四川省什邡中学2022-2023学年高一数学下学期第一次月考试题（Word版附解析）

什邡中学高2022级平实班第二学期第一次月考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用交集的定义可求.【详解】由题设有，故选：B.2.命题“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由特称命题的否定是全称命题即可得出答案.【详解】命题“”的否定是:.故选：C.3.（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据诱导公式求得余弦值.【详解】由诱导公式知， 故选：D4.如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有（）A.6个B.7个C.8个D.9个【答案】D【解析】【分析】根据共线向量的定义与正六边形的性质直接得出.【详解】图中与共线的向量有：，共9个，故选：D.5.在边长为的正三角形中，的值为A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】以、为邻边作菱形，则，计算出菱形的对角线的长度即可得出答案.【详解】以、为邻边作菱形，则，由图形可知，的长度等于等边的边上的高的倍，即，因此，，故选：D. 【点睛】本题考查差向量模的计算，解题的关键就是作出图形，找出差向量，分析图形的形状，进而求出线段长度，考查数形结合思想的应用，属于中等题.6.角的终边经过点，那么（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得和的值，可得的值．【详解】解：角终边上一点，，，则，故选：．7.设，，，则，，的大小关系是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数，对数函数的性质，及余弦函数的性质解答.【详解】解：，，，综上可得故选：【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质，属于基础题. 8.已知函数，若函数f(x)恰有2个零点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据的图象进行分析，由的零点个数确定的取值范围.【详解】画出函数的图象如下图所示，依题意有个零点，所以实数的取值范围是.故选：B二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列函数中，最小正周期为的是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】利用三角函数的周期公式即可得到结果.【详解】对于A，最小正周期为； 对于B，，最小正周期为；对于C，，最小正周期为；对于D，，最小正周期为，故选：ABC10.若幂函数的图像经过点，则（）A.B.C.函数的定义域为D.函数的值域为【答案】BD【解析】【分析】根据幂函数解析式求出,得出解析式,再分别求出定义域值域判断即可.【详解】因为是幂函数,所以,解得,故B正确;所以,又因的图像经过点,所以,所以,解得,故A错误;因为,则其定义域,值域均为,故C错误,D正确.故选:BD.11.若正实数m、n，满足，则以下选项正确的有（）A.mn的最大值为B.的最小值为C.的最小值为4D.的最小值为2【答案】ABC【解析】【分析】根据基本不等式求得正确答案.【详解】A选项，，当且仅当时等号成立，所以A选项正确；B选项，，当且仅当时等号成立，所以B选项正确； C选项，，，当且仅当时等号成立，所以C选项正确；D选项，,但，，与已知为正数，且矛盾，所以等号不成立，D选项错误.故选：ABC12.已知，若存在，使得，则下列结论正确的有（）A.实数的取值范围为B.的最大值为C.D.取值范围为【答案】ACD【解析】【分析】作出函数的图象，利用和的图象有4个交点解出的范围判断A，根据是方程的两根判断B，根据是方程的两个根结合对数的运算性质判断C，利用及对勾函数的单调性判断D.【详解】根据题意作出的图象如下：由图象可知当时函数的图象与有4个交点， 即存在，使得，且，，，，选项A正确；因为是方程，即两根，所以根据韦达定理得，结合可得不存在最大值，B错误；因为是方程的两个根，且，，所以，即，所以，解得，C正确；由是方程的两根可得，因为，，所以，令，,由对勾函数的性质可得在上单调递减，所以，即，所以，D正确；故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数的定义域是______.【答案】【解析】【分析】根据分母不为零，对数真数大于零得到不等式组，解得即可.【详解】因为，所以，解得或，所以函数的定义域为.故答案为：14.已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是________． 【答案】【解析】【分析】利用集合法，将是的必要不充分条件转化为两集合间真包含关系，列出关于的不等式组，解不等式组即可得到答案．【详解】因为，，且是的必要不充分条件，所以是的真子集，且不是空集.所以且等号不同时成立，解得，所以实数的取值范围是，故答案为:.【点睛】解决根据充分条件和必要条件条件求参数取值范围的问题：一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的包含、相等关系，列出关于参数的不等式(组)求解.15.设与是两个不共线向量，，，.若A，B，D三点共线，则的值为________．【答案】【解析】【分析】根据三点共线，转化为向量，计算向量后，再转化为向量相等，即可求解的值.【详解】因为A，B，D三点共线，所以必存在一个实数λ，使得.又，，，所以，化简为，所以，又与不共线，所以解得.故答案为：16.“大胆猜想，小心求证”是科学研究发现重要思路.意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测“固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是抛物线”，直到17世纪，瑞典数学家雅各布.伯努利提出该曲线为“悬链线”而非抛物线并向数学界征求答案.其中双曲余弦函数coshx就是一种特殊 的悬链线函数，其函数表达式为，对应的双曲正弦函数.设函数，若实数满足不等式，则m的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据函数的单调性、奇偶性化简不等式，从而求得的取值范围.【详解】依题意，的定义域是，，所以是奇函数，，所以在上递增，所以，由得，则，解得或，所以的取值范围是.故答案为：四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17计算：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据分数指数幂的运算法则及根式的性质计算可得； （2）根据对数的运算法则计算可得.【小问1详解】解：.【小问2详解】解：.18.已知为第三象限角，且．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦求出余弦，再求出正切值；（2）先利用诱导公式化简目标式，再代入求解.【小问1详解】因为为第三象限角，且，所以；.【小问2详解】 由（1）得，所以.19.已知关于x的不等式的解集为或．（1）求a，b的值；（2）若，解关于的不等式．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据不等式的解集和方程的根的关系，列方程组求a，b的值；（2）代入a，b的值，然后分与的大小关系讨论来解不等式.【小问1详解】关于x的不等式的解集为或即方程的根为，，解得；【小问2详解】由（1）得关于的不等式，即，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.20.已知函数． （1）求函数图象的相邻两条对称轴的距离；（2）求函数在区间上的最大值与最小值，以及此时的取值．【答案】（1）；（2）时，取得最大值为3；当时，取得最小值为．【解析】【分析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式可把函数化简为．（1）求出函数的半周期得答案；（2）由的范围求出的范围，利用正弦函数的性质可求原函数的最值及使原函数取得最值时的值．【详解】．（1）函数图象的相邻两条对称轴的距离为；（2），∴当，即时，取得最大值为3；当，即时，取得最小值为．【点睛】本题考查型函数的图象与性质、倍角公式与两角和的正弦的应用，是基础题．21.已知函数的部分图像如图所示. （1）求的解析式；（2）将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再将所得函数图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，求的单调递增区间；（3）当时，求函数的最值.【答案】（1）（2）（3）函数的最小值为，最大值为2【解析】【分析】（1）结合三角函数的图像求参数的值即可得解；（2）由三角函数图像的平移变换，求其平移后的解析式，再结合三角函数单调区间的求法即可；（3）先结合（1）求出函数关于的函数关系，再结合三角函数的值域的求法即可得解.【详解】解：（1）由题图得，因为，∴.由，得，所以，解得.又因为，∴当时，.又由，得.故.（2）将的图像上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的图像，再将图像右平移个单位长度得到的图像. 由，得，∴的单调递增区间为.（3）.∵，∴，∴函数的最小值为，最大值为2.【点睛】本题考查了由三角函数的图像求参数的值、三角函数图像的平移变换、三角函数单调区间的求法及三角函数的值域的求法，属综合性较强的题型.22.已知函数.（1）判断并证明的奇偶性；（2）若关于x的方程在内有实根，求实数k的取值范围；（3）已知函数，若对，，使得 成立，求实数m的最小值.【答案】（1）奇函数，证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）利用奇函数的定义，计算函数的单调性，证明，可得答案；（2）利用对数运算的性质，化简方程，将问题转化为二次方程在定区间上有根问题，利用二次函数的性质，以及对数函数的性质，建立不等式组，可得答案；（3）利用函数解析式，明确函数的单调性，求得最值，由题意，建立不等式，可得答案.【小问1详解】奇函数，理由如下：由函数，令，整理可得，解得或，则函数的定义域为，由，则函数为奇函数.【小问2详解】由方程在内有实数根，则在内恒成立，由函数在上单调递增，则，解得，将函数代入方程，整理可得，，，，，化简可得，则问题等价于方程在上有实数根，令，，解得或，由，则，令，其对称轴为，显然， 当，时，，则，解得或，故；当，时，，则，解得，故；综上可得，.【小问3详解】由函数，函数，在其定义域内单调递减，则在上单调递减，即，由函数，易知函数在上单调递减，函数在其定义域上单调递减，则在上单调递增，即，