1或2D.7.在正方体中，与平面所成角的正弦值是（）A.B.C.D.18.在正四棱台中，，且三棱锥的体积为，则该正四棱台的体积为（） A.B.C.D.二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）9.已知向量，若，则x的值可为（）A.－2B.－1C.0D.110.若三点共线，则m的值为（）A－2B.－13C.2D.1311.若，，，则关于事件A与B的关系正确的是（）A.事件A与B互斥B.事件A与B不互斥C.事件A与B相互独立D.事件A与B不相互独立12.已知正方体的棱长为1，点P满足，其中，，点E、F分别是、的中点，下列选项不正确的是（）A.当时，的面积为定值B.当时，三棱锥的体积为定值C.存在使得与平面所成的角为D.当时，存在点P，使得平面三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者，则甲被选中的概率是________．14.在空间直角坐标系Oxyz（O为坐标原点）中，点关于x轴的对称点为点B，则____________．15.已知S，A，B，C是球O表面上的点，平面，则球O的表面积是_______；16.在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是___________. 四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知向量，.（1）求的值；（2）求向量与夹角的余弦值.18.如图，三棱柱中，M，N分别是上点，且．设，，．（1）试用，，表示向量；（2）若，求MN的长．19.已知直线与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，点在线段上，满足，直线为原点的斜率为．（1）求的值；（2）设点与点关于轴对称，为线段的中点，求证：．20.文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者， 更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛；从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）求样本成绩的第75百分位数；（3）已知落在的平均成绩是51，方差是7，落在的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差．21.已知的内角，，所对的边分别为，，，从下面两个条件中任选一个作答①；②．（1）求；（2）若，为中点，求的最大值22.如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，在菱形中，，，平面平面，，分别是线段、的中点.（1）求证：平面；（2）若点为棱的中点，求点到平面的距离；（3）若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围. 东华高级中学东华松山湖高级中学2023—2024学年第一学期高二年级10月联考数学试题一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】D二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）【9题答案】【答案】AC【10题答案】【答案】CD【11题答案】【答案】BC【12题答案】【答案】ACD三、填空题（本大题共4小题，共20分）【13题答案】 【答案】【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】【16题答案】【答案】四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）【17题答案】【答案】（1）；（2）.【18题答案】【答案】（1）（2）【19题答案】【答案】（1）（2）证明见解析【20题答案】【答案】（1）0.030（2）84（3）两组市民成绩的总平均数是59，总方差是37【21题答案】【答案】（1）（2）【22题答案】【答案】（1）证明见解析 （2）