安徽省高二名校2023-2024学年高二数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

数学考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：必修一，必修二，选择性必修一第一章至第二意2.3.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系Oxyz中，点关于平面yOz对称的点的坐标是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据空间点关于坐标平面的对称直接求解.【详解】根据空间直角坐标系中点的对称的性质，关于平面yOz对称的点的坐标为，故选：A2.直线的一个方向向量为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】变形后得到的方向向量是，，求出答案.【详解】变形为，故的方向向量是，，当时，一个方向向量为，其他选项均不合要求. 故选：D3.已知直线l的方向向量，平面的法向量，若，则（）A.B.C.2D.【答案】C【解析】【分析】根据得到与垂直，进而得到方程，求出.【详解】因为，故与垂直，故，解得.故选：C4.已知，则“直线与直线垂直”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先计算出两直线垂直得到或1，故得到答案.【详解】直线与直线垂直，则，解得或1，故“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件.故选：B5.已知边长为2的菱形中，，点E是BC上一点，满足，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，得到点的坐标，根据求出，从而利用平面向量数量积公式求出答案. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，设，则，因为，所以，解得，故，则.故选：B6.设函数，则使得的x的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】判断函数的奇偶性，再由函数在上的单调性，脱去“f”建立不等式求解. 【详解】的定义域为，，为偶函数，且当时，单调递增，由可得，再由单调性可得，，即，化简可得，解得.故选：C7.空间直角坐标系中，，，，点P在平面ABC内，且平面ABC，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用向量法求出的长，再由勾股定理求解即可.【详解】由，，，得，设平面的法向量，则，令，则，故，又，平面ABC，所以，又，所以 故选：A8.在长方体中，，，O是AC的中点，点P在线段上（包含端点），若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，结合线面角的计算公式，即可得到结果.【详解】以为原点，分别以为轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系，因为，，则,，因为O是AC的中点，则，则，，设，，则，所以，则，设平面的法向量为，则，解得，取，则， 所以，则，其中，当或时，有最小值为；当时，有最大值为；所以.故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知一组数据：3，4，4，6，7，8，10，则这组数据的（）A.极差为7B.众数为4C.方差为D.第60百分位数为7【答案】ABD【解析】【分析】A选项，根据极差定义进行计算；B选项，根据众数的定义进行计算；C选项，计算出平均数，进而求出方差；D选项，根据百分位数的定义进行计算.【详解】A选项，极差为，A正确；B选项，4出现了2次，其他数均出现了1次，故4为众数，B正确；C选项，平均数为，故方差为，C错误；D选项，，故从小到大，选择第5个数据作为数据的第60百分位数，即第60百分位数为7，D正确.故选：ABD 10.直线l过点，且在两坐标轴上的截距之和为，则直线l的方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据直线方程的截距式求解.【详解】由题意直线在两坐标轴上有截距且截距不为0，故设所求直线方程为，则，解得，故直线方程为，故选：C11.在空间直角坐标系Oxyz中，，，，则（）A.B.C.异面直线OB与AC所成角的余弦值为D.点O到直线BC的距离是【答案】AC【解析】【分析】利用空间向量的坐标表示，结合向量数量积、模的意义计算判断选项AB；利用异面直线夹角的向量求法判断选项C；利用空间向量求出点到直线距离判断选项D作答.【详解】对于A，，，，依题意，，，故A正确；对于B，，，故B错误； 对于C，，,因为，则异面直线OB与AC所成角的余弦值为，故C正确；对于D，因为，，在上的投影为，所以点O到直线BC的距离是，故D错误.故选：AC.12.如图，正方体的棱长为2，E为的中点，P为棱BC上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（）A.存在点P，使B.存在点P，使C.四面体的体积为定值D.二面角的余弦值的取值范围是【答案】AB【解析】【分析】利用向量法，根据线面垂直，两点间的距离，几何体的体积，二面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，，则，，，当时，即点与点重合时，，故A正确.由知，解得，此时点与点重合，故B正确.为定值，故C错误.又，，设平面的法向量，由，令则，，，又平面的法向量，，又，，故D错误.故选：AB三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数（为虚数单位），则___________.【答案】【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再求出其共轭复数.【详解】因为，所以.故答案为：14.已知，，则在方向上的投影向量为___________.【答案】【解析】【分析】根据投影向量公式求出答案.【详解】在方向上的投影向量为.故答案为：15.若两条平行直线：（）与：之间的距离是，则___________.【答案】【解析】【分析】根据两直线平行求出的值，再由平行线之间的距离公式求出，即可得解.【详解】因为直线：（）与：平行，所以，解得，所以：，又两平行线之间的距离，解得或（舍去），所以.故答案为：16.如图，四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，是等边三角形，M，N分别为AB和PC的中点，则平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值为___________. 【答案】【解析】【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，由点到平面的距离公式结合空间向量的坐标运算，即可得到结果.【详解】连接相交于点，点为底面的中心，取中点为，连接，则，因为平面平面ABCD，则平面，以点为原点，分别以为轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系，且底面ABCD边长为2，等边三角形，则，，则，，则，，设平面的法向量为， 则，解得，取，则，，所以，且平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值即为点到平面的距离，则.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，四棱锥中，底面，底面是边长为2的菱形，，F为CD的中点，，以B为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.（1）写出B，D，P，F四点的坐标；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出，写出；（2）利用空间向量夹角余弦公式求出答案.【小问1详解】因为底面是边长为2的菱形，且，F为CD的中点，所以，又，；【小问2详解】 .18.已知的三个顶点是，，.（1）求BC边上的高所在直线的方程；（2）若直线过点C，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）求出直线BC的斜率，则可求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线的方程；（2）由题意分直线与AB平行和直线通过AB的中点两种情况求解.【小问1详解】因为，所以BC边上的高所在直线的斜率为，所以BC边上的高所在直线的方程，即.【小问2详解】因为点A,B到直线的距离相等，所以直线与AB平行或通过AB的中点，①当直线与AB平行，因为，且过点C，所以方程为，即.②当直线通过AB的中点，所以，所以的方程为，即. 综上：直线的方程为或.19.如图，在直三棱柱中，，，，点D是线段BC中点.请用空间向量的知识解答下列问题：（1）求证：；（2）求平面和平面夹角余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量垂直即可得证；（2）求出平面的法向量，利用向量夹角公式计算即可.【小问1详解】直三棱柱中，平面，又，所以两两互相垂直，以A为原点，以为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示，则， ，，即.【小问2详解】由点D是线段BC中点，可得，则，设平面的法向量，则，令，则，所以，又平面的一个法向量可取，所以.所以平面和平面夹角的余弦值为.20.已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）在中，，，求周长的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，整体法求出单调递增区间；（2）根据，求出，由正弦定理得到，从而得到，结合，求出的取值范围，进而得到周长的取值范围.【小问1详解】，令，解得，故的单调递增区间为；【小问2详解】，故因为，所以，故，，又，由正弦定理得，即，故，所以，因为，所以，，由于在上单调递增，故， 故，.所以周长的取值范围是.【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.21.在如图所示的斜三棱柱中，.（1）设，，，用，，表示，；（2）若，，求的长.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据向量运算的几何表示求解；（2）根据向量模的公式及数量积运算求解.【小问1详解】在三棱柱中，侧面为平行四边形，则，所以.小问2详解】 由，，，所以，，所以，即，所以的长为.22.如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，，.请用空间向量的知识解答下列问题：（1）求与平面所成角的大小；（2）设Q为侧棱PD上一点，四边形是过B，Q两点的截面，且平面，是否存在点Q，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，利用线面角的求解公式得到答案；（2）证明出，求出平面的法向量，设，则，，设平面的法向量为，根据两平面夹角列出方程，求出或，设，进而根据求出答案. 【小问1详解】因为，，，平面，所以⊥平面，又平面，所以平面⊥平面，取的中点，连接，因为是等边三角形，所以⊥，又平面⊥平面，两平面交线为，平面，所以⊥平面，取的中点，连接，则，因为⊥平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，⊥，故两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，因为，由勾股定理得，所以，平面的法向量为，设与平面所成角的大小为，则， 因为，所以；【小问2详解】设平面的法向量为，则，令得，则，连接，因为平面，平面平面，所以，不妨设，则，，设，则，即，故，设，则，即，故，设平面的法向量为，则，解得，设，则，故， 故，化简得，两边平方得，，化简得，解得或，设，则，设，则，解得，故，当时，，因为，所以，解得，解得，满足要求，当时，，因为，所以，解得，解得，满足要求，故存在点Q，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时的值为或.【点睛】立体几何二面角求解方法： （1）作出辅助线，找到二面角的平面角，并结合余弦定理或勾股定理进行求解；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量相关公式求解.